www.huongdanvn.com

PHO

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT

=====***=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI
TỪ BÀI TOÁN GỐC

GIÁO VIÊN: LÊ THANH HOÀ

THÁNG: 4/2008

Nàm hoüc 2007 - 2008


www.huongdanvn.com

PHÒNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG
Trường THCS Tôn Quang Phiệt

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN
SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI
TOÁN GỐC
Người viết: Lê Thanh Hoà

củng cố cho HS lòng tin vào khả năng giải toán của mình.
Chỉ vậy thôi, chúng ta đã nhen nhóm lên trong các em một tình yêu toán học, một môn học được coi là quá
khô khan.
Trong bài viết này tôi xin đưa ra 2 bài toán gốcï để giới thiệu cách khai thác kết quả và mở rông bài toán
như thế nào
2.Mục đích nghiên cứu
Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vò bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn hình học, đặc
biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, nếu vấn đề này được quan tâm thường
xuyên trong dạy học của các thầy cô giáo thì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc đào
tạo và bồi dưỡng đội ngũ học sinh khá giỏi toán. Vì trong thực tế dạy học toán rất nhiều bài toán mà
trong khi giải ta có thể tìm được nhiều ý tưởng hay độc đáo để từ đó có thể sáng tạo nên chuỗi bài
tập liên quan với nhau, có thể tổng quát hoá bài toán...
nhưng trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ xin phép đưa ra 2 bài toán mẫu để minh hoạ cho 1 ý
tưởng dạy học toán ""Dạy toán là dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán""
3.Đối tượng và phạm vi áp dung:
Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học của tôi tại trường THCS Tôn Quang Phiệt là 1 trường
trọng điểm của huyện nên có nhiều học sinh có khả năng tiếp thu học tập môn toán, học sinh rất
ham học và tìm tòi cái mới. Việc thể hiện đề tài khá thuận lợi.


www.huongdanvn.com
BÀI TOÁN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp 9 tỉnh nghệ an năm 2008)
Cho đường tròn O đường kính AB và dây cung CD( C,D không trùng với A,B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến
của đường tròn tại C,D ; N là giao điểm các dây cung AC và BD. Đường thẳng qua N và vuông góc NO cắt AD,BC
tại E,F. Chứng minh:
a. MN vuông góc với AB
N'
b. NE = NF
Lời giải :
a.Gọi N' là giao điểm của AD và BC, thì N'N vuông góc AB

Sau đây tôi xin nêu 1 số suy nghó đó:

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT (sáng tạo ra các bài
toán mới với giả thiết rộng hơn )
1.TÌNH HUỐNG1:Trước khi đưa ra bài toán mới GV cần đưa ra
câu hỏi gợi mở để HS suy nghó và phát hiện vấn đề, ví dụ như:
?. Hãy xác đònh xem GT nào của bài toán là giả thiết HẸP, có
thể thay bằng một GT RỘNG hơn như thế nào?
? với GT mới kết quả bài toán sẽ như thế nào?
Bài 1.1:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Các dây cung AC,BD cắt
nhau tại N. Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO, đường
úthẳng này cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt tại E, F.
Chứng minh NE = NF
N'
Lời giải: (Hình 3)

M
C
D

F
N
I

H
E
A

B

AD vàØ BC. Với GT mới này ta sẽ có bài toán sau:
Bài1.2:
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. 2 dây cung AD , BC cắt nhau tại điểm N ở ngoài (O)
Qua N kẻ đường vuông góc với NO, đường thẳng này cắt các đường thẳng BD, AC lần lượt tại E, F
Chứng minh rằng : NE = NF
Lời giải:(Hình 4)
Lấy B' đối xứng với B qua N. Khi đó B'A // NO => B'A ⊥ NF
vì B'N vuông góc AF => N là trực tâm của B'AF => AN vuông góc
B'F => BE // B'F
(vì cùng vuông góc với AN)
E
B'NF = BNE (g.c.g)
Từ đây dễ dàng chứng minh được:
nên => NE = NF
3.TÌNH HUỐNG 3:
Cần chú ý rằng trong bài toán gốc AB là đường kính của đường tròn
nếu xem đây là GT HẸP, thì GT RỘNG hơn là xét AB như là 1 dây
cung bất kỳ ta sẽ có 4 bài mới toán sau là sự tổng quát của bài toán
1.1 và bài 1.2
A
Bài 1.3:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC,
BD cắtnhau tại N . Qua N vẽ đường thẳng vuông góc NO , đường
thẳng này cắt các đường thẳng AD, BC tại E, F
Chứng minh NE = NF
Lời giải: (Hình 5)
kẻ OQ vuông góc AD và OR vuông góc BC => Q,R là trung điểm
của AD, BC.
Chú ý rằng: DNA đồng dạng
CNB nên suy ra DNQ đồng dạng

Q
C

N
O

R
B

Hình 5

F

F

N
E

C

D

Hình 6

P
A

Q
O


NBA ( Góc N chung; gócNBA =
gócNDC)
Do P; Q là trung điểm của AB, CD nên:
NQC đồng dạng
NPA ( c.g.c)
=> gócNQC = gócNPA hay là gócNQF = gócNPE (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE
=> EOF cân tai O, kết hợp với ON vuông góc EF
=> NE = NF
Bài 1.6:
Cho đường tròn tâm (O). Dây cung AB I là trung điểm
của AB, qua I vẽ các dây MN,PQ sao cho MP cắt AB tại
E, NQ cắt AB tại F.
Chứng minh : IE = IF
Lời giải:(Hình 8)
Kẻ OL vuông góc PM; OK vuông góc QN khi đó ta có các tứ giác
OIEL; OIFK nội tiếp
=> gócOLI = gócOEI và gócOKI = gócOFI (1)
IMP đồng dạng
IQN và L;K là trung
Từ sự đồng dạng của
điểm của PM; QN nên => ILM đồng dạng
IKQ
=> gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2)
EOF cân tai O (3)
Từ (1) và (2) => gócOEI gócOFI =>
I là trung điểm AB nên OI vuông góc EF (4)
Từ (3) và (4) => IE = IF
NHẬN XÉT:
Bằng những thay đổi trong GT của bài toán gốc ta đã sáng tạo

K
L
A

I

E

B

F

Hình 8

Q

M

N
P
O

E

I

F
B

A

=
=
=
=
(1)
N
AC
AB + AC
AB + AC
2
AB
C'
IM MB
I
=
(2)
BI là tia phân giác của ABM =>
IA AB
AI
Từ (1) và (2) => IM =
(3)
M
B
2
AB'I cân tại B' và B'N là phân giác gócAB'I
AI
nên => NI = NA =
(4)
2
Từ (3) và (4) => IM = IN

=> Tứ giác KNN'T nội tiếp
=>gócNKN' = gócNTN' (4)
Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 90

0

O
F

K
T E

Hinh 10
N
C

D

F'

(5)

E'
gócNTN' + góc OTN = 90 0 (6)
Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7)
Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8)
Sử dụng kết quả bài toán 1.1 và 1.2 ta có các
OEF và OE'F'
là các tam giác cân tại O kết hợp với (8) ta có
gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9)

B
F

N

E

C
D
F'

E'

N'
Hình 11

Lời giải: cách 1: Gọi K là giao điểm của EE' và FF'
Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng
Từ kết quả của bài toán 1.9: OEE' = OFF'
=> gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp
chú ý rằng N là trực tâm N'AB nên NN' vuông góc AB
=> gócON'N + gócN'OB = 90 0 (1)
Trong tứ giác OKF'N' có:
gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 360 0
=> gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=270 0 (vì gócON'F'= 900 )
=> gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 270 0
=>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =270 0 (2)
vì gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 180 0 (3)
(4)
Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 90 0

.
=
.
(20)
EA F'A
FB E'D
Từ (19) và (20) ta có:
ID FC E'B
. .
= 1 (21)
IC FB E'D
Hệ thức 21 cùng với đònh lý đảo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF', CD
đồng qui tại I
CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)
a. Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui
gọi K là giao điểm của FF' và AB
Theo đònh lý Menelauyt cho

N'

E'

D
E

F'

I


.
.
= 1 (24)
EN' FB ND
N'D E'N F'A
.
.
= 1 (25)
Với AND và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'A E'D F'N
N'C F'N E'B
*Với BNC và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
.
.
= 1 (26)
N'B F'C E'N
nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:
FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'C F'N E'B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
= 1 =>
.
.
.
= 1 (30)
BD N'A DN AC N'B DN
ND N'A NC N'B
ED E'B KA
.
.
= 1 (31)
EA E'D KB
Hệ thức (31) cùng với đònh lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF'
AB đồng qui tại K
b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:
Chứng minh tương tự như cách 1

TừØ (27) và (30) ta có:


www.huongdanvn.com

Cách 2: bài 1.10
Gọi K là giao điểm của AB và FF' để chứng minh
EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E'
thẳng hàng


I

K

B
F

N

E

C
D

F'
N'

Hình 11

N'B F'N E'B
.
.
= 1 (5)
N'C F'C E'N
Nhân từng vế của 5 đẳng thức trên ta có:
FB F'C KA FC EN' NA ED FN' NB N'D E'N F'A N'B F'N E'B
.
.
.

*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có:
.
.
= 1 (8)
AC N'B DN
BN N'D CA AN N'C DB
Nhân từng vế của (7) và (8) ta có:
.
.
.
.
.
=1
BD N'A CN AC N'B DN
NB N'D NA N'C
ED E'B KA
=>
.
.
.
= 1 (9) ; Từ (6) và (9) =>
.
.
= 1 (10)
ND N'A NC N'B
EA E'D KB
Hệ thức (10) cùng với đònh lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng
từ đó suy ra EE' ; FF' AB đồng qui tại K
*Với