BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
ghgfugfyftytfy

THÁI THỊ HỒNG LAM

BỒI DƢỠNG TƢ DUY THUẬN NGHỊCH
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

THÁI THỊ HỒNG LAM

BỒI DƢỠNG TƢ DUY THUẬN NGHỊCH
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:


1.1.1. Khái niệm về tư duy ..........................................................................................6
1.1.2. Đặc điểm của tư duy .........................................................................................6
1.1.3. Về sự phân loại tư duy ......................................................................................7
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tư duy khác nhau trong dạy học...................8
1.2. Tư duy toán học....................................................................................................9
1.2.1. Một số quan niệm về tư duy toán học ...............................................................9
1.2.2. Một số quan điểm về những thành phần của tư duy toán học và năng lực toán
học .............................................................................................................................10
1.3. Tư duy thuận nghịch ..........................................................................................13
1.3.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài .............................13
1.3.2. Những căn cứ dẫn đến một cách quan niệm về tư duy thuận nghịch và xác
định các thành tố của năng lực TDTN trong toán học ..............................................16
1.3.3. Quan niệm về tư duy thuận nghịch .................................................................23
1.3.4. Các thành tố của năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học ......................25
1.3.5. Các mức độ biểu hiện của năng lực TDTN trong toán học ............................36
1.4. Mối quan hệ giữa

..................36

1.4.1. Mối quan hệ giữa

..........................36

1.4.2. Mối quan hệ giữa

chứng .......................37


1.4.3. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy lôgic .................................40
1.4.4. Mối quan hệ giữa tư duy thuận nghịch và tư duy sáng tạo .............................41

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................126

1


3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm .......................................................................126
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm .....................................................126
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ......................................................................126
3.2.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ....................................................................127
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm .........................................................................136
3.3.1. Đánh giá định tính .........................................................................................136
3.3.2. Đánh giá định lượng ......................................................................................138
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm .........................................................146
KẾT LUẬN ............................................................................................................148
....................................................................................151

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐBH

: Đặc biệt hóa

ĐC


PPDH

: Phương pháp dạy học

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

TT

: Thành tố

TN

: Thực nghiệm

Tr

: Trang

THCS

: Trung học cơ sở

THPT


Điều cơ bản hơn, quan trọng hơn là trong quá trình dạy học các tri thức cụ thể đó,
rèn luyện cho học sinh tiềm lực để khi ra trường họ có thể tiếp tục tự học tập, có khả
năng nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo giải quyết vấn đề, đáp ứng được những đòi hỏi đa
dạng của hoạt động thực tiễn không ngừng phát triển. Nói cách khác, hệ thống giáo
dục phải linh hoạt hơn, cần phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư
duy, tạo điều kiện cho học sinh có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục
tự học suốt đời.
1.2. Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: “... Làm khoa học gì cũng đụng
chạm đến kiến thức, tư duy và tính cách con người một cách sâu đậm. Kiến thức, tư
duy, tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục” [101, tr.7]. Tuy nhiên, thực
tiễn dạy học cho thấy vẫn còn không ít giáo viên chưa quan tâm thích đáng đến việc
phát triển tư duy cho học sinh. Chẳng hạn như “... Cách dạy phổ biến hiện nay là
thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức,
các định lý để tính toán, để chứng minh ...” [102, tr.4], hoặc “Dạy toán ở trường phổ
thông còn nhiều điều chưa ổn”[106, tr.38].

1


Nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực phục vụ cho công cuộc công nghiệp hóa,
hiện đại hóa đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượng dạy học. “Việc giải quyết
triệt để các vấn đề dạy học của nhà trường hiện đại, đòi hỏi phải thay đổi kiểu tư
duy, được thiết kế bằng nội dung và phương pháp dạy học các môn học” [20, tr.6].
1.3. Tính thuận nghịch của tư duy được nhắc đến trong các công trình nghiên
cứu của M. N. Sacđacôp [90], J. Piaget [20], ... Trong công trình nghiên cứu “Tâm
lý năng lực toán học của học sinh” [13] của Viện sĩ V. A. Cruchetxki xuất hiện
cụm từ: Tính thuận nghịch của quá trình tư duy trong lập luận Toán học (khả năng
chuyển nhanh chóng và dễ dàng từ tư duy thuận sang tư duy đảo). Những mô tả ban
đầu của V. A. Cruchetxki về nghĩa của cụm từ này mặc dù chưa thật cụ thể và sâu

quan tâm nhiều đến mối liên hệ hai chiều này. Một số giáo viên đã có tìm hiểu, khai
thác mối liên hệ này trong dạy học, nhưng chưa thành hệ thống và thường xuyên.
Hầu hết chỉ khi nào trong nội dung dạy học có chứa đựng tường minh mối liên hệ
đó thì giáo viên mới đặt vấn đề xem xét, chẳng hạn khi trong sách giáo khoa yêu
cầu xét định lý đảo, điều kiện cần và đủ, ...
Từ những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:
“Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường
Trung học phổ thông”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận án là nghiên cứu để xác định nội hàm của khái niệm tư
duy thuận nghịch trong môn Toán trên cơ sở nêu lên và làm sáng tỏ các thành tố của
năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh, chứng minh sự cần thiết và có thể bồi
dưỡng loại hình tư duy này cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở các
lớp bậc Trung học phổ thông bằng việc xây dựng các biện pháp phù hợp.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích nghiên cứu trên, đề tài có nhiệm vụ:
3.1. Tổng hợp những cơ sở lý luận và thực tiễn về tư duy, tư duy toán học và
việc phát triển tư duy toán học cho học sinh.
3.2. Làm sáng tỏ khái niệm tư duy thuận nghịch của học sinh
việc xác định

T

năng lực tư

duy thuận nghịch của học sinh.
3.3. Đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần
nghịch cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học môn Toán.
3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đã đề xuất.

phần phát triển tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán.
6.2.2. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường
thông.
7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƢA RA BẢO VỆ
ăn cứ đưa ra một cách

7.1.

của năng lực tư duy thuận nghịch của học sinh trong

7.2.
môn Toán

.

các mức độ biểu hiện năng lực tư duy thuận nghịch trong toán học.

7.3.

góp

phần
T

.

8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
, nội dung
3 chương:

Kết luận

5


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.1. Khái niệm về tƣ duy
Trong thực tiễn cuộc sống, có rất nhiều cái mà ta chưa biết, chưa hiểu. Để
làm chủ được thực tiễn, con người cần phải hiểu thấu đáo những cái chưa biết đó,
phải vạch ra cái bản chất, mối quan hệ, liên hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình
đó gọi là tư duy.
Có thể chỉ ra một số cách định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là
quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh được các đối tượng và các hiện
tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, con người vạch ra được
những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng và hiện tượng và giữa các đối
tượng, hiện tượng với nhau” [37, tr.94]. Hoặc: “Tư duy là sự khôi phục trong ý nghĩ
của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [20, tr.246].
Mặc dù có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy, nhưng có thể
nhận thấy: Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong
hiện thực khách quan. Đó là một quá trình tâm lý đặc biệt chỉ có ở người.
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Trong [1], [14], [20], [29], [30], [107], [108], nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra
một số đặc điểm của tư duy là:
* Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;
* Tư duy có tính gián tiếp;
* Tư duy có tính trừu tượng và tính khái quát;
* Tư duy có mối quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: Tư duy và ngôn ngữ có mối

Theo [89], [108], có ba loại tư duy: Tư duy trực quan, hành động; Tư duy
trực quan hình tượng; Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic).
Theo A.V. Pêtrôvxki và L. B. Itenxơn, có bốn loại tư duy: tư duy hình tượng,
tư duy thực hành, tư duy khoa học, tư duy lôgic [74, tr.126-130].
J. Piaget thường nói đến 2 loại tư duy: tư duy cụ thể, tư duy hình thức.
Trong [20], V. V. Đavưđôv nói đến tư duy lý luận, tư duy kinh nghiệm.
Trong một số công trình của V. A. Cruchetxki đề cập đến: tư duy tích cực, tư
duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy lý luận [15, tr.112-117].
Theo J. Guilford, có hai loại tư duy phân biệt, ngược với nhau: tư duy hội tụ
và tư duy phân kỳ [61].
Tác giả Nguyễn Văn Lộc trong [59] đã trình bày 5 cách xem xét về phương
diện tư duy: Xem xét về phương diện lịch sử hình thành và phát triển tư duy; xem
xét về phương diện lôgic hình thức và lôgic biện chứng; xem xét về phương diện

7


tính chất, kết quả của quá trình tư duy; xem xét về phương diện cấu trúc khác nhau
của hiện thực; xem xét về phương diện các dấu hiệu đặc thù của đối tượng tư duy.
Trong cuốn Phương pháp tư duy lôgic [96], tác giả Tiến Thành đề cập đến
rất nhiều loại hình tư duy, chẳng hạn: Tư duy động, tư duy tĩnh, tư duy ngược, tư
duy chiều dọc, tư duy chiều ngang, tư duy liên tưởng, ...
Trên đây là một số cách phân loại tư duy, qua đó có thể thấy rằng cách phân
loại tư duy là hết sức đa dạng và “Tùy theo nội dung và tính chất của những nhiệm
vụ cần giải quyết mà tư duy được phân thành các kiểu khác nhau” [40, tr.449].
1.1.4. Những điều kiện hình thành các kiểu tƣ duy khác nhau trong dạy học
Theo A.V. Pêtrôvxki [74, tr.130], trong tình huống sư phạm đã cho, hình
thành được kiểu tư duy nào, điều đó phụ thuộc vào bốn nhân tố: tính chất của tài
liệu học tập; kiểu bài toán; lứa tuổi và trình độ của học sinh; phương thức dạy học.
Nhân tố thứ nhất – Tính chất của tài liệu: Hiểu tài liệu có nghĩa là xác định

quyết định kiểu tư duy nào được thực hiện khi giải bài toán đó. Hơn thế nữa, bằng
cách biến đổi tính chất của bài toán có thể bồi dưỡng cho các em những kiểu tư duy
khác nhau.
Ví dụ 1.1: a) So sánh 210 với 103 ;
b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 2n > n3.
Với câu a) học sinh nghĩ ngay rằng: chỉ việc thực hiện phép tính 210 và so sánh
kết quả với 1000 - tư duy thực hành. Tuy nhiên, đối với câu b) đòi hỏi phải tìm tòi,
phải đi theo con đường ngược lại - từ dữ kiện của bài toán đến chỗ tìm tòi lời giải,
phải nghĩ đến quy nạp toán học, nghĩ đến khảo sát hàm số, ... khiến cho hoạt động trí
tuệ của các em có đặc điểm khác, nâng cao tính tích cực trí tuệ của học sinh.
Nhân tố thứ ba – lứa tuổi và trình độ phát triển của học sinh. Khó qui định
được các giới hạn của lứa tuổi. Như L. S. Vygotski đã chứng tỏ, những cấp độ và
những kiểu tư duy khác nhau có thể đồng thời tồn tại ở cùng một người tùy theo tri
thức và thực tiễn tư duy tương ứng của người đó trong lĩnh vực này hay lĩnh vực
khác. Tuy nhiên, nhìn chung rõ ràng là cùng với lứa tuổi, tư duy phát triển từ kiểu
hình tượng – thực hành sang kiểu tư duy khoa học và tư duy lý thuyết.
Ví dụ 1.2: Với ví dụ 1.1 ở trên, câu a) HS tiểu học cũng làm được, các em
phải thực hành tính toán 210 bằng 1024. Với câu b) HS lớp 10 chỉ có thể nghĩ đến
quy nạp toán học, với HS lớp 12 có thể nghĩ đến khảo sát hàm số, logarit hóa, ...
Nhân tố thứ tư – phương thức dạy học, phương thức xác định các mối quan
hệ mà tư duy vận dụng.
Như vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải xem xét bốn nhân tố
trên một cách linh hoạt, để lựa chọn và có phương pháp bồi dưỡng loại hình tư duy
thích hợp một cách hiệu quả nhất, nhằm đạt được mục đích dạy học.
1.2. Tƣ duy toán học
1.2.1. Một số quan niệm về tƣ duy toán học
Theo Nguyễn Văn Lộc [59], tư duy toán học được hiểu: Thứ nhất là hình
thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học
Toán học hay trong quá trình áp dụng Toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật,
kinh tế quốc dân, ... Thứ hai, tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định

nhóm tác giả: Iu. M. Kôliagin, V. A. Ôganhexian, V. Ia. Xannhixki và G. L.
Lucankin (cuốn sách này được ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [118] và được tái
bản lần thứ nhất vào năm 1980 [119]), các tác giả đã trình bày rất cụ thể về những
thành phần của tư duy toán học.
Trước khi nêu ra các thành phần của tư duy toán học, tác giả lý giải: “Tư duy
toán học có những nét, những đặc điểm đặc trưng của mình, mà những đặc điểm

10


này được quy định bởi tính đặc thù của các đối tượng nghiên cứu và được quy định
bởi tính đặc thù của các phương pháp nghiên cứu” [118].
Về cấu trúc tư duy toán học, theo [118, tr.136-151], các thành phần chủ yếu
của tư duy toán học gồm: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực giác; Tư
duy hàm; Tư duy biện chứng; Tư duy sáng tạo; Các phong cách toán học của tư duy.
Trong đó, tư duy trừu tượng có thể được tách thành: Tư duy phân tích; Tư
duy lôgic; Tư duy lược đồ không gian.
Tuy nhiên, cũng là nhóm tác giả này, trong [119, tr.116] các tác giả chỉ trình
bày các thành phần của tư duy là: Tư duy cụ thể; Tư duy trừu tượng; Tư duy trực
giác; Tư duy hàm.
Khi đề cập đến các loại hình tư duy, các tác giả đều mô tả tương đối cụ thể
bằng cách chỉ ra những đặc trưng của loại hình tư duy ấy.
- Trong các bài báo của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục toán học
(ở trường phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của tư duy toán
học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ những yêu
cầu đối với tư duy toán học của học sinh. Những yêu cầu đó là: Năng lực nhìn thấy
sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần
thiết trong chứng minh; Sự cô đọng; Sự chính xác của các ký hiệu; Phân chia rõ
ràng tiến trình suy luận; Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic (


hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu, các kí hiệu số, NL suy nghĩ
với các kí hiệu toán học; NL khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan
hệ, các phép toán của toán học; NL rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống
các phép toán tương ứng, NL suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn; Tính mềm
dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học; Khuynh hướng vươn tới sự rõ
ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải; NL thay đổi nhanh
chóng, dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
Lưu trữ thông tin toán học, đó là trí nhớ toán học tức là trí nhớ khái quát về
các quan hệ toán học, về các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng
minh, về các phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối giải toán.
Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng toán học của trí tuệ [13,
tr.167-168]; [37, tr.129-130].
- Theo A. N. Kôlmôgôrôv, trong thành phần của NL toán học có: NL biến đổi
khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, NL tìm các con đường giải các phương trình
không theo quy tắc chuẩn, NL tính toán; Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác
hình học”; Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bước được phân chia một cách đúng
đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học[37, tr.129].
Bên cạnh các tác giả nước ngoài, một số loại hình của tư duy toán học đã
được các tác giả Việt Nam nghiên cứu. Trong [37, tr.60-61], các tác giả cho rằng:
“Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần tư duy biện chứng, để nhận thức mặt
hình thức của hiện thực cần tư duy lôgic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thống
nhất biện chứng giữa tư duy lôgic và tư duy biện chứng”.
Những đặc trưng của tư duy hàm và bốn tư tưởng chủ đạo để phát triển tư
duy hàm đã được tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [51, tr.122- 149]. Theo đó,

12


tư duy hàm được đặc trưng bởi các hoạt động: Phát hiện hoặc thiết lập những sự
tương ứng; Nghiên cứu những sự tương ứng; Lợi dụng những sự tương ứng.



Ở ngoài nƣớc:
* Theo Piaget [16], [71], [72], [78], [79], đối với trẻ em từ 7, 8 tuổi tr

chiều, nhưng tính đảo ngược có thể hiểu là trật tự ngược nhau của chuỗi thao tác hai
hành động). Chẳng hạn, ngay từ lớp 1, HS đã thực hiện thao tác 3 + 5 = 8 (trên cở sở
đã thành thục hành động “gộp” 3 với 5 thành 8), thì cũng thực hiện được thao tác
ngược lại là “tách” hay là phân tích 8 = 3 + 5. Theo J. Piaget, tính thuận nghịch thể
hiện khi “các thao tác và hành động có thể được triển khai về hai hướng và hiểu được
một trong hai hướng đó gợi ra sự hiểu biết hướng kia” [20, tr.275]. Ông đã đánh giá
cao về vai trò của tính thuận nghịch trong hoạt động nhận thức, điều này được thể
hiện trong nhận xét của Ph. Lêyven: đối với Piaget, tính thuận nghịch – đó là “con
ngươi” của nhận thức, được hình thành trong hệ thống, một tính chất mà trong quan
hệ với nó, tất cả các tính chất còn lại chỉ là dẫn xuất [20, tr.275].
* Tác giả V. A. Cruchetxki đã quan tâm đến tính thuận nghịch của quá trình
tư duy trong lập luận toán học [13, tr.107], được hiểu là việc làm thay đổi phương
hướng của quá trình tư duy theo nghĩa chuyển từ tư duy thuận (hướng tư duy từ A
đến B) sang tư duy đảo (hướng từ B đến A). Ông xem khả năng này là một thành
phần của năng lực toán học của HS và đã tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HS
lớp 6, 7, 8 và chủ yếu tập trung vào việc xem xét, đánh giá sự suy nghĩ của HS
trong vấn đề nhận thức và giải quyết vấn đề liên quan đến hai chiều của một công
thức và các bài toán thuận nghịch. Ông đã rút ra kết luận rằng nét nổi bật của HS có
năng khiếu là khả năng chuyển một cách nhanh chóng và dễ dàng từ quá trình tư
duy thuận sang quá trình tư duy đảo, là tính thuận nghịch dễ dàng của quá trình lập
luận. Các liên hệ được hình thành ở các em có ngay đặc tính thuận nghịch. Ở các
HS trung bình và kém quá trình này hết sức khó khăn.
* Tác giả Edgar Morin cho rằng: “Tư duy, trong sự vận động/sáng tạo của
nó, là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và những thao tác, sử
dụng những năng lực bổ sung/đối kháng của tinh thần/bộ não, và theo nghĩa đó, tư

dòng ý nghĩ thuận và nghịch là đặc điểm vốn có của bản thân hoạt động tư duy.
* Các tác giả Tsukasa Hirashima và Megumi Kurayama quan tâm đến việc
dạy HS học tập bằng cách đặt bài toán cho những bài toán tư duy ngược. Các ông
đặc biệt quan tâm “đảo ngược suy nghĩ vấn đề”, và đã tiến hành thực nghiệm trong
một lớp học của HS lớp 1 ở một trường tiểu học, với môi trường học tập dựa trên
máy tính [116].
* Tác giả G. Polya đã đề cập đến phép rút gọn thuận nghịch trong giải toán.
Ông quan niệm: “Việc chuyển bài toán ban đầu sang bài toán phụ sẽ gọi là phép rút
gọn thuận nghịch hoặc hai chiều, hoặc là tương đương nếu như bài toán phụ và bài
toán ban đầu là tương đương nhau” [80, tr.66].
Ở trong nƣớc:
* Tác giả Nguyễn Bá Kim đã quan tâm đến khả năng đảo ngược quá trình tư
duy, lấy đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho quá trình mới, còn
điểm xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Ông xem
đó là một thể hiện của tính linh hoạt của tư duy [56]. Các tác giả Nguyễn Bá Kim,

15


Vũ Dương Thụy, Hoàng Chúng đều cho rằng, trong dạy học, cần chú ý rèn luyện
cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược một cách song song với nhau
nhằm giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành liên tưởng thuận [11], [54].
* Trên cơ sở nghiên cứu Lý thuyết phát sinh nhận thức của J. Piaget, Phan
Trọng Ngọ [72] cho rằng: thao tác thực chất là hành động vật chất bên ngoài được
chuyển vào trong và cải biến ở trong đó; tính đảo ngược của thao tác là do hai hành
động thực tiễn ngược nhau tạo thành. Từ đó, để có thao tác trong đầu, trẻ em phải
bắt đầu từ hành động ở bên ngoài và khi tiến hành hành động ở bên ngoài cần triển
khai hành động ngược ngay sau khi có hành động xuôi. Đây chính là bí quyết trong
việc hình thành thao tác học cho HS.

toán tương tự, ... Đồng thời, ngay trong mỗi bài toán cũng cần xem xét mối quan hệ
giữa giả thiết và kết luận của nó.
Tất cả các sự vật, hiện tượng trên thế giới đều có tính hai mặt của nó. Hai
mặt của một vấn đề vừa có tính thống nhất, vừa mâu thuẫn, sẽ không có mặt này
nếu không có mặt kia, sẽ không có cái toàn bộ nếu không có mối liên hệ giữa hai
mặt đó. Chẳng hạn, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau
nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Vì vậy, trong khi xem xét, đánh giá một sự vật, hiện tượng, chúng ta không
chỉ xem xét theo lối suy nghĩ hoặc thói quen thường làm, mà hãy nhìn nhận vấn đề
theo cả chiều ngược lại. Bởi vì, việc xem xét mặt kia của vấn đề sẽ tăng tính bao
quát, toàn diện, đầy đủ, có thể giúp chúng ta linh hoạt trong suy nghĩ, trong cách
giải quyết vấn đề. Sự đảo ngược sẽ phá vỡ lối tư duy thông thường của chúng ta,
khắc phục sức ì tâm lý và kích thích lối tư duy mới. Theo tác giả Đào Văn Trung,
nghĩ ngược có thể giúp chúng ta mở ra bầu trời mới [104]. Việc tư duy theo hai
chiều ngược nhau sẽ góp phần khắc phục khó khăn, hạn chế sai lầm của lối tư duy
một chiều. Chẳng hạn, trong hoạt động chứng minh, nếu chứng minh trực tiếp mệnh
đề gặp khó khăn thì người giải toán phải linh hoạt chuyển hướng suy nghĩ, có thể
nghĩ đến chứng minh gián tiếp bằng cách chứng minh mệnh đề phản đảo hoặc bác
bỏ phủ định của mệnh đề cần chứng minh.
1.3.2.2. Căn cứ vào kết quả nghiên cứu về tính thuận nghịch của tư duy
Dựa vào một số kết quả nghiên cứu của J. Piaget, V. A. Cruchetxki, Edgar
Morin, M. N. Sacđacôp, Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Bá Kim, … về tính thuận nghịch
của tư duy trong mục 1.3.1, có thể nhận thấy tính thuận nghịch của tư duy được đặc
trưng bởi khả năng của trí tuệ vận động theo cả chiều thuận và nghịch

tư duy

trong sự vận động là một dạng thức đối lôgic phức hợp của những hoạt động và
những thao tác. Đó là những đặc tính quan trọng của tư duy, có vai trò quan trọng
trong hoạt động nhận thức và có thể bồi dưỡng được trên cơ sở thực hiện các hành


f ( x2 ) , mà f ( x1 )

Thực ra, kết quả x1

x2 . Rất có thể họ đã lập luận như sau: Nếu
f ( x2 ) , nên x1

x2 là đúng nhưng suy luận thì không đúng. Những HS

này đã lầm tưởng rằng có quy tắc suy luận:
Ví dụ 1.4: Một học sinh tính 25
bằng hai cách khác nhau:

x2 .

= 2;

A

B, B
.
A

32 . Cậu ấy hình dung ba số 2, 5, 32 liên hệ

= 5. Việc xác lập mối liên hệ giữa các số đã cho

bằng cách áp dụng khái niệm khai căn ( 5 32