BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN PHƢƠNG THẢO

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HS LỚP 11 THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, tháng 5 năm2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN PHƢƠNG THẢO

RÈN LUYỆN TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHO HS LỚP 11 THPT

Thuộc nhóm ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: TS. Vũ Quốc Khánh

Sơn La, tháng 5 năm2018


Lời cảm ơn!
Lời đầu tiên Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa


TDST

Tư duy sáng tạo

TĐĐ

Tính độc đáo

TNN

Tính nhuần nhuyễn

TMD

Tính mềm dẻo

THPT

Trung học phổ thông

TXĐ

Tập xác định

SGK

Sách giáo khoa




2.1. Nguồn gốc của lượng giác ......................................................................... 18
2.2. Nội dung chương trình lượng giác ở trung học phổ thông.......................... 18
2.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS thông qua giải phương trình lượng giác
lớp 11 ............................................................................................................... 19
2.3.1. Rèn luyện theo tính mềm dẻo ................................................................. 19
2.3.2. Rèn luyện theo tính nhuần nhuyễn .......................................................... 31
2.3.3. Rèn luyện theo tính độc đáo ................................................................... 36
Kết luận chương 2 ............................................................................................ 39
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................. 40
3.1. Mục đích thực hiện .................................................................................... 40
3.2. Nội dung thực hiện .................................................................................... 40
3.3. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................. 40
3.4. Tiến trình thực nghiệm .............................................................................. 40
3.5. Kết quả rút ra từ thực nghiệm .................................................................... 41
Kết luận chương 3 ............................................................................................ 41
KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 43
Phụ Lục


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn Khóa luận
Rèn luyện Tư duy sáng tạo (RLTDST)là chủ đề của một lĩnh vực nghiên cứu
còn nhiều vấn đề mới cần giải quyết. Nghiên cứu RLTDST nhằm tìm ra các phương
án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để tăng cường khả năng tư
duy của một cánhân về một vấn đề hay lĩnh vực. Các vấn đề này không chỉ giới hạn
trong giáo dục, trong các nghành nghiên cứu về khoa học kỹ thuật mà nó có thể thuộc
lĩnh vực khác như chính trị, kinh tế, xã hội, nghệ thuật… hoặc trong các phát minh
sáng chế.

thực hiệnđổi mới của giáo dục.
Với các lý do trên, tôi chọn khoá luận tốt nghiệp: “Rèn luyện tƣ duy sáng tạo
trong giải một số phƣơng trình lƣợng giác cho HS lớp 11 THPT”
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Một số tác giả đã nghiên cứu về TDST ở nhiều góc độ khác nhau và trên các
đối tượng HS có trình độ khá giỏi. Đã có rất nhhiều tài liệu nghiên cứu về rèn luyện
TDST và các bài viết trên các tạp chí khoa học giáo dục. Tuy nhiên vấn đề nghiên cứu
biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS ở THPT miền núi tỉnh Sơn La trong dạy
học giải phương trình lượng giác lớp 11 chưa có kết quả cụ thể.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp nhằm RLTDST cho HS trong giảimột số phương
trình lượng giác lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về TDST; Khái niệm TDST; các thành tố đặc trưng của TDST.
- Nghiên cứu các biện pháp rèn luyện TDST thông qua giải bài tập lượng giác.
- Đề xuất một số giao án dạy học giải bài tập lượng giác nhằm kiểm định tính khả thi
của các biện pháp đã đề xuất.
5. Giả thuyết khoa học
- Nếu có biện pháp rèn luyện TDST phù hợp thông qua giải bài tập lượng giác sẽ góp
phần nâng cao chất lượng dạy học lượng giác ở THPT lớp 11 tỉnh Sơn La.
6. Đối tƣợng, phƣơng pháp nghiên cứu
- Rèn luyện tư duy sáng tạo giải bài tập toán học.
- Một số phương trình lượng giác lớp 11 – THPT.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận và các tài liệu về dạy học rèn luyện TDST; Nghiên cứu nội dung
chương trình lượng giác trong SGK lớp 11 THPT.
- Nghiên cứu thực tiễn điều tra khảo sát
- Thực nghiệm sư phạm
2


Dựa trên cơ sở những mối liên hệ, quan hệ vốn có của các sự vật, hiện tượg
trong thế giới khách quan và lý thuyết phản ánh, tác giả Mai Hữu Khuê cho rằng: “Tư
du là quá trình tâm lý phản ánh nhữg mối liên hệ và quan hệ giữa các đối tượng hay
các hiện tượng hiện thực khách quan”.
Với việc xem tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp… Nguyễn Đình Trãi cho
rằng: “Tư duy là quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát những tài liệu, đã ttìm được
qua nhận thức cảm tính, nhận thức kinh nghiệm rút ra cái chung, các căn bản của sự
vật”.”.[ Chu Cẩm Thơ,tr.13]
Với tư cách là quá trình nhận thức, tập thể tác giả: Trần Minh Đức, Nguyễn
Quang Uẩn, Ngô Công Hoàn, Hoàng Mộc Loan, coi “Tư duy là một quá trình nhận
thức, phân tích nhữg thuộc tính của bản chất,những mối liên hệ và quan hệ có tính quy
luật của sự vật hiện tượng mà trước đó ta chưa biết”.”.[ Chu Cẩm Thơ,tr.13]

4


Theo tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh nhữg thuộc tính bản
chất, những mối liên hệ và quan hệ có tính chật quy luật của sự vật, hiện thực trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết”.”.[ Chu Cẩm Thơ,tr.13]
1.1.2. Đặc điểm của tƣ duy
Tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:
1. Tính có vấn đề của tư duy
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những tình huống “có vấn đề”.Nhưng không phải
tình huống có vấn đề nào cũng kích thích được hoạt động của tư duy. Muốn kích thích
được tư duy thì tình huống có vấn đề phải được nhận thức đầy đủ, được chuyển thành
nhiệm vụ tư duy của cá nhân nằm trong phạm vi hiểu biết của cá nhân.cá
2. Tính gián tiếp của tư duy
Con người không nhận thức về thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận
thức nó một cách gián tiếp.
Tính gián tiếp của tu duy được thể hiện ở việc con người sở dụng ngôn ngữ để

Tổng hợp là quá trình dùng đầu óc để hợp nhất những “bộ phận” những thuộc
tính,những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể hoàn thiện.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau tạo thành sự
thống nhất không tách rời, phân tích là cơ sở của tổng hợp, tổng hợp diễn ra trên cơ sở
phân tích.
2. So sánh
So sánh là thao tác tư duy để xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng
nhất hay không đồng nhất, sự công bằng hay khônng công bằng giữa các đối tượng
nhận thức, so sánh liên quan chặt chẽ với phân tích và tổng hợp.
3. Trừu tượng hoá và khái quát hoá
Trừu tượng hoá là quá trình tư duy để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính,
những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết về phương diện nào đó và chỉ giữ
lại những yếu tố cần thiết để tư duy.
Khái quát hóa là thao tác tư duy để bao quá nhiều đối tượng khác nhau thành
một nhóm, một loại theo những thuộc tính mối liên hệ, quan hệ chung nhất định.
Những thuộc tính chung này bao gồm 2 loại: Những thuộc tính giống nhau là những
thuộc tính chung bản chất, theo Nguyễn Công Uẩn, Nguyễn Quang Luỹ, Đinh Văn
Vang [31,tr.86].
Trừu tượng hoá và khái quá hoá có mối quan hệ mật thiết với nhau chi phối và
bổ sung cho nhau.
1.2. Tƣ duy sáng tạo
1.2.1. Khái niệm về sáng tạo
Theo từ điển Tiếng Việt (Nguyễn Như Ý,1999): “Sáng tạo làtìm ra cái mới,
6


cách giải quyết mới, không bị gò bó, phụ thuộc vào những cái đã có (cái mới, cách giải
quyết mới phải có ý nghĩa, có giá trị xã hội)”. [7.tr.78]
Theo Bách khoa toàn thư Xô - Viết (1976) thì “sáng tạo” là hoạt động của con
người trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự


- Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với những phương pháp
quen thuộc.
1.2.2. Quá trình sáng tạo
Quá trình sáng gồm 4 giai đoạn:
- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn chủ thể thử giải quyết vấn đề bằng các cách
khác nhau, huy động thông tin, suy luận.
- Giai đoạn ấp ủ: Giai đoạn này bắt đầu khi công việc giải quyết vấn đề bị
ngừng lại, còn lại các hoạt động tiềm thức, các hoạt động bổ xung cho vấn đề được
quan tâm.
- Giai đoạn bừng sáng: Giai đoạn ấp ủ kéo dài cho đến khi sự “bừng sáng” trực
giác, một bước nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức, xuất hiện đột ngột và kéo
theo là sự sáng tạo. Đây là giai đoạn quyết định trong quá trình tìm kiếm lời giải.
- Giai đoạn kiểm chứng: Là giai đoạn chủ thể kiểm tra trực giác, triển khai các
luận chứng lôgic để có thể chứng tỏ tính đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi
đó sự sáng tạo mới được khẳng định.
1.2.3. Tƣ duy sáng tạo
Trong tâm lý học định nghĩa “Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài vì giới
hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp quá trình giải quyết
nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt và hiệu quả”.
Một số tác giải cho rằng “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ
phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả. Tính độc đáo của ý tưởng
thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”.[7.r.79]
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”.[7,tr.79]
1.2.4. Yếu tố đặc trƣng của tƣ duy sáng tạo
Các nghiên cứu của nhiều nhà tâm lý học, giáo dục học cần trích dẫn ra đã đưa
ra năm thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính
độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề.

quy trình có tính logic về các bước giải một bài toán nói chung.
- HS biết phát huy tính chịu khó tìm tòi nhiều lời giải cho một bài tập và sáng tạo
ra các bài tập mới từ bài tập đã cho.
- Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, phát triển tư duy, bồi dưỡng hứng
thú học tập, tạo niềm vui trong học tập cho HS.
- Rèn luyện TDST cho HS lớp 11 ở THPT cần bám sát việc rèn luyện một số
thành tố của TDST phù hợp với kiến thức lượng giác có trong chương trình.

9


 Rèn luyện tính mền dẻo
Để rèn luyện tính mềm dẻo GV phải hướng dẫn HS biết điều chỉnh kịp thời
hướng suy nghĩ chưa đúng, không rập khuôn, không áp dụng máy móc những kinh
nghiệm, kiến thức, kỹ năng (của lượng giác, đại số, hình học) đã có vào hoàn cảnh
mới, điều kiện mới.
4
2
Ví dụ: Giải phương trình 4sin x  12cos x  7 1

* Hoạt động trí tuệ 1: Phân tích - tổng hợp
Hướng 1: Chọn hướng phân tích biến đổi hàm sinx thành hàm cosx để có
2
phương trình hợp lý với ẩn cos x . Hoặc chọn hướng phân tích biến đổi hàm cosx

2
thành hàm sinx để có phương trình hợp lý với ẩn sin x .

Từ hướng 1 ta có hoạt động phân tích:
2

2
2
hoặc cos x  
rút ra nghiệm
2
2

cần tìm

x


4

 k 2 , k  Z hoặc x  

3
 k 2 , k  Z .
4

Kiểm tra lại kết quả thỏa mãn phương trình ban đầu.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x  

x


4

 k 2 , k  Z hoặc


 Rèn luyện tính nhuần nhuyễn
Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này, ta cần phân tích cho HS
thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm mối liên quan giữa các bài toán đã biết với
bài toán mới.Qua đó thể hiện được tính nhuần nhuyễn của tư duy, khi khai thác sử
dụng khối kiến thức cơ bản và kinh nghiệm đã có một cách vững chắc.
Ví dụ: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4  sin 4 x  cos 4 x   4  sin 6 x  cos6 x   sin 2 4 x  m 1
* Giải pháp 1:
- Ta đã có:

3
sin 6 x  cos 6 x  1  sin 2 2 x
4
1
sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x
2
2
2
sin 4 x  4sin 2 x  4sin 4 x
4
2
- Do đó phương trình được biến đổi về dạng: 4sin 2 x  3sin 2 x  m

Đặt t  sin 2 x; 0  t  1. Khi đó phương trình có dạng

4t 2  3t  m  4t 2  3t  m  0  2 
2
Đặt: f  t   4t  3t  m


8
S

 0  1
  0  1
3
2
 
 
Vậy với 

9
 m  1 thì phương trình trên có nghiệm.
16

* Giải pháp 2:
Phương trình (1) có nghiệm  đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  4t 2  3t
trên đoạn  0;1
Xét hàm số

y  4t 2  3t trên đoạn  0;1

Đạo hàm y  8t  3, y  0  t 

3
8

Bảng biến thiên:



những kết hợp mới, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.









Ví dụ: Giải phương trình 1  3 sin x  1  3 cos x  2  3
Cách 1: Thực hiện phép biến đổi:

1 3 
1 3 
1
 sin x  
 cos x 
2
 2 2 
 2 2 

 3  

12


Đặt

1 3


3  sin x  cos x   2





 2 sin  x    6 cos  x    2
4
4


1 

3
 1

 sin  x   
cos  x   
2 
4 2
4
2




 1





3
12 4


k  Z 
 x  5  k 2
 x        k 2
 12
4
6

Cách 3: Đặt t  tan

x
2

* Chú ý: Đối với phương trình dạng:

a.sinP  x   b.cos Q  x   c.sin Q  x   d .cosP  x  * trong đó: a, b, c, d  R thỏa
2
2
2
2
mãn a  b  c  d  0 và P  x  , Q  x  không đồng thời là các hằng số.Bằng phép

chia

cho

- Tuy công thức lượng giác học ở cuối lớp 10 nhưng sang đầu lớp 11 (do việc
học bị ngắt quãng khá xa)HS mới phải vận dụng để giải phương trình lượng giác nên
nhiều HS phải biết tự ôn lại mới có thể học tốt.
- Để vận dụng sáng tạo được công thức lượng giác (đúng, linh hoạt, độc đáo)
trong giải bài tập thì HS phải có khả năng ghi nhớ sâu và vững chắc hệ thống công
thức cơ bản, dạng bài tập cơ bản và phải biết dành khá nhiều thời gian cho việc làm
bài tập. Kỹ năng phải đạt tới sự thành thạo và trở nên kỹ xảo.
Khi làm bài tập
- Việc tính toán, tư duy đối với phần lượng giác khá nhiều so với đại số nên HS
phần lớn lại gặp khó khăn khi bắt đầu học dễ gây chán nản cho HS .
- Do lượng giác là lĩnh vực liên quan khá nhiềukiến thức các môn so với đại số
nên HS khó diễn đạt và trình bày nhất là đối với bài toán lượng giác có điều kiện.
- Khi làm bài tập HS thường vận dụng một cách máy móc theo những dạng
phương trình lượng giác cơ bản nên khi gặp những dạng bài toán tích hợp không phải
dạng cơ bản đã gặp và ghi nhớ được thì HS không giải được.

14


- Để nắm được các phương pháp giải các phương trình cơ bản một cách vững
chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lượng ở lớp 11 dành
cho phần này chỉ 17 tiết nên HSkhó có thể mở rộng, tư duy linh hoạt đối với các dạng
bài tập khác. Do đó, để HS làm tốt các bài tập lượng giác khi thi tốt nghiệp THPT
quốc gia thì GV cần có chiến lược giảng dạy tốt.
- Tính bị động của HS khá lớn nên GV vất vả trong quá trình giảng dạy nếu yêu
cầu cao đối với HS.
- Đây là nội dung khó nên HS dễ nhầm lẫn và hoang mang khi tiếp nhận kiến
thức mới ở từng giờ học.
- Các dạng bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên GV phải mất công
chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức

- GV cần phải phân loại được đối tượng HS trong lớp, đặc biệt quan tâm đến HS
yếu kém, phải làm cho mọi HS trong lớp biết nhiệm vụ của cá nhân rồi tự phân tích đề
bài để tìm ra cách giải thích hợp. GV phải nắm được từng khả năng của HS, từ đó giúp
HS phát huy khả năng năng lực cá nhân tôt nhất.
- Trong giờ học GV không nên chỉ chú ý đến đối tượng HS yếu hoặc chú ý đến
HS khá giỏi, mà cần chú ý đến cả 3 đối tượng nhằm khắc phục tình trạng nhàm chán,
mất hứng thú trong giờ học của mọi đối tượng HS.
 Sử dụng linh hoạt các hình thức, phương thức dạy học
- Việc lựa chọn, phối hợp, vận dụng hợp lí các phương pháp dạy học ở từng tiết
có đặc điểm riêng, không thể áp dụng một cách máy móc, đồng loạt. Không có phương
pháp nào là '' vạn năng ''. Chỉ có sự tìm tòi sáng tạo, sử dụng linh hoạt các phương
pháp dạy học mới đạt được thành công trong mỗi giờ dạy.
- GV khuyến khích HS có thói quen tự kiểm tra, đánh giá kết quả bài làm của
mình, của bạn. Tập cho HS có thói quen tìm nhiều phương án và lựa chọn phương
pháp hợp lý nhất để giải quyết bài toán.
- Trong giảng dạy phải lắng nghe, thấu hiểu tâm lí của HS, động viên khuyến
khích kịp thời, nghiêm khắc kiên quyết phê bình thái độ lơ là đối với nhiệm vụ học
tập. Luôn tạo cho HS sự hứng thú, tính sáng tạo, linh hoạt, tự tin trong làm bài.
Kết luận chƣơng 1
Trong chương này, khoá luận đã trình bàycác Nghiên cứu của tác giả về một số
đặc điểm của tư duy, tư duy sáng tạo, phương hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS
thông qua dạy học môn toán. Trình bày thực trạng dạy và học giải bài tập PTLG lớp
11 ở trường THPT Phù Yên.
Vấn đề về rèn luyện TDST cho HS thông qua giải bài tập lượng giác.

16


Đồng thời đã trình bày được các quan điểm của một số tác giả như Spieecskin,
Đặng Phương Kiệt, Mai Hữu Khuê, Nguyễn Đình Trãi, Trần Minh Đức, Nguyễn

 1: Hàm số lượng giác (8 tiết)
 2 : Phương trình lượng giác cơ bản (4 tiết )
 3: Một số hệ phương trình lượng giác thường gặp (8 tiết)
Yêu cầu thực hiện chương trình lượng giác ở THPT: HS cần nắm được phương
trình lượng giác cơ bản và công thức tính nghiệm thông qua các hoạt động tìm hiểu
công thức, vận dụng và luyện tập, củng cố.
Nắm được kỹ năng giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bảnqua hoạt
động ghi nhớ, phân tích, tìm tòi lời giải đồng thời biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ
tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.
Đặc điểm khác của bài tập lượng giác với các dạng bài tập khác là:
-Dạng bài tập có nhiều cách giải:
18


Những bài tập dạng này giúp cho các em có cách nhìn sâu hơn về phương pháp
và cách giải phương trình lượng giác cũng như giúp cho các em có thể tư duy một bài
toán nhanh nhất, đáp ứng được nhu cầu đổi mới của việc học đó là sự sáng tạo trong
làm bài, tư duy nhanh và độc lập, khả năng tìm ra giải pháp hay, lạ cho cùng một bài
toán. Các bài tập này có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy, một trong những
yếu tố quan trọng hàng đầu để rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS
- Có tác dụng trong rèn luyện TDST (tính Mềm dẻo - Nhuần nhuyễn - Độc đáo)
Trong nội dung phương trình lượng giác, SGK không yêu cầuHS giải các
phương trình đòi hỏi biến đổi phức tạp và không xét các phương trình lượng giác có
chứa tham số vì đa số các bài toán loại này thường dẫn đến phần biện luận khá phức
tạp. Các vấn đề phức tạp như thế, nếu cần có thể đưa vào các chuyên đề lựa chọn.
Nội dung bất phương trình lượng giác chỉ được trình bày trong bài học thêm.
Trong hệ thống bài tập cũng không có các bài tập về bất phương trình lượng giác.
Điều đó hoàn toàn phù hợp với xu thế hiện nay trên thế giới. Trong chương trình của
hầu hết các nước trên thế giới và trong khu vực cũng không hoặc chỉ đề cập hết sức
đơn giản đến vấn đề bất phương trình lượng giác.