TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Hà Nội – Năm 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*******************

PHẠM THÚY NGA

HÀM SỐ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành Đại số

Người hướng dẫn khoa học
ThS. DƯƠNG THỊ LUYẾN

của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu em đã tham khảo và kế thừa những thành quả
nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các tác giả khác.
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phạm Thúy Nga


Mục lục

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt

1

Lời mở đầu

2

1 Hàm số và phương trình lượng giác

4

1.1

1.2

14

2.1.1

Hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2

Phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . .

26

Ứng dụng của lượng giác trong giải toán . . . . . . . .

39

2.2.1

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . .

40

2.2.2

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . .

42


ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắt
1.

R: tập số thực

2.

Z: tập số nguyên

3.

TXĐ: tập xác định

4.

SGK: sách giáo khoa

5.

NXB: nhà xuất bản

6.


vậy, việc sử dụng lượng giác còn giúp giải quyết một số bài toán đại số
một cách dễ dàng, hiệu quả hơn rất nhiều và thường xuất hiện trong
các kì thi HSG.
Do đó em quyết định chọn đề tài "Hàm số và nội dung dạy
học về hàm số lượng giác trong chương trình toán 11".
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì
khóa luận gồm ba chương.
Chương 1 "Hàm số và phương trình lượng giác " phân tích nội
dung dạy học phần hàm số và phương trình lượng giác trong chương
trình toán 11. Chỉ ra được sự phát triển của mạch kiến thức lượng
giác từ những lớp dưới lên đến lớp 11. Từ đó người dạy có sự lựa chọn
phương pháp cũng như cách thức dạy học phù hợp để đạt được hiệu
quả tốt nhất.
Chương 2 "Các dạng bài tập" từ những yêu cầu về kiến thức, kĩ
năng, tư duy, năng lực HS cần nắm được trong nội dung hàm số và
phương trình lượng giác chương này sẽ đưa ra các dạng bài tập với
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

phương pháp làm, cho ví dụ minh họa và bài tập áp dụng; và đưa ra
một số ứng dụng của lượng giác trong đại số.
Chương 3 "Xây dựng hệ thống bài tập trắc nghiệm" do hình thức
bài thi đánh giá năng lực HS trong kì thi THPT Quốc gia hết lớp 12
là hình thức thi trắc nghiệm nên việc đưa ra câu hỏi trắc nghiệm theo
các dạng bài tập đã được phân dạng ở chương 2 sẽ là bước đầu để các
em làm quen dần với hình thức thi này từ những lớp dưới.


5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm
từ X vào Y, kí hiệu
f :

R −→ R
x −→ y = f (x)

Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số".
Như vậy từ các định nghĩa trên ta có thể rút ra một số nhận xét
như sau:
+ Theo như cách định nghĩa hàm số của Hoàng Huy Sơn thì hàm số
là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ do đó các tính chất của ánh xạ
đều đúng với hàm số. Nhờ đó ta có một số lưu ý khi dạy định nghĩa
hàm số cho HS cần nhấn mạnh đến tính đơn trị và xác định khắp nơi.
Hơn nữa, việc đưa ra định nghĩa như trên giúp người đọc thấy được
những sự tương ứng khác trong thực tế cuộc sống như: HS - chiều cao
của HS đó, sản phẩm - giá của sản phẩm đó, khu dân cư - số dân,...
+ Ở cả lớp 7 và lớp 9 HS được học định nghĩa hàm số dựa vào đại
lượng biến thiên và chưa có khái niệm TXĐ. Lên đến lớp 10 với chương
trình nâng cao khái niệm hàm số mới được trình bày theo quan điểm
hiện đại, chặt chẽ hơn, dùng lí thuyết tập hợp để định nghĩa đi vào
bản chất của khái niệm và đề cập đến TXĐ. Không những vậy, các

a
b
cos A =
tan A =
cot A = .
h
h
b
a
Lên lớp 10 HS được học giá trị lượng giác của một góc bất kì chứ
sin A =

không chỉ những góc nhọn như lớp 9 dựa vào đường tròn lượng giác.
Vòng tròn đơn vị là tập hợp những điểm (x; y) trên mặt phẳng tọa độ
x0y thỏa mãn x2 + y 2 = 1.
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x; y) trên
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

vòng tròn và chiều dương của trục 0x. Khi đó các hàm lượng giác có
thể được định nghĩa như sau:

y
x
cot ϕ = .
x

Ta thấy số T = 2π là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn sin(x+T ) =
sin x và cos(x + T ) = cos x. Do đó ta nói hai hàm số trên tuần hoàn
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

với chu kì 2π.
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sin x
Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng
và nghịch biến trên mỗi khoảng

π
π
− + k2π; + k2π
2
2

π
3π
+ k2π;
+ k2π ; k ∈ Z.
2
2

Đồ thị hàm số y = sin x
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cos x
Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và

− + kπ; + kπ ;
2
2

k ∈ Z.

Đồ thị hàm số y = tan x
Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cot x
Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) ; k ∈ Z.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Đồ thị hàm số y = cot x
Từ đây ta có một số lưu ý khi dạy học hàm số lượng giác như sau:
- Chỉ rõ TXĐ của các hàm lượng giác cơ bản, từ đó HS có thể tìm
được TXĐ của một hàm số lượng giác bất kì.
- Nhấn mạnh tập giá trị của các hàm số lượng giác.
+ Hàm số y = sin x; y = cos x có tập giá trị là [-1;1].
+ Hàm số y = tan x; y = cot x có tập giá trị là R.
- Lưu ý đến chu kì của các hàm số lượng giác
+ Hàm số y = sin x; y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π nên góc x(rad)
và góc x + k2π(rad) có sin và cos bằng nhau.
+ Hàm số y = tan x; y = cot x tuần hoàn với chu kì π nên góc x(rad)
và góc x + kπ(rad) có tan và cot bằng nhau.
- Cho HS phân biệt đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x; y = tan x

Đến lớp 8 HS được học khái niệm phương trình một ẩn "Một phương
trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải
B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x." (SGK Toán 8, tập 2, NXB
Giáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính - Tổng chủ biên), SGK toán
8 trình bày về cách giải phương trình ax+b = 0, khái niệm hai phương
trình tương đương.
SGK Toán 9, tập 2, NXB Giáo dục, Tái bản 2011, Phan Đức Chính Tổng chủ biên đưa ra khái niệm phương trình bậc hai một ẩn "Phương
trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình
có dạng
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

ax2 + bx + c = 0
trong đó x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a = 0."
và đưa ra công thức nghiệm.
Từ những định nghĩa trên ta thấy rằng HS được làm quen với khái
niệm phương trình từ rất sớm, ngay từ những năm đầu của bậc tiểu
học tuy rằng chưa có khái niệm về phương trình nhưng lại được tiếp
xúc với những bài toán ẩn tàng của giải phương trình. Đến bậc Trung
học cơ sở, HS được học các khái niệm phương trình cụ thể, đó là bậc
nhất và bậc hai một ẩn; bước đầu được trang bị có những khái niệm
cơ bản như tập nghiệm, hai phương trình tương đương nhưng chưa có
định nghĩa cụ thể. Và cho đến lớp 10 khái niệm phương trình đã được
định nghĩa một cách chính xác dựa trên mệnh đề chứa biến. Nhìn vào
tổng thể của cả quá trình khái niệm phương trình được trình bày từ
cụ thể đến trừu tượng theo hướng mở rộng đã tạo điều kiện phát triển


Hàm số lượng giác

Dạng 1. Tìm TXĐ của hàm số lượng giác y = f (x)
Phương pháp Có thể thực hiện theo một trong hai hướng sau:
- D là tập hợp tất cả các giá trị của x để f (x) có nghĩa.
- Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của x để f (x) không có nghĩa; từ
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

đó suy ra TXĐ D = R\S.
Chú ý
1) − 1 ≤ sin x; cos x ≤ 1, ∀x ∈ R.
A
2) có nghĩa khi B = 0.
B
√
3) A có nghĩa khi A ≥ 0.
Ví dụ
Ví dụ 1 Tìm TXĐ của các hàm số sau:
√
1 − cos x
b)y =
a)y = 3 − sin x
sin x
1 − sin x

6
12
2
π
π
Do đó D = R\
+ k , ∀k ∈ Z .
12
2
Ví dụ 2. Cho hàm số f (x) = sin4 x + cos4 x − 2m sin x. cos x.
Tìm các giá trị của m để f (x) xác định với mọi x.
Giải
1
Ta có. sin4 x + cos4 x − 2m sin x. cos x = 1 − sin2 2x − m sin 2x
2
1
= − sin2 2x + 2m sin 2x − 2 .
2
Đặt t = sin 2x, điều kiện −1 ≤ t ≤ 1, ta được g(t) = t2 + 2mt − 2
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

Để 
f(x) xác định với mọi
 x ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [−1; 1]


1
cos x
1 − cos x
a) y =
b)
y
=
−
1 + 2 cos x 1 − 2 cos x
4 − 5 cos x − 2 sin2 x
1
1
√
d) y =
c) y =
√ .
cot x − 3
− tan x − 3
Dạng 2. Xét tính tuần hoàn của hàm số lượng giác
Trong phần này sẽ có các dạng bài tập như sau:
- Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn.
- Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x) .
- Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì.
Mỗi dạng bài tập sẽ có từng phương pháp làm cụ thể, ta sẽ đi vào
từng dạng bài.
Dạng 2.1 Chứng minh hàm số y = f (x) có tính chất tuần hoàn.
Phương pháp
Hàm số y = f (x) có TXĐ là D
Bước 1. Dự đoán số thực dương T0 có thế là chu kì của hàm số
y = f (x).

π
π
+ 2 có TXĐ D = R.
Ta có y = 2 cos 2x −
+ 1 = cos 4x −
6
3
π
π
π
Xét T0 = ta có ∀x ∈ R.x+T0 = x + ∈ R; x−T0 = x − ∈ R.
2
2
2
π
π
π
f (x + T0 ) = cos 4 x +
−
+ 2 = cos 4x −
+ 2π + 2
2
3
3
π
= cos 4x −
+ 2 = f (x).
3
Vậy hàm số trên tuần hoàn.
Dạng 2.2 Chứng minh T0 là chu kì của hàm số y = f (x) .


PHẠM THÚY NGA

Vậy hàm số y = f (x) = sin 2x có chu kì là T = π.
Dạng 2.3 Xác định chu kì của hàm số lượng giác bất kì.
Phương pháp Thực chất bài tập dạng này chính là tổng hợp của hai
dạng bài tập trên. Để thực hiện được ta cần sử dụng những kết quả
sau:
- Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
Mở rộng, hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) với a = 0 tuần hoàn
2π
với chu kì
.
a
- Hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
Mở rộng, hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) với a = 0 tuần hoàn
π
với chu kì .
a
- Giả sử y = f (x), y = g(x) tuần hoàn với chu kì lần lượt là T1 , T2 với
T1
∈ Q. Khi đó hàm số y = F (x) = mf (x) + ng(x) tuần hoàn với chu
T2
kì T = BCN N (T1 , T2 ).
- Trong các bài toán hàm số lượng giác chứa các hàm lượng giác bậc
cao hoặc dạng tích ta cần sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi tích
thành tổng trước khi thực hiện.
Ví dụ Trong những hàm số sau đây hàm số nào là hàm số tuần hoàn,
xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của nó.
π


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PHẠM THÚY NGA

c) Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π.
Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.
2π
.
Hàm số y = sin 3x tuần hoàn với chu kì
3
Do đó hàm số trên tuần hoàn với chu kì 2π.
x
d) Hàm số y = tan tuần hoàn với chu kì 2π.
x 2
Hàm số y = tan tuần hoàn với chu kì 3π.
3
Do đó hàm số trên tuần hoàn với chu kì 6π.
Bài tập áp dụng
Hãy xét xem hàm nào là hàm số tuần hoàn và xác định chu kì nhỏ
nhất (nếu có) của chúng:
√
a)f (x) = sin x + sin x 2

√
b)f (x) = tan x x
√
d)f (x) = tan x.

c)f (x) = cos x + 2 cos2 x + 4 cos3 x