TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f (x ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc
một đoạn.
• Hàm số y  f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu x 1, x 2  K , x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) .
• Hàm số y  f (x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x 1, x 2  K , x 1  x 2  f (x 1 )  f (x 2 ) .
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f (x )  0, x  K .
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f (x )  0, x  K .
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .
• Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
• Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
• Nếu f (x )  0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “Hàm số y  f (x ) liên tục
trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f (x ) liên tục trên đoạn a; b  và
có đạo hàm f (x )  0, x  K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn a; b  .
 Nếu f (x )  0, x  K (hoặc f (x )  0, x  K ) và f (x )  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của
K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P (x )
Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P (x ) , hoặc giá trị của x làm biểu thức P (x ) không xác định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P (x ) trên từng khoảng của bảng xét dấu.
2. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f (x ) trên tập xác định
Bước 1. Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm y   f (x ) .

.

  0
a  0
d). g(x )  0, x    
.

  0
 Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) :
a  0
.

  0
a  0
c). g(x )  0, x    
.

  0

a). g(x )  0, x    

b). g(x )  0, x    

 Bước 1: Đưa bất phương trình f (x )  0 (hoặc f (x )  0 ), x  (a; b) về dạng g(x )  h(m )
(hoặc g(x )  h(m ) ), x  (a; b) .
 Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x ) trên (a; b) .
 Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.
4. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình:
Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng f (x )  m hoặc f (x )  g(m ) , lập bảng biến

x +1
Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1− x
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) ∪ (1; +∞ ) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .

Câu 2.

Câu 3.

Cho hàm số y =
− x 3 + 3 x 2 − 3 x + 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;1) và (1; +∞ ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) .
D. Hàm số luôn đồng biến trên  .
Cho hàm số y =
− x 4 + 4 x 2 + 10 và các khoảng sau:
(I):

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

( −∞; − 2 ) ;


Câu 8.

)

2;0 ;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).
B. (I) và (II).
C. (II) và (III).
D. (I) và (III).
3x − 1
Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
−4 + 2 x
A. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 2 ) và ( 2; +∞ ) .

C. ( −∞; −1) và ( −1; +∞ ) .
Câu 7.

(−

D. ( −4; −1) và ( −1; 2 ) .

x3
− 3 x 2 + 5 x − 2 nghịch biến trên khoảng nào?
3

 a= b= c= 0
D. 
2
 a < 0; b − 3ac < 0

3


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số

Câu 10. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) .
B. Hàm số đồng biến trên  .
C. Hàm số đồng biến trên ( −9; −5 ) .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ ) .
Câu 11. Cho hàm số
=
y

3 x 2 − x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2;3) .

x
+ sin 2 x, x ∈ [0; π ] . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?


π

C. Hàm số nghịch biến trên  + kπ ; +∞  và đồng biến trên khoảng  −∞; + kπ  .
4


4

D. Hàm số luôn nghịch biến trên  .
Cho các hàm số sau:
x −1
1 3
;
(III)=
:y
x2 + 4
(II) : y =
(I) : y =
x − x 2 + 3x + 4 ;
x +1
3
3
(IV) : y = x + 4 x − sin x ;
(V) : y = x 4 + x 2 + 2 .
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 5.


  11π 
;π  .
 và 
  12

  7π 11π 
;
 và 
.
  12 12 

(I). Hàm số y =
−( x − 1)3 nghịch biến trên  .
x
(II). Hàm số y= ln( x − 1) −
đồng biến trên tập xác định của nó.
x −1
x
(III). Hàm số y =
đồng biến trên  .
x2 + 1
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. 0.
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; −2 ) và nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .
 π π
Câu 19. Cho hàm số
=
y cos 2 x + sin 2 x.tan x, ∀x ∈  − ;  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
 2 2
đúng?
 π π
A. Hàm số luôn giảm trên  − ;  .
 2 2

 π π
B. Hàm số luôn tăng trên  − ;  .
 2 2

 π π
C. Hàm số không đổi trên  − ;  .
 2 2

D. Hàm số luôn giảm trên

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

x−m+2
giảm trên các khoảng
x +1

mà nó xác định ?

C. m < 1 .
D. m ≥ 1 .
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y= f ( x)= x + m cos x luôn đồng
biến trên  ?

1
3
.
C. m ≥ 1 .
D. m < .
2
2
Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m − 3) x − (2m + 1) cos x luôn
nghịch biến trên  ?
A. m ≤ 1 .

B. m >

m > 3
2
.
B. m ≥ 2 .
C. 
.
D. m ≤ 2 .
3
m ≠ 1
Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên  ?
A. −4 ≤ m ≤


A. m = −1 .
B. m = −2 .
C. m = 0 .
D. Không có m .
mx + 4
giảm trên khoảng
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
x+m
( −∞;1) ?
B. m = 0 .

A. −2 < m < 2 .
B. −2 ≤ m ≤ −1 .
C. −2 < m ≤ −1 .
D. −2 ≤ m ≤ 2 .
3
Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x − 6 x 2 + mx + 1 đồng biến trên
khoảng ( 0; +∞ ) ?
B. m ≤ 12 .
C. m ≥ 0 .
D. m ≥ 12 .
A. m ≤ 0 .
4
Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x − 2(m − 1) x 2 + m − 2 đồng
biến trên khoảng (1;3) ?
A. m ∈ [ −5; 2 ) .

B. m ∈ ( −∞; 2] .

C. m ∈ ( 2, +∞ ) .

mx3
+ 7 mx 2 + 14 x − m + 2 giảm trên nửa khoảng [1; +∞) ?
3
14 
14 
14 



A.  −∞; −  .
B.  −∞; −  .
C.  −2; −  .
D.
15 
15 
15 



y= f ( x)=

 14

 − 15 ; +∞  .
Câu 34. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =
− x 4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến


p
p


Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus
Câu 37. Tìm

tất

y = f ( x) =

π

cả

các

giá

trị

thực

của

tham

Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số

số

12

A.

12

+ kπ ≤ α ≤

π

+ kπ , k ∈  và β ≥ 2 .
4
5π
+ kπ , k ∈  và β ≥ 2 .
D. α ≥
12
Câu 38. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y =
f ( x) =+
2 x a sin x + bcosx luôn
tăng trên  ?
C. α ≤

1 1
1+ 2
B. a + 2b =
C. a 2 + b 2 ≤ 4 .
D. a + 2b ≥
.
1.
+ =

A. m ≤ −1 .
Câu 43. Tìm

tất

cả

các

4
B. m ≤ − .
7
giá trị thực

4
C. m ≥ − .
7
của tham số m

D. m ≥ −1 .
sao

cho

phương

trình:

log 32 x + log 32 x + 1 − 2m − 1 =0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1;3 3  ?


D. 0 ≤ m < .
3
4
3
3
Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
 1 
(1 + 2 x)(3 − x) > m + 2 x 2 − 5 x − 3 nghiệm đúng với mọi x ∈  − ;3 ?
 2 
A. m > 1 .
B. m > 0 .
C. m < 1 .
D. m < 0 .
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Tán đổ Toán Plus

Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số

Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình
3

(

)

1 + x + 3 − x − 2 (1 + x)(3 − x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈ [ − 1;3] ?

D. − ≤ m ≤ .
3
3
2
3
2

BẢNG ĐÁP ÁN
1
D

2
A

3
D

4
B

5
C

6
D

7
D

8