CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
MẶT CẦU PHẦN 1

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2018
Môn: Toán
(50 câu trắc nghiệm)

I. CÁC DẠNG TOÁN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHÓP:
Loại 1: Cạnh bên vuông góc với đáy:
Nếu cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm
được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là R D , khi đó ta có công
thức:
R 2 + R D2 +

SA 2
4

Đáy là hình vuông cạnh a thì R D =
nếu cạnh bên SA vuông góc đáy và

a 2
a 3
nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì R D =
. Đặc biệt
2
3
ABC = 900 khi đó R =

SC
và tâm là trung điểm SC.
2


III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1: Chóp S.ABCD có các mặt bên (SAB) , (SAD) cùng vuông góc với đáy. ABCD là hình
vuông cạnh a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 450 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD ?
A. R = a

B. R = a 2

C. R = a 3

D. R = 2a

Câu 2: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết rằng SA ⊥ ( ABC) , tam giác
SBC vuông cân tại B có diện tích bằng 2a 2 ?
A. R = a 2

B. R = 2a 2

C. R = a

D. R = 2a

Câu 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết rằng SA ⊥ ( ABC) , tam giác
ABC vuông tại B, AB = ,

7 a 3
A. V =
6

BAC = 300 , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600

D. R = 3 2

Câu 5: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết rằng SA ⊥ ( ABC) , tam giác
ABC vuông tại A và tam giác SBC đều cạnh a .
A. R =

a 2
2

B. R =

a 3
2

C. R =

a 6
4

D. R =

a
2

Câu 6: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC biết rằng SA ⊥ ( ABC) , tam giác
ABC đều cạnh a đồng thời (SBC) tạo với mặt phẳng đáy góc 600 .
A. S =

43
4


C. S =

161a 2
4

D. S =

110a 2
3

Câu 8: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a và
góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600
A. R =

2a 3
3

B. R =

a 3
3

C. R =

a 6
3

D. R =


5

C. R =

B. R = a

3a 2
4

D. R = a 2

Câu 11: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 2 3
và diện tích xung quanh đạt giá trị nhỏ nhất.
A. R = 2 3

B. R = 3

D. R =

C. R = 2

2 3
3

Câu 12: Chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABC) . Gọi H là hình chiếu của A
trên SB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp H.ABCD .
A. R =

a 2
4


D.

1
8

Câu 14: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD có độ dài các cạnh lần lượt
như sau: AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c .
A. R =

ab + bc + ca
2

B. R =

a 2 + b2 + c2
2 2

C. R =

a 2 + b2 + c2
2

D. R =

a 2 + b2 + c2
4

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



a 3
2

C. R min =

a 2
2

D. R min =

a 6
2

Câu 17: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC) trong đó ABCD
là hình chữ nhật với AB = 2AD = 2a đồng thời
A. S = 4

B. S = 6

BSD =

1
10

C. S =

13
2


A. R =

a 7
2

B. R =

a 3
2

C. R =

a 2
2

D. R =

a 13
2

Câu 2: Chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa (SBC)
với (ABCD) bằng 450 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
A. R =

a 7
2

B. R =

a 3

3

D. S =

32a 2
3

Câu 4: Chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ; đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a; AD = a 3 . Góc
giữa (SCD) với (ABCD) bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD
A. R =
Câu

5:

a 7
2

Chóp

B. R =
S.ABCD

a 3
2

có

C. R =

SA ⊥ ( ABCD ) ;

a 2
2

D. R =

a 13
2

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có tam giác ABC vuông tại B, AC = 2a;

BAC = 300

góc giữa A’C với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp A’.ABC.
A. R =

a 7
2

B. R = 2a

C. R =

a 2
2

D. R =

a 13
2



2a 2
3

C. R =

a 3
3

D. R =

2a 3
3

Câu 9: Chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S
trên (ABCD) là tâm O của đáy. Góc giữa SB và mặt đáy (ABCD) bằng 300 . Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp chóp.
A. R =

a 6
3

B. R =

2a 2
3

C. R =

a 3

AC  BD = O, SO ⊥ ( ABCD) . Góc giữa (SBC) và mặt đáy (ABCD) bằng 450 . Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp chóp
A. R =

13a
8

B. R =

11a
8

C. R =

9a
8

D. R =

7a
8

Câu 11: Chóp S.ABCD có SA vuông góc mặt phẳng đáy. Đáy ABCD là hình chữ nhật với

AD = 2a và AB = a . Góc giữa hai mặt (SBC) và (ABCD) là 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp.
B. R = 2a 3

A. R = 2a 5


a3 3
12

13a 3 13
D. V =
6

10a 3 20
C. V =
3

C. V =

a 6
. Xác định thể tích tứ diện.
4

a3 2
12

D. V =

a3 3
24

Câu 14: Tứ diện ABCD có AB = 2a; CD = 2b . Gọi I, J là trung điểm AB, CD và IJ là khoảng
cách giữa hai đường thẳng đó đồng thời IJ = c . Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
A. R =



2a

(a

2

+ c2 − b 2 ) + 4a 2 b 2
2

2b

Câu 15: Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân cạnh a, khoảng cách giữa
AB và B’C’ là 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ .
A. R =

a 6
3

B. R =

a 6
2

C. R =

a 3
2

D. R =

A. R min =

R 7
2

B. R min =

R 3
2

C. R min =

R
2

D. R min = R

Câu 18: Hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có AB = AD = a, CD = 2a . Gọi t’Dt là
đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại D. Trên đường thẳng đó lấy sao cho MD = 2a . Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD
A. S = 8a 2

B. S = 4a 2

C. S = 6a 2

D. S = 12a 2

Câu 19: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R. Gọi là thể tích khối chóp tứ diện đều nội tiếp mặt
cầu đã cho. Giá trị lớn nhất của V là?


a 2
2

Câu 13: Đáp án A
Chứng minh giống như Câu 12, ta có tam giác AMC vuông tại M do vậy
tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.BMNC là trung điểm của AC đồng
thời bán kính mặt cầu ngoại tiếp R 1 =

1
AC
2

Lại có các tam giác SAM và SAN lần lượt vuông tại M và N cho nên tâm
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN là trung điểm của SA và bán kính
1
R 2 = SA
2

Vì tam giác SAC vuông cân tại A nên SA = AC.
Do vậy 2 mặt cầu có bán kính bằng nhau nên thể tích bằng nhau
Câu 14: Đáp án B
Tứ diện đều được sinh ra từ một hình hộp chữ nhật có các đường chéo
được tô màu như hình vẽ. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 1 nửa
đường chéo dài hình hộp và:

RC =

1 2
1


Vì tam giác AMN vuông tại M do vậy:

a2
a2
AM + MN = AN  y = x +  2 x
= 2a
x
x
2

2

2

Các điểm I, M, C cùng nhìn AN dưới một góc vuông do đó 5
điểm A, M, I, C nội tiếp mặt cầu đường kính AN vậy:
R=

1
1 2
1
AN =
y + a2 
2
2
2

Do đó R min =


9-A

10-B

11-C

12-B

13-C

14-A

15-B

16-C

17-A

18-A

19-

20-

Câu 1: Đáp án A
1
a 7
Ta có: SB = a 7 . Do vậy R = SB =
2
2


Câu 5: Đáp án A
Hình thang ABCD có AB = 2a; AD = DC = CB = a là nửa lục
giác đều. Khi đó ta có R D = a
Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


ADC vuông tại A, AD = a; DC = 2a  AC = SA = a 3
Do vậy R 2 = R 2D +

SA 2 a 7
=
4
2

Câu 6: Đáp án B

AA '2
Ta có R D = a; AA' = 2a 3 . Do vậy R = R +
= 4a 2  R = 2a
4
2

2
D

Câu 7: Đáp án C
Ta có AA ' = a 3  A 'C = a 5 . Do vậy R =

A 'C a 5


Câu 10: Đáp án B
Ta có SO = a; SA =

a 11
SA 2 11a
=
. Do vậy R =
2
2SO
8

Câu 11: Đáp án C
Từ A, kẻ AH vuông góc với BD tại H  Góc giữa hai mặt (SBD) và (ABCD) là SHA = 600
Ta có AH =

AD.AB
AB + AD
2

Do vậy R 2 = R D2 +

2

=

2a 5
2a 15
a 5
 SA =


Lại có, góc giữa (SBC) và mặt đáy là 600  SA = a 3
Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Do vậy R 2 = R 2D +

SA 2 19a 2
a 19
=
R=
4
4
2

Thể tích khối cầu ngoại tiếp là: V =

4 3 19a 3 19
R =
3
6

Câu 13: Đáp án C
Đặt AB = BC = BD = CD = x

BCD đều, O là trọng tâm BCD  OB =

x 3
3


nằm ở vị trí nào.
Đặt IO = x, JO = c − x . Giải hệ phương trình: OA = OC ta tìm được và từ đây ta thu được đáp
án cần tìm là đáp án A.
Câu 15: Đáp án B
Gọi I là tâm lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. I  MN  ( AA'C'C) ; trong đó: M là trung điểm AC, N
là trung điểm A'C' . Khoảng cách giữa AB và B'C' cũng bằng MN = 2a  IM = a
Giả sử: Tam giác ABC vuông cân tại B  AB = AC = a  AC = a 2  AM =
Do vậy R = IA = IM 2 + MA 2 =

a 2
2

a 6
2

Câu 16: Đáp án C
Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Bài toán này là một bài toán sử dụng khái niệm của vector không gian. Gọi G là trọng tâm của tứ
diện ABCD, khi đó MA + MB + MC + MD = 4MG cho nên MG =
mặt cầu tâm G bán kính R =

a
. Vậy quỹ tích của M là
4

a
4



1
xy 2 xy
y 
x

x2 +
y +
=  x +  y + 
4
4
4 
4
2 xy


Lại có, theo công thức tính nhanh của bán kính mặt cầu:
2
R SAIB

SI 
y 
x  AB2 − IA 2 − IB2 17
x 2 + y2
= R 22
+
=
x
+
y

−
=
+
+ xy =
+
+ xy
16
4
2
8
16
2
8
2
8
2

R

2
SAIB

2
 R SAIB
=

R 2 4R 2 − 2xy
3xy
3
3


Giả sử tứ diện đều có cạnh đều bằng x. Khi đó

R=

AB2
x2
=
=
2AO 2 x 2 − BO 2

x2
x 3
2 x −

 3 

2

=

x 6
2R 6
=Rx=
4
3

2

x 3 2 8R 3 3