TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC
CẦN NHỚ MÔN TOÁN
I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
f ( x)  ax 2  bx  c
b
(a  0;  ,   R;    ; S   ;   b 2  4ac)
a
  0
a / f ( x)  0, x  R  
a  0
  0
b / f ( x)  0, x  R  
a  0

c / x1    x2  af ( )  0

  0

d /   x1  x2  af ( )  0
S
   0
2

  0


k /   x1  x2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2
2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a  b
*
ac
b  c
*a  b  a  c  b  c
c  0
 ac  bc
*
a  b
c  0
*
 ac  bc
a  b
a  b
*
 ac bd
c  d
*a  c  b  a  b  c
a  b  0
*
 ac  bd

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
ab
 ab dấu “=” xảy ra khi a = b
2
abc 3
*
 abc
3
dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):

*

*ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 )

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc

*a1b1  a2b2  c3b3 

a

Dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 a3


b1 b2 b3

2

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

5. Phương trình, bất phương trình chứa giá
trò tuyệt đối:
* A  B  A  B
B  0
*A B
 A  B
A  B
*A B
 A  B
* A  B  A2  B 2
A  B
*A B
 A  B
6. Phương trình , bất phương trình chứa căn
thức:
( B  0)
A  0
* A B
A  B
B  0
* AB
2
A  B
A  0
* A B
A  B

A  0


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
8. Phương trình , bất phương trình mũ:
 0  a  1

 f ( x )  g ( x)
f ( x)
g ( x)
*a
a

 a  1

  / f ( x), g ( x)

a  0
*a f ( x )  a g ( x )  
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0
9. Lũy thừa:
*a .a  .a   a   
a
 a  
a
*(a )   a
*






cos x
cos x
cot gx 
sin x
tgx.cot gx  1
tgx 

tg ( x)  tgx

Cung bù:
sin(  x)  sin x

* a  a  a n. m
10. Logarit:0
1



log a N

log b N
log b a

1
*log a b 
log b a



cos(  x )  sin x
2



tg (  x)  cot gx
2



cot g (  x )  tgx
2
Cung hơn kém  :
sin(  x)   sin x
cos(  x)   cos x


cot g (  x )  tgx
2
3. Công thức cộng:
sin( x  y )  sin x cos y  sin y cos x
cox( x  y )  cos x cos y  sin x sin y

tg ( x  y ) 

tgx  tgy
1  tgxtgy

4. Công thức nhân đôi:
sin 2 x  2 sin x cos x
cos 2 x  2 cos 2 x  1
 1  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2tgx
1  tg 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
1  cos 2 x
sin 2 x 
2
5. Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
tg 2 x 

cos 3 x  4 cos3 x  3cos x


1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
b/Tổng thành tích:
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin
2

2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:
1. Phương trình cơ bản:
 x  u  k 2
a / sin x  sin u  
 x    x  k 2

sin x  1  x 


2

 k  Z

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

 k 2




2



t  sin x  cos x  2 sin( x  )   2  t  2
4
2
1 t2
t 1
 sin x.cos x 
(sin x.cos x 
)
2
2
và giải phương trình bậc hai theo t

III. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Đònh lý cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B

d / cot gx  cot gu  x  u  k

*Xét cos x  0  x 

và đặt t= tgx Chú ý:
1

2. Đònh lý hàm số sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
b2  c2 a2
ma2 

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2
4
2
2
a  b c2
2
mc 

2
4
cos A 

S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B
2
2
2
abc
S  p.r 
4R
S  p ( p  a )( p  b)( p  c)
III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1.
Đạo hàm các hàm số thường gặp:
1/( x ) '   .x 1
1

12 /(u  ) '   .u  1.u '

16 /(cos u ) '  u '.sin u

7 /(cot gx) '  

1
sin 2 x


1
u'
22 /(log a u ) ' 
x.ln a
u.ln a
2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
11/(log a x) ' 

x 1
 C (  1)
 1

dx
 ln x  C
x
dx
1
 x2   x  C



dx

 cos

2

x

dx


5 /(cos x) '   sin x
1
cos 2 x


 x dx 

ax
C
ln a

x
 a dx 

S   f ( x)  g ( x ) dx

2 x
1
1
3/  '   2
x
 x
4 /(sin x) '  cos x
6 /(tgx) ' 

 dx  x  C

a



-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các
giao điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các
giao điểm.
IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt
phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm
duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình
đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến

theo vectơ u là một phép biến hình biến
 
điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  u.

Phép tònh tiến theo vectơ u thường được ký

hiệu là T hoặc Tu . Vectơ u được gọi là


Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép
biến hình không là thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường
thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

kính , biến góc thành góc bằng nó.
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
 Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối
xứng qua đường thẳng a là phép phép biến
hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua a
 Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời
hình
 Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
x '  x

y'  y
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy,
cho phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN



M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó
ta có:
 x '  2a  x

 y '  2b  y
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là
tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối
xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức
là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:
 Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác
bằng nhau thì có phép dời hình biến tam
giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam
giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời
hình biến tam giác này thành tam giác kia.


*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
x A  xB  xC

 xG 
3
G
 y  y A  y B  yC
 G
3
*Cho tam giác ABC có


AB  (a1; a2 ), AC  (b1; b2 )
1
a1b2  a2b1
2
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng  :
-Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0

Vectơ pháp tuyến n  ( A; B );
A2  B 2  0
 x  x0  at
-Phương trình tham số: 
tR
 y  y0  bt

A' x  B ' y  C '

2
2
A B
A '2  B '2
e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong
và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía so
với   t1.t2  0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác phía so
với   t1.t2  0

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
(t1 

Ax1  By1  C

A2  B 2

; t2 

A ' x2  B ' y 2  C '

A '2  B '2


-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
-Bán kính qua tiêu:
MF1  a  exM
MF2  a  exM

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b

5/Hypebol:

2

x2 y2

1
a2 b2

c2  a2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)


-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b
-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a b
2 2
A a  B 2b 2  C 2
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
( P) : y 2  2 px
p
-Tiêu điểm: F ( ; 0)
2
p
-Phương trình đường chuẩn: x  
2
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0)  ( P) :
y0 y  p ( x0  x)
-Điều kiện tiếp xúc của (P) và    : Ax  By  C  0
2 AC  B 2 p
II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG
GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ

 
- u , v cùng phương  u , v   0
  
  
- u , v, w đồng phẳng  u , v  .w  0
1  
- S ABC   AB, AC 
2
  
-ABCD là tứ diện   AB, AC  . AD  m  0
1
- VABCD  m
6
b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
Ax  By  Cz  D  0

n  ( A; B; C )
( A2  B 2  C 2  0)
Dạng 2:
A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

n  ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
-Phương trình mặt phẳng chắn:
x y z
  1
a b c
((  ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt


 Ax  By  Cz  D  0

A' x  B ' y  C ' z  D '  0
b/ Phương trình tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct

0
Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là

u  ( a; b; c )
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
2
2
2
(a  b  c  0)
4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong
không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ

chỉ phương là u  ( a; b; c ) và đường thẳng d’ qua

aA  bB  cC  0
c / d     
 Ax0  By0  Cz0  D  0
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

  : Ax  By  Cz  D  0
 d(M / ) 

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong không gian cho điểm
M 1 ( x1; y1 ; z1 )
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
 
 M 0 M .u 



7/ Góc :
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có:

d : u  ( a; b; c)

d ' : u '  (a ', b ', c ')
 
u.u '
aa ' bb ' cc '
cos     
u .u'
a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

d : u  (a; b; c)

  : n  ( A; B; C )

00    900
sin  

Aa  Bb  Cc

A2  B 2  C 2 a 2  b 2  c 2
- Góc giữa hai mặt phẳng:


chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A  a  b
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( )  ( ABC )
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng ( )  (a, A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( )  (a, b)
d/ Hai đường thẳng song song : a//a’ ( )  (a, a ')
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm
trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu


TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN
2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng  thì d song song
với mặt phẳng 
3/ Nếu d//  , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và
cắt  theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng
song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d
và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song
song với d

song song nhau.

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc
với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào
vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông
góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một
đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với
một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa
đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng
khác thì song song nhau
12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào
nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao
tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai
và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc

đoạn OH  
4/ Khoảng cách từ O đến  là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên 
5/ Khoảng cách giữa d //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên d đến 
6/Khoảng cách giữa  //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên  đến 
7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ
dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng  là góc
nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống 
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc nhọn
tạo bởi hai đường thẳng song song với hai đường
thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi hai
đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng
ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường
thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương

1 2
 R  R '2  RR '  h
3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq  4 R 2
10/ Thể tích hình nón cụt: V=

4
12 / Thể tích mặt cầu: V=  R 3
3

V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò: Pn  n !  n(n  1)(n  2)...3.2.1
n!
-Chỉnh hợp: Ank 
0  k  n
 n  k !
n!
-Tổ hợp: Cnk 
 n  k !k !
-Các hệ thức cần nhớ:
n !   n  1 !n

0  k  n
Cnk  Cnk1  Cnk11
0  k  n
Cnk  Cnn  k

-Nhò thức Newton:
(a  b) n  Cn0 a n b 0  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnnb n
k 0