Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o vÜnh phóc

TRƯỜNG thpt NGÔ GIA TỰ
______________

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Tên tác giả sáng kiến :
Mã SKKN: 15.52.

Nguyễn Thanh Nhàn

Lập Thạch, Năm 2020


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc
học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học
sinh vì học sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng
linh hoạt công thức lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận
dạng các phương trình lượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong
những lí do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm này.
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường

Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng
dạy.
- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi.
a. Kết quả khảo sát đầu năm học

Giỏi
Sĩ
số
SL
%
11A2 30
01
3,3
11A4 42
01
2,4
b. Nguyên nhân
Lớp

Khá
SL
%
06
20
10 23,8

Trung Bình
SL
%

lượng giác ...còn yếu.
c. Các giải pháp thực hiện
Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi
học sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên


liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận
dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận
lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình môn
Toán trung học phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp
giảng dạy Toán ở trường THPT với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm”
kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải
pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, công thức
nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các
phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng
cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc
học, rèn luyện và ôn tập.
Phần II
NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:
 Công thức cộng:
 cos(a  b) = cosa cosb + sina sinb

 cos(a + b) = cosa cosb  sina sinb

 sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb

 sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

 tan(a  b) 

�
�

 sina.sinb  

1
[cos  a  b   cos(a  b)]
2

1
2

sin  a  b   sin  a  b  �
 sin a.cos b  �
�
�

 sin 2 a 

1  cos 2a
2


 Công thức biến đổi tổng thành tích:
 cosa  cos b  2cos

ab
a b
cos
2

* /  tan(  x)   tan x

* /  cos( x)  cos x
* /  cot( x)   cot x

Cung phụ:(phụ chéo)



 x)  sin x
2

* /  cot(  x)  tan x
2
 Phương trình lượng giác cơ bản:

* /  sin(  x)  cos x
2

* /  tan(  x)  cot x
2

* /  cos(

Cung bù: (sin bù)
* /  sin(  x)  sin x
* /  cos(  x)   cos x
* /  tan(  x)   tan x * /  cot(  x)   cot x
Cung khác  : (khác  tang và côtang)
* /  sin( x � )   sin x

x

sin
g
x
�




 k ��
�
Tổng quát:
�f  x     g  x   k 2

* Các trường hợp đặc biệt


 k 2  k ��
2

� sin x  1 � x    k 2  k ��
2
� sin x  0 � x  k  k ��
� sin x  1 � x 

b.Phương trình cos x  a

� a  1 : Phương trình vô nghiệm
ţ

 k ��
�tan x  t an 0 � x = 0  k180 0  k ��
�tan x  a � x = arctan a  k  k ��
Tổng quát: tan f  x   tan g  x  � f  x   g  x   k  k ��
�tan x  t an � x =   k

d. Phương trình cot x  a

 k ��
�cot x  cot  0 � x =  0 + k1800  k ��
�cot x  a � x = arc cot a + k  k ��
Tổng quát: cotf  x   cotg  x  � f  x   g  x   k  k ��
�cot x  cot  � x =  + k

B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương
trình có dạng at  b  0 (1) trong đó a,b là các hằng số  a �0  và t là một trong các
hàm số lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) về các phương trình lượng
giác cơ bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)2sin x  1  0; b)cos2 x 

1
 0; c)3tan x  1  0; d ) 3 cot x  1  0
2


3
3

� x  �  k  k ��
3
1
1
c) 3 tan x  1  0 � tan x  � x  arctan  k  k ��
3
3
1
2
2
d)
3 cot x  1  0 � cot x 
� cot x  cot
� x
 k  k ��
3
3
3
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 2 cos x  sin 2 x  0 (Phương trình đưa về phương
b) cos2 x 

trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)
cos x  sin 2 x  0 � cos x  2sin x cos x  0 � cos x  1  2sin x   0
Giải
� 
x   k
�

Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ
bản.
Ví dụ 3:
a) 2sin 2 x  sin x  3  0 là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) cos 2 x  3cosx  1  0 là phương trình bậc hai đối với cos2 x .
c) 2 tan 2 x  tan x  3  0 là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 3cot 2 3x  2 3 cot 3 x  3  0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
Giải
a ) 2sin x  sin x  3  0(1)
2

Đặt t  sin x , điều kiện t �1 . Phương trình (1) trở thành:
t  1  nhân 
�
�
2t  t  3  0 �
3
�
t   loai 
� 2
Với t=1, ta được sin x  1 � x  k 2  k ��
2

b) cos 2 x  3cosx  1  0  2 


Đặt t  cosx , điều kiện t �1 . Phương trình (2) trở thành:
� 3  13
t
 nhân 






a )3sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0 � 3 1  cos 2 2 x  7 cos 2 x  3  0
� 3cos 2 2 x  7 cos 2 x  0 � cos 2 x  3cos 2 x  7   0
cos 2 x  0
�
��
3cos 2 x  7  0
�




 k � x   k ,  k ��
2
4
2
7
*) Giải phương trình: 3cos 2 x  7  0 � cos 2 x 
3
7
Vì  1 nên phương trình 3cos 2 x  7  0 vô nghiệm.
3


Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là x   k ,  k ��
4

c) 2sin �3x  � 3  0
6
�

�

c) 2cos2x  4cos x  1

�
� �
2�
3 tan 2 x  (1  3) tan x =0 g) sin  �x  � 2cos  �x  � 1
� 3�
� 3�
4
2
4
4
i) 2 cot x  6 cot x  4  0 k) sin x  cos x  cos x  2

e)


Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A . 3 cos x  1 0 . B. 3 sin x  4 0 .
C. 3 tan x  1 0 .
cot x  2 0 .
Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: cos 2 x  3 cos x  2 0 .
A. x  k 2 .




T    k 2 ;   arcsin(  3)  k 2 , k  Z 
 3




A. T    k 2 ; arcsin(  3)  k 2 , k  Z  .


 6

D. x  

D.

B.


 3



C. T    k 2 , k  Z  .



D. T    k 2 , k  Z  .



a 2  b2

cos x 

c
a 2  b2

 1 : Phương trình vô nghiệm.
�1 thì đặt cos 

(hoặc sin  

a
a  b2
2

� cos 

a
a b
b
2

2

� sin  

a 2  b2


Bớc 2: Với cos
2
x
2t
1 t2
Đặt t tan suy ra sin x
, cos x
2
1 t2
1 t2
Khi đó phơng trình (1) có dạng
2t
1 t2
a
b
c (c b)t 2 2at c b 0 (2)
2
2
1 t
1 t
Bớc 3: Giải phơng trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.
* Dạng đặc biệt:

. sin x cos x 0 x k (k )
4

. sin x cos x 0 x k (k ) .
4
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
a 2 b 2 a sin x b cos x a 2 b 2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng




2 x k 2
x k

2

k


Vậy phơng trình có 2 nghiệm
Cách 2:Ta nhận thấy cos x 0 là nghiệm của phơng trình

0 x
k , k . Đặt t tan x ,ta có
-Với cos x
2
2t
1 t2
sin 2 x
, cos 2 x
1 t2
1 t2
Phơng trình (1) sẽ có dạng
2t
1 t2
3
3 2t 3(1 t 2 ) 3(1 t 2 ) t 3
2

b) 3cos 2 x 4sin 2 x 1;
Bi tp 2: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 2sin x 2cos x 2
b) 3sin x 4cos x 5c) 3sin x 1 4cos x 1 5
d) 3cos x 4sin x 5
e) 2sin 2 x 2 cos 2 x 2 g)
5sin 2 x 6 cos 2 x 13;(*)
1

4
4
h) sin x cos x (*)
i) sin x 3cos x
4 4
Chỳ ý: Tựy tng bi cú th t theo lý thuyt nhng cú mt s bi li khụng nờn
dp khuụn quỏ mỏy múc nờn tỡm cỏch gii phự hp i vi tng loi bi .
Bi tp trc nghim:

1
2 sin x cos x cos 2 x l:
2
2

k 2 , k Z
B. k , k Z C.
3
6

Cõu 1. Cỏc nghim ca phng trỡnh
A.

3x  � 
A. sin �3x  � 
B. sin �3x  � 
C. sin �
D.
6�
�
� � 1
sin �
3x  �
6� 2
�

2

6�

�

6

�

6�

2

m
có nghiệm là:
2


4
3

4
3

4
3

B. 0 �m �

C. m �0; m �

D. m < 0 ;

4
m�
3

DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx
a (s inx �cos x)  bsinx .cosx  c

Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình
có dạng a(s inx �cos x)  bsinx .cosx  c
Cách giải
1)
Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo




  t  2
4

� t  1  2sin x cos x
2

1 t2
� sin x cos x 
(**)
2
1 t 2
� at  b.
c  0
2
(1)
.
2
� bt  2at  2c  b  0 (2.1)

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a. s inx+sin 2 x  cos3 x  0
3
2
2  s inx+cosx   t anx+cotx


� 2 sin �x  � 2  1 � sin �x  �
 sin 
4
4
2
�
�
�
�
�
t  2 1
�


�
x     k 2
�
4
 k �Z 
Do đó : �
3
�
x
   k 2
� 4
3
sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x
2
b.
(1)

� � � 1
�
� �

�
sin �x  �
x  k 2 �x   k 2
�
� 2 sin �x  4 � 1
�
4
�
� 2
�
�
2
��
��
��
� �  � 32

3
�
� �
�
x     k 2 �x 
   k 2
sin �x  �
 sin 
�

s inxcosx=
�
�
2
2
�t  1 �
3
3
2
� 2t �
� 1 � 2t  2t  2  0 � t  t  2  0 � t  2 t  2t  1  0
�2 �
� 2  s inx+cosx  








� �
� �
� t  2 � 2 sin �x  � 2 � sin �x  � 1 � x   k 2  k �Z 
4
� 4�
� 4�

Thỏa mãn điều kiện .
s inx �0

� 1�
�s inxcosx
� � � cosx � �
�s inx+cosx-sinxcosx �
 2�
�
cosx
�
�
�cosx+ s inx-sinxcosx � �s inx+cosx-sinxcosx �
� 3  cosx-sinx  �
� 2 �
� 0
s inxcosx
cosx
�
� �
�
 cosx+sinx-sinxcosx  �3  cosx-sinx   2 � 0
�
�
�
cosx
� sinx
�
cosx+sinx-sinxcosx=0
�
��
3  cosx-sinx   0
�

�
� �
� 2 sin �x  � 2  1
� 4�

�
x     k 2
�
�  � 2 1
4
� sin �x  �
 sin  � �
 k �Z 
3
2
� 4�
�
x
   k 2
� 4

Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a ) 3  sin x  cos x   2sin 2 x  3  0

b) sin x  cos x  4sin x cos x  1  0

c) sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0

d ) sin 3 x  cos3 x  1

2
2
2
� b sin 2 x  (c  a) cos 2 x  (2d  a  c) .

(1) � a

 Caùch giaûi 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
� Kiểm tra cos x  0 có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
� cos x �0 chia cả hai vế cho cos 2 x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :


 a  d  tan 2 x  b tan x  c  d  0
Ví duï: Giaûi phöông trình
a. cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
b. 4sin2x – 3sinxcosx +  3  4  cos2x = 4
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.
GIẢI
2
2
a.(1)  cos x  sin x   3 sin 2 x 1  cos 2 x  3 sin 2 x 1

(1)
(2)
(3)
(4)

1
3


 tan x tan  x   k
3
6
6


Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x   k ; x   k ; k  Z
2
6
5
3
c. (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x) 3
2
2
 7 cos 2 x  5 sin 2 x  7
d. +Xét cosx = 0 thì sin 2 x 1 nghiệm đúng phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm x   k .
2
1
1  tan 2 x và
+Xét cos x 0 . Chia hai vế PT(2) cho cos 2 x và thay
cos 2 x

Ta có : 4t 2  3t  3  4 4(1  t 2 )  t 

đặt ẩn phụ t = tanx :
Ta có : 1  t  3t 2 3(1  t 2 )  t 2  tan x 2  x arctan 2  k
Bài tập tương tự:

Giải cách 1:

2
+(1)  sin x sin x cos 2 x  cos 3 x (*)

+ĐK: x   m .

(đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì 1 0 ; vơ lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
tan x(1  tan 2 x)  tan x  1  t 3  1  t  1  tan x  1  x 

tanx)
Giải cách 2:
(*)  sin x(1  cos 2 x)  cos 3 x  sin 3 x  cos 3 x
tan 3 x  1  tan x  1  x 


 k (t =
4

(**)


 k
4

Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tơi minh họa lại
như sau:
(**)

đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x  cos 6 x (cos 2 x  sin 2 x) 2  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
 t 0

5
4
3
2
(Với t = tanx ) t  t  2t  t  t 0  

4
3
2
t  t  2t  t  1 0 (5.1)
1 1
 2 1   1
2
Khi đó PT (5.1)  t  t  2   2 0   t  2    t    2 0 (5.2)
t t
t   t

1
PT (5.2) đặt ẩn phụ u t  thì được PT bậc hai u 2  u 0  u 0  u  1 .
t

Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
+ Với t = 0  tan x 0  x k .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
x

6
9) Giaûi phöông trình : 8sin x  cos x   3 3 sin 4 x 2
(đẳng cấp bậc 6)
6
6
2
10) Giaûi phöông trình : sin x  cos x  2cos x  1
(đẳng cấp bậc
6)
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
sin 3x
 0 thuộc đoạn  2 ; 4  là:
cos x  1
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
2
Câu 3. Phương trình 2sin x  2sin x cos x  cos 2 x  1 có nghiệm là:

Câu 2: Số nghiệm của phương trình


 k 2 � x  k
B. x  k � x  k 2
6


C. x   k � x  k

�
4
B. �

�
x   k
� 3

� 
x   k
�
8
C. �

�
x   k
� 12

D.

Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1.



 k 2 B) x    k 2 C) x  k D) x   k
2
2
Câu 6. Phương trình sin 8 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos8 x  có các họ nghiệm là:
� 
� 

2
2
� 
x   k
�
8
�


�
x k
� 9
3
A) x 

DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Cách giải
+ Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số
�A  0
�B  0

2
2
+ Áp dụng tính chất: A  B  0 � �

 A M  hay A M 
�
�A  M

x
cos
x

1

0


2

Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Giải các phương trình:
a) cosxcos7x = cos3xcos5x

(1)

c) sin 2 4 x  sin 2 3 x  sin 2 2 x  sin 2 x

b) sin2x + sin4x = sin6x

(3) d) sin 3 x  cos3 x  cos 2 x

(2)
(4)

Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân
đôi, công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải:
a)


b) sin 4 x  cos 4 x 

3  cos 6 x
4

c) 2 cos 2 4 x  sin10 x 1

Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:
a )  1  sin 2 x   1  tan x   1  tan x

b) tan x  tan 2 x  sin 3 x cos x

c ) tan x  cot 2 x  2cot 4 x

Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
a) sin x  2 sin 5 x  cos x

b) 3  2sin x sin 3 x  3cos 2 x


c) 2sin x cos 2 x  1  2cos 2 x  sin x  0

Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x
Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Nghiệm của phương trình sin   cos x   1 là:


 k  , x    k
2
6

C. x  k , x   k
3



 k 2 , x   k
2
6


 k  , x    k
D. x 
2
3

A. x 

B. x 

Câu 3. Cho phương trình cos5 x cos x  cos 4 x cos 2 x  3cos 2 x  1 . Các nghiệm thuộc
khoảng   ;  của phương trình là:
A. 

2 
,
3 3

là:
A. x  



;x 
18
6

B. x  


2
;x 
18
9

C. x  



;x 
18
2

D. x  



;x 

sin 2 x

cos3x  sin 3 x �
� cos2 x  3
1  2sin 2 x �


KA-2003: cotx  1 

cos2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x
1  t anx
2

KD-2004:  2cos x  1  2sinx  cos x   sin 2 x  sinx
2
KB-2004: 5sin x  2  3  1  sinx  tan x

KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)

� � � �3
.sin �
3 x  �  0
�
4� 2
� 4� �
KB-2005: 1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0
4
4

KB-2007: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x









2
2
KA-2007: 1  sin x cos x  1  cos x sin x  1  sin 2 x

CĐ-2008: cos3x  3 cos3 x  2sin 2 x
KD-2008: 2sin  1  cos 2 x   sin 2 x  1  2cos x
KB-2008: sin 3 x  3 cos3 x  sin x.cos 2 x  3 sin 2 x.cos x

1

KA-2008: sin x

1
�7
�
 4sin �  4 �
� 3 �
�4
�
sin �x 

�
KA-2010:
� 4 � 1 cos x
1  tan x
2
sin 2 x  2cos x  sin x  1
0
KD-2011:
tan x  3
KB-2011: sin 2 x.cos x  sin x.cos x  cos 2 x  sin x  cos x
1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x.sin 2 x
KA-2011:
1  cot 2 x

 1  sin x  cos 2 x  sin �
�x 

KD-2012: sin 3 x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x





KB-2012: 2 cos x  3 sin x cos x  cos x  3 sin x  1
KA-2012:

3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x  1
�
�

KẾT LUẬN
Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn
Toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng
khi dạy phần này cho học sinh.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác
cho học sinh. Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết
còn nhiều hạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.
2) Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.


3) Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm.
4) Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.

- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án
giảng dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có
phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học
tập.
10. Kết quả đạt được :
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương pháp giải
phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu được kết quả cụ thể
như sau:

Lớp
11A2

SL
%
04 13,4
05 11,9

Kém
SL
%
01
3,3
03
7,1

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng
sáng kiến lần đầu :
TT Tên tổ chức/cá nhân

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

l

11A2

2

11A4