Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
ON TAP HK I-MU, LOGARIT,LUY THUA
1.ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ
α
Cơ số a
Lũy thừa
α
a
*
Nn
∈=
α
Ra
∈
naaaaa
n
(.......
==
α
thừa số )
0
=
α
0
≠
a
1
0
==
aa

n
m
=⇔===
α
),(lim
*
NnQrr
nn
∈∈=
α
0>a
n
r
aa lim
=
α
2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có
α
α
α
αααβαβαβα
β
α
βαβα
b
a
b
a
baabaaa


bab
a
=⇔=
α
α
log

beb
bb
=⇔=
=⇔=
α
α
α
α
ln
10log
4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*
baa
b
aa
a
===
log
;1log;01log
*
cbcb
aaa

aaa
log
1
log;log
1
log
=−=
*
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log
=⇒=
Đặc biệt :
bb
a
b
a
a
b
a
log

x
x
x
e
x
x
x
6. BẢNG ĐẠO HÀM.
xx
ee
=
)'(
uu
eue '.)'(
=
Trang 1
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
aaa
xx
ln.)'(
=
x
x
1
)'(ln
=
aa
x
x
a

au
u
u
a
ln.
'
)'(log
=
'.)'(
1
uuu
−
=
αα
α
n n
n
un
u
u
1
.
'
)'(
−
=
7 .CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
a)
)()(10
)()(

xgxf
<⇔><<

)()(0)(log)(log xgxfxgxf
aa
<<⇔>
I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.
1)
( )
5
5
2
3
126
.. yxyx
−
2)
33
3
4
3
4
ba
abba
+
+
3)
1.
1






+
+
−
+
m
m
m
m
m
1
2
1
2
.
22
4
2
1
3
2
* Tính giá trị của biểu thức.
1)
5
3
3

2
3
1
)9(864.)2(001,0
+−−−
−
−
−
3)
5,0
75,0
3
2
25
16
1
27
−






+
−
4)
3
2
1

3)
4
8 3
. bb
4)
4
3
.27
3
1
a
* Tính .
1)
( )
3
3
3






2)
31321
16.4
+−
3)
23
2

π
ππ








−+
abba .4)(
1
2
II. LÔGARIT.
* Biết log
5
2 = a và log
5
3 = b . Tính các lôgarit sau theo a và b.
Trang 2
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
1) log
5
27 2) log
5
15 3) log
5
12 4) log
5

2
27a
b

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log
9
15 + log
9
18 – log
9
10 2)
3
3
1
3
1
3
1
45log3400log
2
1
6log2
+−
3)
3log
2
1
2log
6

2
1
5log1
52
4
4216
+
+
+
3)








+
−
−
4log
6log9log
2
1
5
77
54972
* Tìm x biết.
1) log

4)
).ln(4ln
21
eee
+
−
* Tìm x biết
1) log
x18
= 4 2)
5
3
2log
5
−=
x
3)
6)2.2(log
3
−=
x
* Biết log
12
6 = a , log
12
7 = b. Tính log
2
7 theo a và b.
* Biết log
2

1
12
4) y = log(-x
2
– 2x ) 5) y = ln(x
2
-5x + 6) 6) y =








−
+−
x
xx
31
132
log
2
2
* Tìm các giới hạn.
1)
x
e
x
x




−
∞→
xex
x
x
1
.lim
5)
x
x
3
9
loglim
→
6)
x
x
x
)14ln(
lim
0
+
→
7)
x
xx
x

x
x
tan
)21ln(
lim
0
+
→
* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
1) y = (x
2
-2x + 2).e
x
2) y = (sinx – cosx).e
2x
3) y =
xx
xx
ee
ee
−
−
+
−
4) y = 2
x
-
x
e
5) y = ln(x

2cos x
15) y = 5
cosx + sinx
* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = e
sinx
; y’cosx – ysinx – y’’ = 0
Trang 3
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
2) y = ln(cosx) ; y’tanx – y’’ – 1 = 0
3) y = ln(sinx) ; y’ + y’’sinx + tan
2
x
= 0
4) y = e
x
.cosx ; 2y’ – 2y – y’’ = 0
5) y = ln
2
x ; x
2
.y’’ + x. y’ = 2
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:
1). (0,2)
x-1
= 1 2).
3
3
1






5).
( ) ( )
223223
2
+=−
x
6).
( ) ( )
1
1
1
2525
+
−
−
−=+
x
x
x
7).
1
5
93
2
+







−+
xx
10)
27
6020
5.3.4
131
=
+−+
xxx
11) 5
x+1
+ 6. 5
x
– 3. 5
x-1
= 52
12) 2. 3
x+1
– 6. 3
x-1
– 3
x
= 9 13) 4

5) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26 6) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

7) 4
x
– 2. 5
2x
= 10
x
8) 27
x
+ 12
x
= 2. 8
x
9)
( ) ( )
23232
=−++
xx
10)
14487487




+
xx
12)
( ) ( )
x
xx
2.14537537
=−++
13) 3
2x+4
+ 45. 6
x
– 9. 2
2x+2
= 014) 8
x+1
+ 8.(0,5)
3x
+ 3. 2
x+3
= 125 – 24.(0,5)
x
* Giải các phương trình.
1)
44
23
2

x
255
5
log3
=
−
6)
5
3log
6
33.
−
−
−
=
x
x
7)
2
log
9
.9 xx
x
=
8)
5log
34
55.
x
x

V. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT.
* Giải các phương trình.
1) log
2
x(x + 1) = 1 2) log
2
x + log
2
(x + 1) = 1 3) log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
4) log
2
(3 – x) + log
2
(1 – x) = 35) log
4
(x + 3) – log
2
(2x – 7) + 2 = 0
6)
x
x
xx
2log
log
log.log
125
5
25

3)
33loglog3
33
=−
xx
4) 4log
9
x + log
x
3 = 3
5) log
x
2 – log
4
x +
0
6
7
=
6)
x
x
x
x
81
27
9
3
log1
log1

x
4
– log
2
x
3
– 2 = -6log
2
x.log
5
x 10)
3log)52(log
2
52
2
2
=+−
xx
x
x
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.
Trang 4
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
1)



+=+
=+




=−
=+
2loglog
25
22
yx
yx
5)



=+
=+
1
433
yx
yx

6)





=+
=+
−−

yxyx
yx
9)





=+−
+=
0log.log)(log
)(logloglog
2
222
yxyx
xyyx
10)





=
=
3log4log
loglog
)3()4(
43
yx
yx

13)



=−−+
=−
1)23(log)23(log
549
35
22
yxyx
yx
14)





=
=
y
x
y
x
yxxy
3
3
3
272727
log4

+−
xx
4)
13732
3.26
−++
<
xxx
5)
439
1
+<
+xx
6) 3
x
– 3
-x+2
+ 8 > 0 7)
243
4log
3
<
+
x
x

9)
5)15(log
2
1

x
x
13) log
2
2
x + log
2
4x – 4 > 0 14)
0log3log
3
<−
xx
15) log
2
(x + 4)(x + 2)
6
−≤
16)
0
1
13
log
2
>
+
−
x
x
x
17)

−






<








−






3
4
1
log1
2
1
log

5
12
log
8,0

+
+
x
x
2) y =
1)2(log
2
1
+
x
Ph ơng trình và bất ph ơng trình mũ
i) ph ơng pháp logarit hoá và đ a về cùng cơ số
1)
5008.5
1
=

x
x
x
2)
( ) ( )
244242
22
1

x
=
+
34 x
6)
( ) ( )
3
1
1
3
310310
+
+


<+
x
x
x
x
7)
24
52
2

=
xx
8)
1
2

1
1
2
+
+

x
x
xx
12)
( )
3
2
2
2
11
2
>
+
xx
xx
13)
2431
5353.7
++++
++
xxxx
Ii) Đặt ẩn phụ:
1)
1444

=++
xx
xx

5)
( )
77,0.6
100
7
2
+=
x
x
x
6)
1
12
3
1
3
3
1
+






+





+
1
8)
1099
22
cossin
=+
xx
9)
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
10)
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
+ =
11)
( ) ( )( ) ( )
3243234732
+=+++
xx
12)
06.3-1-7.35.3

+
18)
323
1-x1-2x
+=

19)
( ) ( )
1235635-6
xx
=++
20)
0173.
3
26
9
=+







xx
21)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x
+ + +

+
xxxx
27)
101616
22
cossin
=+
xx
28)
0
12
122
1


+

x
xx
29)
xxxx
22.152
53632
<+
++
30)
222
22121
5.34925
xxxxxx

1
>













xx
34)
9339
2
>
+
xxx
35)
xxxx
993.8
44
1
>+
++
36)

21
2
+
+++
xxx
III) ph ơng pháp hàm số:
1)
12
21025
+
=+
xxx
2)
xxx
9.36.24
=

10)
( )
0331033
232
=++

xx
xx
Trang 6
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
3)
2
6.52.93.4

2525 xx
x
8)
x
x
381
2
=+
)
5loglog2
22
3 xx
x
=+
11)
( )
2
1
122
2
−=+−
−−
x
xxx

12)
1323
424
>+
++

- 13.6
x
+ 6.9
x
= 0 3) 7
6-x
= x + 2
4)
( ) ( )
43232
=++−
xx

5)
2 3 1
x
x
= +
6) 3
x+1
+ 3
x-2
- 3
x-3
+ 3
x-4
= 750
7) 3..25
x-2
+ (3x - 10)5

x
x
x
x
−
+ − −
−
+
+ = =
=
( ) ( )
1
14)5 5 4 0 15)6.9 13.6 6.4 0
16) 5 24 5 24 10
x x x x x
x x
−
− + = − + =
+ + − =
( )
2
8 1 3
17) 15 1 4 18)2 4
x
x x x x− + −
+ = =
2
5
6
2

x x x x
−
− −
−
−
+ + + +
= − + =
− = − + =
− + = + − =
( ) ( )
+ + − − =
− − =
27) 2 3 2 3 4 0
28)2.16 15.4 8 0
x x
x x
( )
2 2
3
x 3 x 3 x-1
42) 2 .5 0,01. 10
− −
=
( ) ( )
+ − − + =29) 7 4 3 3 2 3 2 0
x x
( ) ( )
+
+ + − =
3

− − + − =
( )
( )
2 x
x
2 1
1 x
1
3
x
3
1
5
2 x 1
4 x 10
3 1
x-3
3
1
3x-7
1
38) 3.3 . 81
3
39) 2 4 .0,125 4 2
40) 2.0,5 -16 0
41) 8 0,25 1
x
x
x
x

x x
−
− − +
   
=
 ÷  ÷
   
=
=
+ =
2 2
x 1 x 3
x x-1
47) 9 -36.3 3 0
48) 4 -10.2 -24 0
− −
+ =
=
hÖ ph ¬ng tr×nh mò vµ hÖ ph ¬ng tr×nh logarit
1)
( ) ( )
2 2
log 5 log
l g l g4
1
l g l g3
x y x y
o x o
o y o
− = − +

4 32
log 1 log
+


=


− = − +

x y
y x
x y x y
3)





=
=
+−
5
1
10515
2
xy
y
xx
4)

2
2
69
12
2
2
6)



=
=−
12
3
3
1log
y
x
xy
7)
( )
2
4
4
9 27.3 0
1 1
l g l g lg 4
4 2
xy y
o x o y x

=
2log
9722.3
3
yx
yx
9)
( )
( ) ( )
2 2
l g 1 l g8
l g l g l g3
o x y o
o x y o x y o

+ = +


+ − − =


11)
( )
( ) ( ) ( )



+=−−−−
=
−+

aa
14)
( )
( )





−=+
=+
−
yxyx
yx
xy
5
log3
27
5
3
21)
( )
( )



=+
=+
232log
223log

o y o y o
+ − = + −



= −

+ − +

24)
( )





=−
=−
1log
1loglog
2
2
xy
x
x
y
yxy
25)
( ) ( )


=−−+
2
1loglog
22
22
vu
vuvu

28)
( )





≠≠=
=
0pq vµ qp
y
x
y
x
yx
a
a
a
qp
log
log
log





=
+
−
+
−
+
=+
−−
8
53
542
12
yx
yx
yx
yx
xyxy
16)
( ) ( )





>=
=

x
x
y
y
x
18)
( )





>=+
=
+−
0x 8
1
107
2
yx
x
yy
19)








=
−−
0x 2
1
16
22
yx
x
yx
35)
( ) ( )
l g l g
l g 4 l g3
3 4
4 3
o x o y
o o
x y
=



=


36)
( )





=
=
−−+
−
−−
+
137,0
12
162
8
2
2
xxyx
yx
xyx
yx
39)



=−
=+
1loglog
272
33
loglog
33
xy
yx

1 2
1
4 lgx 2 lg x
+ =
− +
7.
2 2
log x 10log x 6 0+ + =
8.
0,04 0,2
log x 1 log x 3 1
+ + + =
9.
x 16 2
3log 16 4log x 2log x− =
10.
2
2x
x
log 16 log 64 3+ =

11.
3
lg(lgx) lg(lgx 2) 0+ − =
32.
3 1
2
log log x 0
 
≥

2
log x log x 1+ >
39.
( )
2
2x
log x 5x 6 1− + <
40.
( )
2
3x x
log 3 x 1
−
− >
41.
2
2
3x
x 1
5
log x x 1 0
2
+
 
− + ≥
 ÷
 
42.
x 6 2
3

2
 
+ + =
 ÷
 
13.
( ) ( )
x x
2 2
log 4.3 6 log 9 6 1− − − =

14.
( ) ( )
x 1 x
2 2 1
2
1
log 4 4 .log 4 1 log
8
+
+ + =
15.
( )
x x
lg 6.5 25.20 x lg25+ = +
16.
( )
( ) ( )
x 1 x
2 lg2 1 lg 5 1 lg 5 5

( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0
+ + + + + − =
23.
( )
5
log x 3
2 x
+
=
24.
( )
2
8
log x 4x 3 1− + ≤
25.
3 3
log x log x 3 0− − <
26.
( )
2
1 4
3
log log x 5 0
 
− >
 
27.

3
− + − >
45.
2
3 3 3
log x 4log x 9 2log x 3− + ≥ −
46.
( )
2 4
1 2 16
2
log x 4log x 2 4 log x+ < −
47.
2
6 6
log x log x
6 x 12+ ≤
48.
3
2 2
2 log 2x log x
1
x
x
− −
>
49.
( ) ( )
x x 1
2 1

1 2
1
5 log x 1 log x
53.
− >
x 100
1
log 100 log x 0
2
54.
11252
5
<−
x
logxlog
55.
( ) ( ) ( )
04221
3
3
1
3
1
<−+++−
xlogxlogxlog
56.
( )
xlogxlog
x
2

2
3
2
9
++>+++
xxlogxxlog
61.
( ) ( )
11
1
1
2
+>+
−
−
xlogxlog
x
x
62.
( )
( )
2
3
23
33
2
3
43282 xlogxxxlogxlogxlogx
+−≥−+−
63.




−
−
x
x
log
x
Trang 10
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGA SIÊU VIỆT
3
6
3 2
/ 2
2 3
log ( 1)
log
2 6
1)2 8 14
2)1 8 3
3)log (1 ) log
4)2
5)log ( 3 ) log
−
+
= − + −
+ =
+ =

12)3 4 5
13)3 (3 10).3 3
− −
+ =
+
+ =
 
− − =
 
+ − =
+ =
+ − + −
x
x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
2
2
x
2
2 2
x
x 6 10 2

23)6 12
24)6 8 10
+ +
+ − + − =
=
+ + =
+ =
+ =
+ =
x x
x x x x
x x
c c x
x
x x x
x x
x
2
2
25)log 8log 2 3 − =
x
x
2
2
lg lg5
lg 2
7 3
3
3
1 1

2 7
4
12 9
2
) 2log
33)2
34) log (1 ) log
1
35)log ( ) log
2
36)lg( 6) lg( 2) 4
+
=
=
+ =
− =
− − + = + +
x
x
x
x x
x x x
x x x x
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/. 3
x
+ 5

7/. 12.9
x
- 35.6
x
+ 18.4
x
= 0 8/. 3
x
+ 3
3 - x
= 12.
9/.
3 6 3
x x
+ =
10/. 2008
x
+ 2006
x
= 2.2007
x
11/. 125
x
+ 50
x
= 2
3x + 1
12/.
2
1 1

+ 8 = 2
x + 1
+ 4.3
x

17.
2
2 2
( 1)
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
18/ 3
x + 1
= 10 − x.
19/.
2. 3 3 1 4
2 5.2 2 0
x x x x+ − + + +
− + =
20/. (x + 4).9
x
− (x + 5).3
x
+ 1 = 0
21/. 4

2/.
2 2
11
9 8.3 4
x xx x
m
+ −+ −
− + =
3/.
54
9 3
3
+ + =
x
x
m
4/. 4
x
− 2
x + 1
= m
Bài 3: Tìm m để phương trình 9
x
− 2.3
x
+ 2 = m có nghiệm x∈(−1; 2).
Bài 4: Tìm m để phương trình 4
x
− 2
x + 3

9 4.3 8
x x
m
− + =
có nghiệm x∈[−2; 1].
Bài 10: Tìm m để phương trình 4
x
− 2
x + 3
+ 3 = m có đúng 1 nghiệm.
Bài 11: Tìm m để phương trình 4
x
− 2
x
+ 6 = m có đúng 1 nghiệm x∈[1; 2].
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH − HỆ PT MŨ:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/.
3 2
2 3
x x
>
2/.
( ) ( )
3 2 3 2 2
x x
+ + − ≤
3/.
2
x + 2

x x
x
+
+
− +
≥
−
7/.
2
2 4
x x−
≤
8/.
3 1 3 2 3
x x
+ + − ≥
9/. 2
x
−
1
.3
x + 2
> 36 10/.
2 2 11 2 5
x x
+ + − ≥
11/.
1
9 4.3 27 0
x x+

1 2
2 2 9
x x
+ −
+ <
Trang 12
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
17/.
( )
22 1
2 9.2 4 . 2 3 0
x x
x x
+
− + + − ≥
18/.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình:
4 2 0
x x
m− − ≥
nghiệm đúng x
∈
(0; 1).
Bài 3: Tìm m để bất phương trình:
1
4 3.2 0
x x
m
+
− − ≥

m− − ≤
nghiệm đúng x
∈
(1; 2).
Bài 8: Cho ph¬ng tr×nh:
( ) ( )
01212
1
22
=+−++
−
m
xx
(1) (m lµ tham sè)
T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.
Bài 9: Giải các hệ phương trình
1/.
2 5
2 1
y
y
x
x

+ =


− =



=


4/.
3 2 11
3 2 11
x
y
x y
y x

+ = +


+ = +


5/.
2 .9 36
3 .4 36
y
x
y
x

=


=


8/.
4 3 7
4 .3 144
y
x
y
x

− =


=


9/.
.
2 5 20
5 .2 50
y
x
y
x

=


=


10/.

3 19
y
y
x
x

− =


+ =


C. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.
Bài 1: Giải các phương trình:
1/.
3
log log 9 3
x
x + =
2/.
( )
( )
2 4
1
log 2 1 .log 2 2 1
x x+
− − =
3/.
2
2

log 5 log 2 5x x x− − = +
8/.
2
3
3
log ( 12)log 11 0x x x x+ − + − =
9/.
2
3 3
log log
3 6
x x
x+ =
10/.
( )
2 2
log 4 log 2 4x x+ = + −
11/.
2
2 2 2
2
log 3.log 2 log 2x x x− + = −
12/.
2 3 3 2 3
log .log .log 3 log 3logx x x x x x x+ + = + +
13/.
( ) ( )
3 2
3.log 2 2.log 1x x+ = +
14/.

20/.
( ) ( )
( )
3 3 3
2
log 2 2 log 2 1 log 2 6
x x x+
− + + = −
Trang 13
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
21/.
( )
2
2 2
2
8
2
log log 8 8
x
x+ =
22/.
2
2 2
log log 6
6.9 6. 13.
x
x x+ =
23/.
( ) ( )
2

m x
= +
cú ỳng 2 nghim phõn bit.
Bi 5: Tỡm m phng trỡnh
2
3 3
log ( 2).log 3 1 0x m x m
+ + =
cú 2 nghim x
1
, x
2
sao cho x
1
.x
2
= 27.
Bi 6: Cho phơng trình:
0121
2
3
2
3
=++
mxlogxlog
(2)
1) Giải phơng trình (2) khi m = 2.
2) Tìm m để phơng trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn



log 3 log 1x x+ +
3/.
( )
( )
2
2 2
log 3 2 log 14x x x + +
4/.
( )
2
2 2
3
log 2 log 1x x
5/.
( )
2
1
log 4 2
x x
x
+

6/.
( )
2 2
2 2
log 2log 3 5 4 0x x x x+ +
7/.
2 2
log 1 3 logx x

0
log
2
x x
x


11/.
2 1 1
2
2
log log log 3 1x x

ữ
+
ữ

12/.
2
2 3 3 2
log .log 2 log logx x x x+ +
13/.
2
2 2
log log 1
8
x
x
x


x y
x y

+ + =


+ =


3/.
log log 2
6
yx
y x
x y
+ =



+ =


4/.
2 2
2
6
log 3
log log 2
x y
x y



=

7/.
2
3
log
log 2 3
9
y
y
x
x

+ =


=


8/.
2 2
2 2
log log
16
log log 2
y x
x y
x y

log log 2
y x
x y
x y

+ =


+ =


11/.
32
log 4
y
xy
x
=



=


12/.
( )
2
2
log 4
log 2

94











+
+






aa
aa
aa
aa
với 0 < a 1,
2
3
B =
3
2







+
a
b
b
a
a, b < 0
D =
( ) ( )
( )
3
122
21
2
12


baba
baabba
E =
( )





b
a
b
a
ab
n
n
n
n
n




1
1
G =
))()((
))((
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4


+ +
ữ

ữ

ữ
+ +

I =
3
23
3
2
3
2
2
23
3
2
3
2
2
3
642246
2
2)(
2)(
33
1








+
+



21
.
1
2
4
4
3
4
3
với a, b > 0 và a b
Bài2: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
( )
1
1
1

+

12
23
11
2









++
++
+
xx
xx
xx
x
E =
1)22(
4
1
1
1)22(
4
1
1
2








+
a
b
b
a
2
1
a, b < 0
Bài3: Rút gọn các biểu thức sau:
A =
( )
2
4
2

aa
B =
( )
4
4
8
baa
+

22
baabaa


+
Bài4: Biến đổi các biểu thức sau về dạng luỹ thừa có số a, biết:
A =
7
5
3
3333
và a = 3 B =
3
5
4
24
và a =
2
Bài5: so sánh a, b biết: a)
ba

>
b)
( ) ( )
ba
2525
+>

biến đổi logarit
Bài1: Tính giá trị của biểu thức sau:

4
22
36log2log15log
2loglog
3536
956
+

D =
5log2log
3log2
3
3
1
3
2
2
19
2
3
4
327log2164log

+
+
Bài2: Rút gọn biểu thức:
A =
3log
2
2log

a
b) B =
a
b
ba
2
2
log
biết log
a
b = 2
c) C =
32log
9
biết log
2
6 = a d) D =
16log
30
biết a = lg3 và b = lg5
Bài4: Cho m =
3log
2
và n =
5log
2
. Tính theo m và n giá trị của các biểu thức:
A =
6
2

abc
cba
accbba
log
log.log.log
logloglog.loglog.log
=++
Bài7: Cho 0 < x
1
, x
2
, , x
n
1. Chứng minh
rằng:

1loglog....logloglog
1432
1321
=

xxxxx
nn
xnxxxx
Bài8: Cho 0 < x
1
, x
2
, , x
n

ca
ca
b
loglog
log.log2
log
+
=
, 0 < a, b, c, x, y, z 1
Bài10: Chứng minh rằng với 0 < N 1 và a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân ta luôn có:
NN
NN
N
N
cb
ba
c
a
loglog
loglog
log
log


=
, 0 < a, b, c 1
Bài11: Chứng minh rằng với x
2
+ 4y
2


Bài13: Xác định a, b sao cho:
( )
baba
+=+
222
logloglog
ph ơng trình và bất ph ơng trình mũ
i) ph ơng pháp logarithoá và đ a về cùng cơ số
1)
5008.5
1
=

x
x
x
ĐHKTQD - 98
2)
( ) ( )
244242
22
1
+=+
xxxx
x
ĐH Mở - D - 2000
Trang 17
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
3)

34x

A) khối- 2001 - Nai ồngĐSP Đẳng (Cao
6)
( ) ( )
3
1
1
3
310310
+
+


<+
x
x
x
x
ĐHGT - 98
7)
24
52
2

=
xx
8)
1
2

1
1
2
+
+

x
x
xx
12)
( )
3
2
2
2
11
2
>
+
xx
xx
13)
2431
5353.7
++++
++
xxxx
Ii) Đặt ẩn phụ:
1)
1444

05232.29
=++
xx
xx
ĐHTM - 95
5)
( )
77,0.6
100
7
2
+=
x
x
x
ĐHAN - D - 2000
6)
1
12
3
1
3
3
1
+












+
1
2001) - TPHCM HY(Đ
8)
1099
22
cossin
=+
xx
ĐHAN - D - 99
9)
1 1 2
4 2 2 12
x x x+ + +
+ = +
ĐHTCKT - 99
10)
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0
x x x x+ + +
+ =
ĐHTL - 2000
11)

+
( )
2001 - HPCCCĐ
16)
205-3.1512.3
1xxx
=+
+
D) khối- 2001 - huế H(Đ
17)
323
1-x1-2x
+=

BD) - 2001 - ôĐ ôngĐ lập dan H(Đ
18)
( ) ( )
1235635-6
xx
=++
2001) - nghệ côngthuật kỹDL H(Đ
19)
0326.2-4
1xx
=+
+

(ĐH dân lập văn hiến - 2001 - khối D)
20)
0173.

=++
xx
24)
( ) ( )
02323347
=++
xx
25)
111
222
964.2
+++
=+
xxx
26)
12.222
56165
22
+=+
+
xxxx
27)
101616
22
cossin
=+
xx
28)
0
12

3
>+
x
x
x
33)
3log
2
1
1
2
4
9
1
3
1
>














5
2
2
1
2
2
1
log
log
>+
x
x
x

39)
0124
21
2
+
+++
xxx
III) ph ơng pháp hàm số:
1)
12
21025
+
=+
xxx
HVNH - D - 98
2)

6)
( )
x
2
22
32x3x-.2x32x3x-
++>++
2525 xx
x

2001) - nhb thái HY(Đ i
7)
163.32.2
>+
xxx
ĐHY - 99
8)
x
x
381
2
=+
9)
5loglog2
22
3 xx
x
=+
10)
( )

+

x
x
x
14) 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
Một số bài toán tự luyện:
1) 3
x+1
+ 3
x-2
- 3
x-3
+ 3
x-4
= 750 2) 7. 3
x+1
- 5
x+2
= 3
x+4
- 5
x+3

3) 6. 4
x

( ) ( )
x
xx
23232
=++
9)5
x
+ 5
x +1
+ 5
x + 2
= 3
x
+ 3
x + 3
- 3
x +1 1
( )
( ) ( ) ( )
2121
2
5
6
318
12
2
143
3
333222202162194218
41151710245245160466139615
( )
( )
( )
01722)260273.43)25122)24
1)2311)22125.3.2)21
7625284
4
2
2
2
1
221
2
2
=+=+=+
==+=
++++




xxxx
x
x
x
xxx
xx
xxxx

7-3x
3-x
x2
1
x4
5
x
x2
x1
x
100,01..52 42) 18 41)
016-.0,52 40) 242 39)
81
3
1
..33 38)

22
==
==
=






=+
++=++=+=+


xxxxxxxxxx
xx
x
Trang 19
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
xx
11
211
12
50.25,425 =+=
=






=






+

x
1
1-x1-2x
xxxx

[ ]
{ }
2
1
2loglog 2)
34
=++ x
22
log31log1
( )
( )
1-xlogxlog 3)
2
1
2
2
=
1
( )
3xlog 4)
2
x
=+
44x
124.loglog 5)
2
cos
cosx
=
x

2
4
1
++=+

10)
( ) ( ) ( ) ( )
1log1log1log1log
24
2
24
2
2
2
2
2
++++=++++
xxxxxxxx
11)
( )
( )
112log.loglog2
33
2
9
+=
xxx
12)
( ) ( )
3log3127log23log


x
x
16)
( ) ( )
3
8
2
2
4
4log4log21log xxx
++=++
17)
( )
( ) ( )
93.11log33log3log1
5
1
55
=++
+
xx
x
18)
( )
( )
114log16log
2
2
2

x
23)
( )
[ ]
113loglog
2
2
1
>+
x
24)
( )
2385log
2
>+
xx
x
25)
0
1
13
log
2
>
+

x
x
x
26)

2







=






=
27)
( )
322
2
2
2
loglog
+
xx
x
28)
( )
3
3

35
12,0










x
x
x
x
31)
22004log1
<+
x
32)
( )
( )
3
5log
35log
3
>



x
x
35)
( )
1log
1
132log
1
3
1
2
3
1
+
>
+
x
xx
Trang 20
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
36)
x
x
x
x
2
2
1
2
2

( )
04log286log
5
2
5
1
>++
xxx
38)
( )
[ ]
05loglog
2
4
2
1
>
x
39)
( )
165
2
2
<+
xx
x
log
40)
15
2

43)
( )
22log1log
2
2
2
<+
xx
II) ph ơng pháp đặt ẩn số phụ:
Giải các ph ơng trình:
x
2
lg
x
xx
lg2
2
9
lg3
10)1
2


=
( )
( )
[ ]
( )
3log
2-x92-x 2)

[ ]
( )
02-xlog1-xxlog 7)
2
22
=+ x
2
( ) ( )
6log-52log3 8)
22
=++++ 5454
22
xxxx
1logxlog 9)
2
2
2
=++
1x
10)
( ) ( )
155log.15log
1
255
=
+
xx
11)
( )
( )

0562log12log
2
2
2
2
=++
xxxxx
16)
( )
032log225log
25
2
>++
+
x
x
17)
03183
2
1
log
log
3
2
3
>+
x
x
18)
( )

( )
63
3
2
3
loglog
+
xx
x
22)
( )
3
4 1
5
log 4 1 log 3
2
x
x
+
+ + >
23)
xx
22
loglog2
>
III) ph ơng pháp hằng số biến thiên:
1) Giải phơng trình:
09lg9lg2lglg
234
=+

2
2
2
+=+
4
( )
062x-xlog5-xxlog 6)
2
2
2
=++
( )
xlog3xlog 7)
6
log
2
6
=+
x
Trang 21
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
( )
x2 8)
2
log
=
+1x
4)
( ) ( )
32log22log

( )
2
l g 6 l g 2 4o x x x o x + = + +

11)
( )
x
x
=
+
3log
5
2
12)
( ) ( )
1log2log
23
+=+
xx
13)
( )
1loglog
23
+=
xx
14)
( ) ( )
32log22log
2
32

127
7
12
log
2
2
3
+


xxx
x
xx
21)
( )
03log2log
22
2
>++
xxxx
17)
( ) ( ) ( ) ( )
0162log242log3
3
2
3
=+++++
xxxx
hệ ph ơng trình mũ và hệ ph ơng trình logarit
Giải các hệ phơng trình:

=

= +


3)





=
=
+
5
1
10515
2
xy
y
xx
4)
( )



=+
=
+
323log



=
=
12
3
3
1log
y
x
xy
7)
( )
2
4
4
9 27.3 0
1 1
l g l g lg 4
4 2
xy y
o x o y x

=


+ =


8)

( )





=
=
2log
9722.3
3
yx
yx
11)
( )
( ) ( ) ( )



+=
=
+
xyxyxy
xy
555
log21
loglog122log2
483
3
12)


=+
=+

yxyx
yx
xy
5
log3
27
5
3
Trang 22
Bài Tập PT&BPT Mũ ,Lôgarit Trường THPT Phước Bình -Tổ Toán
15)
( ) ( )





=
+
−
+
−
+
=+
−−
8



=+
=+
−
3
1
52
12
1
log
log
2
2
5
2
y
x
x
y
y
x
18)
( )





>=+

32
05log2log2
2
1
2
xy
yx
x
y
20)
( ) ( )
1
l g 3 l g 5 0
4 4 8 8 0
y
x y
x
o x o y
−
− − − =



− =


21)
( )
( )


2
yx
yx
x
y
30)
( )





>=−
=
−−
0x 2
1
16
22
yx
x
yx
31)
( )





=−


=+
=
68925
2002.5
2
2
3
3
y
x
y
x
34)
( )
2 2
1
l g 1,5
2
2
2
10 100 10
10
6
3
2 10 9
o x y
x y
x y
+ +

( ) ( )
l g l g5 l g l g l g6
l g
1
l g 6 l g l g6
o x y o o x o y o
o x
o y o y o
+ − = + −



= −

+ − +

24)
( )





=−
=−
1log
1loglog
2
2
xy

yx
27)
( ) ( )



=−
=−−+
2
1loglog
22
22
vu
vuvu
Trang 23
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
28)
( )





=
=
0pq và qp
y
x
y
x


<=+
=
0a
2222
2
lg5,2lglg ayx
axy
37)



=
=+
1loglog
4
44
loglog
88
yx
yx
xy
38 )
( )
( )






40)





=
=+
+
42
522
yx
yx
41)





=
=
y
y
x
x
52
108
42)








=+
=+
=+
22
8
512
loglog
loglog
loglog
zx
yx
zz
xz
zz
yy
yz
xy
zx
45)
( )







=
=
182.3
123.2
yx
yx
48)
( )
( ) ( )





=+++
=
111
239
22
3log
log
2
2
yx
xy
xy
49)
2cot sin
sin cot

2.322
2
3213
xxyx
xyyx
52)
( )





=
=
12log.log
3
5,2
log
xyy
xyx
y
x
y
ph ơng trình và bất ph ơng trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
Trang 24
Bi Tp PT&BPT M ,Lụgarit Trng THPT Phc Bỡnh -T Toỏn
(So sánh số với các nghiệm của phơng trình bậc hai)
1) Giải và biện luận phơng trình:
( ) ( ) ( )

xx
có hai nghiệm trái dấu
5) Cho phơng trình:
022.4
1
=+
+
mm
xx
a) Giải phơng trình khi m = 2.
b) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3
6) Giải và biện luận phơng trình: a)
83.3.
=+

xx
mm
b)
( )
02.2.2
=++









2
;
2

.
10) Xác định m để bất phơng trình:
( )
052.124.
<++
mmm
xx
nghiệm đúng với x < 0
11) Cho bất phơng trình:
( )
0411669.
32323
222
<+
++
xxxxxx
mm
(1)
a) Xác định m để mọi nghiệm của (1) thoả mãn bất phơng trình 1 < x < 2 (2)

>+

xx
m
a) Giải bất phơng trình khi m =
9
16
.
b) Tìm m để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x.
15) Xác định m để bất phơng trình:
a)
( )
01214.
2
>++
+
mmm
xx
nghiệm đúng với x.
b)
32.4
++
mm
xx
0 có nghiệm.
c)
( )
xxx
mmm 4.6129.
++

1) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
12
3
1
2
=

m
x
2) Tìm m để hai phơng trình sau tơng đơng:
0439
1
22
=+
+
xx
14.2.4
12
=+

xx
mm
Trang 25