ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Chương 4
HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
4.1 Thiết lập phương trình chuyển động
4.1.1 Dao động uốn của dầm
Xét dầm thẳng như hình H.4.1. Tách phân tố xét cân bằng:
∑
= 0Y
0=−
∂
∂
+−+ dxf)dx
x
Q
Q(pdxQ
i
(4.1)
với lực quán tính phân bố
t
v
mdxdxf
i
∂
∂
=
2
(4.2)
Thế (4.2) vào (4.1) ta được:
2
2
t

=
∂
∂

(4.5)
Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:
p
t
v
m
x
M
=
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
(4.6)
hay
p
t
v
m)
x
v

I
p(x,t)
Q
M
dx
x
Q
Q
∂
∂
+
dx
x
M
M
∂
∂
+
O
H.4.1. Dao động uốn dầm
dx
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
p
t
v
m
x
v
N)
x







∂
∂
+−
∂
∂
+ dx)t,x(qdx
x
)t,x(N
)t,x(Ndx
t
)t,x(u
)x(m)t,x(N
(4.9)
Ta có:
)x(EA
x
)t,x(u
)x(EA)t,x()x(A)t,x()t,x(N
∂
∂
===
εσ
(4.10)
Thế vào (4.9) ta được:

2
4
4
=
∂
∂
+
∂
∂
t
)t,x(v
m
x
)t,x(v
EI
(4.12)
hay:
0=+ )t,x(v
EI
m
)t,x(v
IV


(4.13)
Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:
)t(Y)x()t,x(v
φ
=
(4.14)

)t,x(u
)x(m
2
2
∂
∂
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
0=+ )t(Y)x(
EI
m
)t(Y)x(
IV

φφ
(4.15)
Chia hai vế bởi
)t(Y)x(
φ
, (4.15) trở thành:

0=+
)t(Y
)t(Y
EI
m
)x(
)x(
IV

φ

φ
(4.18)
Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:
0
2
=+ )t(Y)t(Y
ω

(4.19a)
0
4
=− )x(a)x(
IV
φφ
(4.19b)
với
m
EIa
4
2
=
ω

(4.20)
Phương trình (4.19a) có nghiệm:
tsinBtcosA)t(Y
ωω
+=
(4.21)
hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu

as,ias
,,
±=±=
4321

(4.25)
Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:
axaxiaxiax
eGeGeGeG)x(
4321
+++=
−
φ
(4.26)
với G
1
, G
2
, G
3
, G
4
là các hằng số phức.
Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:
)sinh()cosh()sin()cos()(
4321
axAaxAaxAaxAx +++=
φ
(4.27)
các hằng số A

φ
=
(4.29)
Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:
2
c
)t(Y
)t(Y
EA
m
)x(
)x(
II
−==

φ
φ
(4.30)
Từ đó dẫn tới hai phương trình:
0
2
=+ )t(Y)t(Y
ω

(4.31a)
0
2
=+ )x(c)x(
II
φφ

∫
dx)x(m)x()x(
L
nm
φφ
(4.34)
4.3 Phương pháp độ cứng động lực học (the Dynamic direct Stiffness Method -
DSM)
4.3.1 Ý nghóa
Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và
dẫn tới phương pháp độ cứng tónh học (Static dirrect Stiffness Method). Phương
pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính.
Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, có
thể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, được
Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
81
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
coi là chính xác. Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào
tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán công
trình.
4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực
Xét dầm tiết diện đều, không chòu lực tác dụng, phương trình chuyển động
của nó cho bởi (4.13):
0=+ )t,x(v
EI
m
)t,x(v
IV

(a)

m
a
2
4
ω
=

(4.38)
Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:
)cosh()sinh()cos()sin()(
4321
xaAxaAxaAxaAx +++=
φ
(4.39)
a
phụ thuộc vào tần số cưỡng bức
ω
, khác với
a
phụ thuộc vào tần số tự nhiên
ω

theo (4.20).
Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản:
EI
m
a
2
4
ω




−
−−
−
=


















′′′
′′
′
4
3