PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG.
Chuyªn ®Ò 1 : VÐc tơ v tà ọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thuyÕt.
I. Hệ Trục toạ độ
II. Tọa độ vÐc tơ.
1. Đị nh ngh ĩ a .

( ; )u x y u xi y j= ⇔ = +
r r r r
2. C¸c tÝnh ch ấ t .
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y= =
r r
, ta cã :
a.
( '; ')u v x x y y+ = + +
r r
b.
( ; )ku kx ky=
r
.
c.
. ' 'u v xx yy= +
r r
.
d.
2
2 2 2 2
' ' .u x x u x x= + ⇒ = +

r r

5 ;b j=
r r

3 4 ;c i j= −
r r r

1
( );
2
d j i= −
ur r r

0,15 1,3 ;e i j= +
r r r

0
(cos24 ) .f i j
π
= −
ur r r
VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ :
(2;1); (3;4); (7;2)a b c= = =
r r r
.
a. T×m toạ độ của vÐc tơ
2 3 .u a b c= − +
r r r r
b. T×m toạ độ của vÐc tơ

.c xa yb= +
r r r
c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng
. ; . ; ( ); ( )a b b c a b c b a c+ −
r r r r r r r r r r
VÝ dụ 4. Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j= − = −
r r r r r r
T×m
k
để
,u v
r r
cïng phương.
III. Toạ độ của điểm.
1. Đị nh ngh ĩ a .
( ; ) ( ; ) .M x y OM x y OM xi y j= = = +
uuuur uuuur r r
2. M i liên h gi a to i m v to c a véc t .
Trong mt phng to
Oxy
cho hai im
1 1 2 2 3 3
( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y
. Khi đó:
a.
2 2

, ,A B C
thng h ng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im không thẳng h ng.
b. Tính chu vi ABC .
c. Tìm ta trc tâm
H
.
Ví d 2. Cho ba im
( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng h ng.
b. Tìm to
D
sao cho
A
l trung im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên


.
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ
0u
r r
đợc gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

nếu
nó có giá song song hoặc trùng với đờng thẳng

.
* Chú ý:
- Nếu
;n u
r r
là véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

thì 0k các véc tơ
;kn ku
r r
cũng tơng ứng là các véc tơ pháp tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

.
- Nếu
( ; )n a b=
r
là véc tơ pháp tuyến của đờng thẳng

thì véc tơ chỉ phơng là
( ; )u b a=


. Khi đó phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :

0)()(
00
=+
yybxxa
(1). (
.0
22
+
ba
)
III. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi qua
);(
000
yxM
và có véc tơ chỉ phơng
);(
21
uuu
=

. Khi đó phơng trình tham số của



có vtcp
là
);( abu
=


hoặc
);( abu
=


.
Cho
0
xx
=
thay vào phơng trình (2)
.
0
yy
=
Khi đó ptts của

là :




=

);(
12
uun
=


. Và phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
=
yyuxxu
.
* Chú ý :
- Nếu
0
1
=
u
thì pttq của

là :
0
0
=
xx
.
- Nếu

.
b. Đi qua hai điểm
(1;2)A
và
(3;4)B
;
( 1;2)A
và
( 1;4)B
;
(1;2)A
và
(3;2)B
.
c. Đi qua
(3;2)M
và
1 2
// : ( )
x t
d t
y t
= +



=

Ă
.

1 2
: ( )
x t
d t R
y t
= +



=

Ă
.
III. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có hệ số góc k cho trớc.
+ Phơng trình đờng thẳng

có dạng
y kx m= +
.
+ áp dụng điều kiện đi qua
0 0
( ; )M x y
m
.
Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng

và có vtcp
u
r
, nếu :
+
(2;3)A
và
( 1;2)u =
r
.
+
( 1;4)A
và
(0;1)u =
r
.
c. Đi qua
(3; 1)A
và
// : 2 3 1 0d x y+ =
.
d. Đi qua
(3;2)M
và
(2;2)n =
r
.
e. Đi qua
(1;2)N
và

( ) : 4 3 1 0;( ) :7 2 22 0AH x y BK x y + = + =
.
e.
(1;3)A
hai trung tuyến
( ) : 2 1 0;( ) : 1 0BM x y CN y + = =
.
f.
(4; 1)C
đờng cao
( ) : 2 3 0AH x y =
trung tuyến
( ) : 2 3 0.BM x y+ =
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
A. tóm tắtlí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b

1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =


+ + =

(1)
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ.
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng thẳng song song nhau.
Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y
thì hai đờng thẳng trùng nhau.
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b. bài tập cơ bản.
I. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt
nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
1 4

2 2
1 2
: ( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m + + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 1 0; : 2 0mx y m x my + = + + =
Biện luận theo
m
vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trờng hợp cắt
nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
5
:12 6 10 0; : ( )
3 2
x t
x y t
y t
= +

+ =

Bài 2: Biện luận theo
m
vị trí các cặp đờng thẳng sau
a)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y m x my m + = + =
b)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y x my m + + = + + + =
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng thẳng.
A. tóm tắt lí thuyết.
I. Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng
1 2
;
cắt nhau. Khi đó góc giữa
1 2
;
là góc nhọn và
đợc kí hiệu là:
( )
1 2
,
.