ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
CHƯƠNG 2
HỆ MỘT BẬC TỰ DO
2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do
Mô hình đơn giản nhất của hệ một bậc tự do (Single Degree of Freedom system
- SDOFs), gồm các đặc trưng vật lý tập trung (Concentrated Properties):
Khối lượng: m
Độ cứng: k
Hệ số cản: c
Lực kích động: p(t)
Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố về m, k, c, p(t) đều có thể đưa
về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).
2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động
2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert
p(t) + f
S
+ f
I
+ f
D
=0
hay
)(tpkvvcvm =++

(2.1)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
9
p(t)
f
f

δ
v = 0
hay
0)]([ =+−−− vtpkvvcvm
δ

vì
δ
v ≠ 0 nên thu được phương trình chuyển động giống như (2.1).
2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton
Động năng của hệ:
2
2
1
vmT

=
, biến phân động năng
vvmT

δδ
=
Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo:
2
2
1
kvV =
, biến phân
vkvV
δδ

dtvtpvvcvkvvvm
δδδδ

(2.2)
tích phân từng phần số hạng thứ nhất:
∫∫
−=
2
1
2
1
2
1
0
t
t
t
t
t
t
vdtvmvvmdtvvm
δδδ



(2.3)
thế (2.3) vào (2.2) ta được:
0)]([
2
1

W)t(pkvvcvm +=++

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.
Chuyển vò v gồm tổng của chuyển vò tónh (Static Displacement)
st
∆
gây bởi
trọng lượng W và chuyển vò động
v
vv
st
+∆=
Thay biểu thức của lực đàn hồi
vkkkvf
sts
+∆==
vào phương trình chuyển động:
Wtpvkkvcvm
st
+=+∆++ )(

Mặt khác
st
kW ∆=
nên phương trình cuối cùng thu được:
)(tpvkvcvm =++

Kết luận:
Nếu lấy vò trí cân bằng tónh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để
tính chuyển vò thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1).

ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa
Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình cân bằng lực:
0=++
SDI
fff
trong đó lực quán tính có giá trò:
tI
vmf

=
với gt
vvv +=
là tổng của v là chuyển vò
uốn và v
g
là chuyển vò gối tựa (mặt đất). Thay các giá trò lực vào phương trình cân
bằng ta có:
0=+++ kvvcvmvm
g

hay:
)(tPvmkvvcvm
effg
≡−=++

(2.5)
Kết luận: Trong phương trình trên geff
vmtP


(t)
v
v
t
f
I
f
C
0.5f
S
0.5f
S
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Giả sử hệ chòu rung động ngang v
g
(t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn).
Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động. Đặt:
v(x,t) =
ψ
(x) Z(t) (2.6)
trong đó:
ψ
(x) - Hàm dạng (Shape Function)
Z(t) - Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)
Động năng của hệ:
[ ]
dxtxvxmT
t
l
2

dxvtxvxEIV
l
f
"),(")(
0
δδ
∫
=
(2.8)
Độ co ngắn của thanh:

[ ]
dxtxvte
l
2
0
),('
2
1
)(
∫
=
(2.9)
Thế năng lực dọc (chọn vò trí ban đầu của N có thế năng bằng 0 ):
[ ]
dxtxv
N
NeV
l
N

N
Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):
0'),('),("),(")(),()(
2
1
0 0 0
=
∫






∫ ∫ ∫
+− dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxm
t
t
l l l
tt
δδδ

(2.11)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
13
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Dùng các liên hệ:
t
v


Zv


ψ
=
và
v

δ
=
ψ
Z

δ
(2.12)
Thế (2.12) vào (2.11)
0)'(")()()()(
2
1
0 0 0 0
222
=
∫






∫ ∫ ∫ ∫

2
1
2
1
)(
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dtZZdtZZZZdtZ
dt
d
Zdt
dt
dZ
ZdtZZ

δδδδδδ
(2.14)
∫∫
−=
2

tG
ZdttpZkZkZm
δ

(2.16)
trong đó:
∫
=
l
dxxmm
0
2*
)(
ψ
: Khối lượng suy rộng
∫
=
l
dxxEIk
0
2*
)")((
ψ
: Độ cứng suy rộng
∫
=
l
G
dxNk
0

(2.17)
Vì
δ
Z bất kỳ nên lượng trong dấu ngoặc triệt tiêu. Ta thu được phương trình
vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do suy rộng:

)()()(
***
tptZktZm
t
=+

(2.18)
với
***
G
kkk −=
: Độ cứng suy rộng kết hợp
(2.19)
Khi lực dọc N đạt trò số tới hạn N = N
cr
thì
0
*
=k
. Từ đó, suy ra công thức
tính lực N
cr
là:


l
dxxtxptp
0
*
)(),()(
ψ
(2.21)

∫
=
l
G
dxxxNk
0
2*
)](')[(
ψ
(2.22)
∫
=
l
dxxxcC
0
2*
)]()[(
ψ
(2.23)
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
15
p(x,t)

2
*
=
∫






−=
∫
=
π
ψ
(b)
( )
3
4
0
2
2
2
0
2
*
322
cos
4
"

tvLmdx
L
x
tvmdxmtvtP
g
L
g
L
g

∫∫
=






−==
π
ψ
(d)
Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng dao động:
)(364.0)(
32
)(228.0
3
4
tvLmtZ
L







==
L L
G
L
N
dx
L
x
L
NdxNk
0
2
0
2
2
*
82
sin
2
'
πππ
ψ
(f)
Độ cứng suy rộng kết hợp:

==
(h)
Đây là tải trọng mất ổn đònh thật sự cho cột consol chòu tải trọng phân bố đều,
bởi vì hàm dạng được rút ra từ (a) là dạng mất ổn đònh thật của kết cấu. Thay (h)
vào (f) ta có thể biểu diễn độ cứng hình học bởi:
cr
G
N
N
L
EI
k
3
4
*
32
π
=
(i)
thay vào (e) ta có phương trình cân bằng bao gồm ảnh hưởng của lực dọc trục là:
)(364.0)(1
32
)(228.0
3
4
tvLmtZ
N
N
L
EI

3
0
2
2
*
42
L
EI
dx
L
EIk
L
=






=
∫
và độ cứng hình học suy rộng:
L
N
dx
L
x
Nk
L
G

==
(l)
giá trò này lớn hơn 21% so với giá trò từ (h).
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
17
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO
2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:
)()()( tpkvtvctvm =++

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

0)()( =++ kvtvctvm

(a)
Nghiệm có dạng: v(t) = Ge
st
Thế vào (a) ta được:
(ms
2
+ cs + k) Ge
t
= 0 (b)
Đặt
m
k
=
2
ω

hay viết lại dưới dạng thực:
v(t) = Asin
ω
t + Bcos
ω
t (d)
với A, B được xác đònh từ điều kiện ban đầu: B = v(0), A =
ω
)0(v

nên:
v(t) =
ω
)0(v

sin
ω
t + v(0)cos
ω
t (2.24)
Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO
18
Imaginary
1
1
Real
e
i
ω






+=
ω
ρ
v
v

và pha ban đầu
θ
= tan
-1

)0(
)0(
v
v
ω


(2.25)
chu kỳ: T =
f
12
=
ω
π

0
2
2
2
=−






ω
m
c
cr
s =
ω
−=−
m
c
cr
2
Phương trình chuyển động:
v(t) = (G
1
+ G
2
t) e
-i
ω

- Cản ít (Underdamping): c < c
cr
=2m
ω
.
Đặt
ξ
=
cr
c
c
=
ω
m
c
2

trong đó
ξ
là tỉ số cản (damping ratio).
Thế vào (2.27):
với
ω
D
=
ω
2
1
ξ
−

D
e
)(
ωξω
−−
= e
-
ξω
t
(G
1

ti
D
e
ω
+ G
2

ti
D
e
ω
−
)
hay v(t) = e
-
ξω
t
(Asin






+
=
ω
ξω
ρ


θ
= tan
-1

)0(
)0()0(
v
vv
D
ω
ξω
+

(2.30)
Đồ thò chuyển động với v(0) ≠ 0,
)0(v

= 0 như hình vẽ.

O
-
ξω
t
e
v
1
v
2
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
v(t) = e
-
ξω
t
(
D
vv
ω
ξω
)0()0( +

sin
ω
D
t + v(0)cos
ω
D
t) (2.31)
Chu kỳ dao động có cản: T =
D

v
v
=
2
1
2
ξ
πξ
−
≈ 2
πξ
, với
ξ
nhỏ.
πξ
πξ
πξ
πξδ
21......
!2
)2(
21
2
2
1
+≈+++===
+
ee
v
v

(từ
mt
mn
n
e
v
v
ξω
=
+
)
(2.33)
Công thức (2.32) và (2.33) dùng xác đònh tỉ số cản
ξ
bằng thực nghiệm.
Hệ số cản c được xác đònh theo công thức:
c = 2m
ωξ
(2.34)

- Cản nhiều (Overdamping)
Khi
ξ
> 1 (c > c
cr
) thì không có dao động, tương tự khi c = c
cr
ξ
càng lớn thì chuyển động về vò trí cân bằng càng chậm.
Chương 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO

1
β
−
=
k
p
G
o
với:
ω
ω
β
=
Vậy nghiệm tổng quát:
t
k
p
tBtAtvtvtv
o
ph
ω
β
ωω
sin
1
1
cossin)()()(
2
−
++=+=

ωβω
β
−
−
=

(2.37)
Tỉ số phản ứng (Response Ratio):

)sin(sin
1
1)()(
)(
2
tt
k
p
tv
v
tv
tR
o
st
ωβω
β
−
−
===
Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời
gian ngắn. Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là:

Nghiệm tổng quát:
tBtAetv
DD
t
h
ωω
ξω
cossin()(
+=
−
)
Nghiệm riêng:
tGtGtv
p
ωω
cossin)(
21
+=
Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:
222
2
222
2
1
)2()1(
2
)2()1(
1
ξββ
ξβ

−
=+−=
−
−
tg
k
p
o

(2.41)
và phương trình dao động ổn đònh:
)sin()(
θωρ
−= ttv
(2.42)
- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):
222
)2()1(
1
ξββ
ρ
+−
==
k
p
D
o
(2.43)
Khi
ω

2
2
p
k
o
1 − β
(1−β ) +(2ξβ)
k
p
o
2
2
2
2
2
Biểu diễn dao động bằng vectơ quay
ξ
=0
ξ
=0.2
ξ
=0.5
ξ
=0.7
ξ
=1.0
1
2
3
4