ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hương

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Hương

LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN – TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN HIẾU

Hà Nội – Năm 2015



5
cao vô hạn …………………………………………………………………...
1.2 Hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ……………………………
7
1.2.1 Khái niệm về hiệu ứng âm – điện và hiệu ứng âm – điện – từ trong
7
bán dẫn khối ………………………………………………………………..
1.2.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm – điện – từ trong bán dẫn khối ….
8
CHƯƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ
15
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ VUÔNG GÓC CAO VÔ HẠN ...
2.1 Hamiltonian tương tác giữa điện tử - phonon trong hố lượng tử ……….
15
2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử …………….
17
2.3 Biểu thức trường âm – điện – từ lượng tử trong hố lượng tử với hố thế
25
cao vô hạn …………………………………………………………………..
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ
THUYẾT CHO TRƯỜNG ÂM – ĐIỆN – TỪ TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
35
AlAs/GaAs/AlAs ……………………………………………………………
3.1 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào từ trường ngoài trong
36
trường hợp từ trường yếu ….………………………………………………..
3.2 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào từ trường ngoài trong
37
trường hợp từ trường mạnh …………………………………………………
3.3 Sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ vào tần số sóng âm


Hình 3.4: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm – điện – từ
vào tần số sóng âm tại những giá trị khác nhau của nhiệt độ

Trang 39


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ vật
liệu mới, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo ra các cấu trúc nano
khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều (như siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng
tử, chấm lượng tử...)[1-6]. Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này cho ra đời
nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật
như: các vi mạch, diot huỳnh quang điện, pin mặt trời… Khi nghiên cứu các hệ bán
dẫn thấp chiều kết quả cho thấy không những hàm sóng và phổ năng lượng của
điện tử thay đổi mà các tính chất vật lý trong các hệ bán dẫn thấp chiều hoàn toàn
khác so với hệ bán dẫn ba chiều [7-26].
Trong bán dẫn khối, nếu các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh
thể (cấu trúc 3 chiều), thì ở các hệ thấp chiều, chuyển động của điện tử sẽ bị giới
hạn nghiêm ngặt dọc theo một, hai, hoặc ba hướng tọa độ nào đó. Phổ năng lượng
của các hạt tải cũng bị gián đoạn theo các phương này. Sự lượng tử hóa phổ năng
lượng của hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các tính chất vật lý của hệ như: tương
tác điện tử - phonon, tính chất điện, tính chất quang. Khi chịu tác dụng của trường
ngoài, các bài toán trong các hệ thấp chiều như: tính toán mật độ dòng, tính toán hệ
số hấp thụ, tính toán dòng âm điện, trường âm điện, … sẽ cho các kết quả mới,
khác biệt so với trường hợp bán dẫn khối. Các vật liệu mới với cấu trúc bán dẫn
thấp chiều nói trên đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên nguyên
tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ
thuật. Đó là lý do tại sao các cấu trúc thấp chiều trên được nhiều nhà Vật lý quan

thức giải tích trường âm - điện - từ được thu nhận. Các kết quả thu được trong hố
được so sánh với kết quả đã được nghiên cứu trong bán dẫn khối cho thấy sự khác
biệt cả định tính lẫn định lượng.
Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp
lý thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green phương pháp
tích phân phiến hàm, phương trình động lượng tử. Trong luận văn này, tôi sử dụng
phương pháp phương trình động lượng tử xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử sóng âm ngoài trong hố lượng tử, sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg
thiết lập phương trình cho hàm phân bố điện tử, từ đó tìm ra từ trường âm - điện từ lượng tử trong hố lượng tử.

2


3. Cấu trúc của luận văn
Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và
phụ lục gồm 3 chương:
Chương 1. Hố lượng tử và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối.
Chương 2. Biểu thức giải tích trường âm - điện - từ trong hố lượng tử với hố
thế cao vô hạn.
Chương 3. Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho trường âm - điện từ trong hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Các kết quả chính của luận văn chứa đựng trong chương 2 và chương 3.
Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của trường âm - điện - từ trong hố lượng
tử với thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng được thực hiện và cho thấy sự phụ
thuộc của trường âm - điện - từ vào từ trường ngoài trong 2 trường hợp: từ trường
yếu và từ trường mạnh. Kết quả thu được là mới, có những điểm khác biệt so với
trường hợp trường âm - điện - từ trong bán dẫn khối.

3


Chương 1

giữ khác nhau, việc khảo sát lý thuyết về hố lượng tử chủ yếu dựa trên hàm sóng
và phổ năng lượng của điện tử thu được nhờ giải phương trình Schrodinger với hố
4


thế đặc trưng của nó. Ngoài ra, khi chuyển từ hệ ba chiều sang hệ hai chiều thì mật
độ trạng thái cũng thay đổi, mật độ trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác không.
Sự thay đổi mật độ trạng thái của hệ điện tử trong hố lượng tử đóng vai trò quan
trọng trong việc chế tạo laser bán dẫn hố lượng tử. Trong luận văn này, chúng tôi
quan tâm đến hố lượng tử với thế giam giữ cao vô hạn.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử với hố thế
cao vô hạn
a, Trường hợp vắng mặt của từ trường
Chúng ta xét một hố lượng tử với hố thế cao vô hạn. Điện tử bên trong hố
V(z)
được giam giữ bởi một hố thế cao vô hạn có dạng:
V(z) =

(1.1)
z
0

Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm

L

trong hố lượng tử với thế tương ứng thu được từ việc giải phương trình
Schrodinger[2,6]
Hàm sóng: ψ(x,y,z) =


vuông góc với hố lượng tử, tức là song song với phương Ox. Đối với từ trường này
ta sử dụng thế vector A =

. Trong trường hợp này hàm Hamilton đối với

điện tử có dạng:
H=

=

(1.4)

Phương trình Schrodinger đối với điện tử trong hố lượng tử cao vô hạn:
ψ = εψ,
ψ = εψ ,

Hay

(1.5)

Giải phương trình (1.5) bằng phương pháp tách biến ta thu được hàm sóng và
phổ năng lượng của điện tử như sau:
ψ=

exp(i

= (N + )ħ

y)sin(


Trong trường hợp này nếu thế vectơ được chọn A=A y=-zB thì phương trình
Schrodinger có thể viết dưới dạng sau:
ψ = εψ

ψ = εψ.

hay

Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến ta thu được phổ năng
lượng và hàm sóng
= (n + )ħ

+

,

(1.8)
ψ=

exp[i(

y)].

(1.9)

1.2. Hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
1.2.1. Khái niệm về hiệu ứng âm - điện và hiệu ứng âm - điện - từ trong bán
dẫn khối
Khi một sóng âm truyền dọc theo một vật dẫn thì do sự truyền năng lượng và
xung lượng từ sóng âm cho các điện tử dẫn làm xuất hiện một hiệu ứng gọi là hiệu


1.2.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện - từ trong bán dẫn khối
Lý thuyết lượng về hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn khối đã được
A.D.Margulis và V.I.A.Margulis nghiên cứu và công bố 1994, tác giả xem sóng âm
δ(

như những dòng phonon kết hợp với hàm phân bố Delta N( )=

tác giả bắt đầu từ việc xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ điện tử-sóng âm
ur

H= H0 + He-ph =

r

∑ ε ( p )a a + ∑ C U ( q )a
ur
n, p

n

+
ur ur
p p

ur r
p ,q

r
q

i

số hạt

∂f p (t )
∂t

[

= a p a p , Hˆ
+

]

(1.11)
t

Sử dụng Hamilton (1.10) và hệ thức giao hoán của toán tử, thực hiện các phép
biến đổi chúng ta thu được phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
∂f p (t )
∂t

= i∑

+∞

∑C

q s ,l = −∞


Theo tính chất của hàm Delta Dirac ta có :
∂f p (t )
∂t

Hay

= π ∑ C q N q {(n p+ q − n p )δ (ε p+ q − ε p − ω q ) + (n p− q − n p )δ (ε p− q − ε p − ω q )}
2

q

∂f p (t )
∂t


W
{[ f p+q − f p ]δ (ε p+q − ε p − ωq ) + [ f p−q − f p ]δ (ε p−q − ε p − ωq )}
= πC1
ρv s 3
2

Ở đây: ρ là mật độ tinh thể, vs là vận tốc sóng âm, C1 là thế biến dạng.
Vậy ta thu được phương trình đối với hàm phân bố f p của điện tử tương tác
với phonon ngoài qua thế biến dạng C12 :
f p − f 0

[ ]

 
  ∂f p 

e 

∑ m pf

p

e 

δ (ε − ε p )


p

−

τ (ε p )

∑ m pf δ (ε − ε

p

0

τ (ε p )


p

)



e 

⇔

∑ m pf δ (ε − ε

p


p


p

)

τ (ε p )

e 
pf δ (ε − ε p )

∑
 ∂f p  p m 0
 p
− ω H ∑ ep [ δ (ε − ε p ), h ],   −

∂p 
τ (ε p )
p


p


p

)

τ (ε p )

e 
pf 0δ (ε − ε p )

∑


ep 
p m
+ ω H [h , ∑ f pδ (ε − ε p )] −

τ (ε p )
p m


p   ∂f p 
Đ
= e ∑  E ,  δ (ε − ε p )
 m
∂
p

Q(ε ) = e ∑

∂p 
p m




πeC12W
p 
S (ε ) =
∑p m f pδ (ε − ε p ){[ f p+ q − f p ]δ (ε p+ q − ε p − ωq ) + [ f p− q − f p ]δ (ε p− q − ε p − ωq )}
3
ρvs

10


r
r r


R(ε )
+ ωH [ h , R (ε )] = Q (ε ) + S (ε )
Suy ra
τ (ε pr )

(1.13)



p


0
0
0

∞

4πe 2
p ∂f 0
2
=−
p
dp
 δ (ε − ε p ) E
3 ∫
(2π ) 0
m ∂p


Q (ε ) = e 2 ∑

e2
=−
2π 2
=−

2
r

÷
e 2 (2mn ) 2  ε g
∂f 0 r

=−
E
2
2π mn
∂ε
 2ε 
1 + ÷
÷
 εg 

(1.14)

Tính toán tương tự ta có

2

πeC1 Wq 1
S (ε ) = − 3
ρvs ( 2π ) 2 1 + 2ε
εg

 mnε g

 2

1/ 2

πeC1 Wq 1  mn   ε g   ε   ε

=−
2
+1
θ (ε − ε1 )
   
3
ρvs (2π ) 2 1 + 2ε  2   2   ε g   ε g  ∂ε
εg
1/ 2

1/ 2
2

 ∂f 0
eC1 Wq 1  mn 
1/ 2  ε
=−
θ (ε − ε1 )
  ε  + 1
ε
∂
ε
ρvs 3 2π 1 + 2ε  2 
 g

εg

Gọi Γ là hệ số hấp thụ sóng âm , công thức: Γ =

2mn 





1/ 2

r
S (ε ) = −

ε

ε 1/ 2  + 1÷
 εg
÷ ∂f
1


0
θ (ε − ε 1 ) .
2ε
f 0 (ε1 )
∂
ε
1+
εg

r
eΓW


2 2

+
ω
τ
(
ε
)
Q
(
ε
)
+
S
(
ε
),
h
h
 H

{

}

(

)


2

Với n là nồng độ điện tử ở vùng dẫn.
ε ijk là ten-xơ phản đối xứng bậc 3.
0(i ≠ j )

1(i =j )


δ ij = 

12






Giả sử dòng sóng âm W và từ trường ngoài H cũng lần lượt được hướng dọc


theo các trục Ox và Oz và giả thiết rằng mẫu hoàn toàn cách điện ( j = 0 ). Khi đó từ
(1.17) thiết lập hệ phương trình jx = jy =0 và giải ra ta thu được biểu thức của trường
âm - điện - từ EAME xuất hiện theo phương Oz của mẫu :
Ta có phương trình :
jx = σ xj E j + η xjW j = σ xx E x + σ xy E y + σ xz E z + η xxWx + η xyWy + η xzWz = 0
j y = σ yj E j + η yjW j = σ yx E x + σ yy E y + σ yz E z + η yxWx + η yyWy + η yzWz = 0
σ xy E y + η xxWx = 0
σ yxσ xy E y + σ yxη xxWx = 0
⇒

v

e2n
e2n
ω H a2 ; σ yy =
(a1 + ω H2 a3 )
mn
mn

; σ xy = −σ yx =

e2n
ω H a2
mn

eΓ
eΓ
(b1 + ω H2 b3 ) ; η yx = −
ωH b2
2
3/ 2 2
(2mn ) vs
(2mn )3 / 2 vs

 e2 n

eΓ
e2 n
eΓ
2

Suy ra
Ey =

 a1b2 + ωH2 a3b2 − a2b1 − ωH2 a2b3 
ω H ΓW


23/2 e(mn )1/2 nvs2 
ωH2 a22 + (a1 + ωH2 a3 ) 2


ΓW

Đặt EW = nv e trường Weinreich
s
eτ H

0
Xét trường âm điện từ khi đặt mẫu trong từ trường yếu : m c
2

 4mn v s T  mn c

−1


 f 0−1 (0, z )[ Fv +3 / 2, 4 ( z, β )]− 2


{F3v + 3 / 2, 4 ( z , β ) F2 v +1 / 2,3 ( z , β ) − F2 v + 3 / 2,3 ( z , β ) F3v +1 / 2, 4 ( z , β )}

(1.20)

Từ công thức (1.19) và (1.20) ta có nhận xét rằng trong từ trường yếu trường
âm - điện - từ EAME tỉ lệ thuận với từ trường ngoài H , còn trong từ trường mạnh
trường âm - điện - từ EAME tỉ lệ nghịch với từ trường ngoài H.

14


Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN - TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
2.1. Hamiltonian tương tác giữa điện tử - phonon trong hố lượng tử.

Xét hố lượng tử với hố thế cao vô hạn. Trong hố lượng tử điện tử bị giam
cầm trong thế dọc theo trục Oz, điện tử chuyển động tự do trong mặt phẳng (x,y).
Đặt từ trường không đổi theo phương


tần số

là đa thức Hermite, n=0,1,2… là chỉ số mức Landau từ.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử có dạng:
H = H 0 + H e − ph ,

(2.1)

H 0 = ∑ ε n , pr an+, pr an , pr + ∑
hωkr bkr+bkr ,
r
r
n, p
k
x

x

(2.2)

x

x

H e− ph =

∑

r r


1 + σ l 2 σ l
1+ σ t2 
Ξ = q
+ ( − 2)
;
σt
2σ t 
 2σ l

 ωqr 3  2
2
r
÷ ;
Cq = iΛCl 
 2 ρΞS ÷


1

1

 C 2 2
σ t = 1 − s 2 ÷ ;
 Ct 

 C 2 2
σ l = 1 − s 2 ÷ .
 Cl 


(
z
−
z
)
exp(
)
exp(
)
×
exp(iqy
−
λ
z)
exp(
)
exp(
)Φ n ' ( z − z0 ) dV
n
0
l
Lx Ly ∫
h
h
h
h
'

=



y , p y + hq

∫Φ

∗
n

( z − z0 ) exp(−λl z)Φ n ' ( z − z0 ) dV

( z − z0 ) exp(−λl z)Φ n ' ( z − z0 ) dV


mΩc
1 mΩ c 12
) ∫ exp(−λl z) H 2 n  (z − z 0 )
= n (
2 n! π h
h



 −mΩ c

(z − z 0 ) 2 dz
 exp 
 h




−
z
)
exp
(z
−
z
+
) dz = (
) 2 .n ! L0n ( −λl2
)



n
0
0
∫
h 
2mΩc 
mΩc
mΩc
 h


Như vậy ta có:

λl2 h
1
h

ih

∂nn, pr x ( t )
∂t

=  an+, pr x an , pr x , H  .
t

(2.4)

Hay:
ih

∂nn , pr x ( t )
∂t



=  an+, pr x an, pr x , ∑ ε n' , pr ' an+', pr 'x an ', pr 'x 
x
r
n' , px'





+  an+, pr x an, pr x , ∑
hωkr bkr+bkr 
r


{

} {

bqr , bqr+'  = bqr bqr+' − bqr+'bqr = δ qr ,qr ' ; bqr , bqr '  = bqr+ , bqr+'  = 0 .

Ta có:
 an+, pr an , pr , a + r a r  = an+, pr an , pr a + r a r − a + r a r an+, pr an , pr
n ,p n ,p 
n ,p n ,p
n ,p n ,p

x

}

, an+', pr ' x = an, pr x an+', pr ' x + an, pr x an+', pr ' x = δ n ,n 'δ pr x , pr 'x ; an, pr x , an ', pr 'x = an+, pr x , an+', pr 'x = 0 ,

x

'

'
x

'

'
x



= an+, pr (δ n ,n δ pr
'

x

r'
x , px

− an+ , pr an , pr ) an , pr − an+ , pr (δ n ,n δ pr
'

'
x

'

x

'
x

'

'
x

'



x

x

x

x

'

x

'
x x

x

x

x

x

=0






x

x

x

x



x



+
hωkr bkr+ bkr  = 0 ,
Suy ra:  an , pr an , pr , ∑
r
k


x

(2.7)

x

t

 an+, pr an , pr , an+', pr '

r

x , p 'x

an '

1,

r
+q

r
p 'x

bqr − an+', pr '

− an+', pr '

x

x

r
+q

an '

1,

an , pr )an '


x

b δ n ,n 'δ pr

= an+, pr an '
x

x

r
r
p 'x q

1,

r
r
x , p 'x + q

,

x

− an+', pr '

x

r
x +q

1

x,

=

∑CU
r
q

nr',n '1r
p 'x , q

n ', n '1

an+, pr an '
x

1,

b δ n ,n 'δ pr

r
r
p 'x q

r

x , p 'x


x

r
+q

= −∑ CqrU nn ' (an+', pr + qr an , pr bqr − an+, pr an ', pr − qr bqr ) ,
r
n ',q
x

x

x

x

Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8)vào (2.5) và đặt:

19

an , p bqrδ n ,n ' δ p p '
x

1

x

x

t


Hay:
∂nn , pr x ( t )

=

∂t

i
CqU nn '[Fn+, pr x ,n ', pr x + qr ,qr (t ) − Fn+', pr x −qr ,n , pr x ,qr (t)] ,
∑
r
h n ',q

(2.10)
 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 , an+', pr 'x an ', pr 'x  = an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 an+', pr 'x an ', pr 'x − an+', pr 'x an ', pr 'x an+1 , pr1 an2 , pr 2 bqr+1 =

(

)

(

)

= an+1 , pr1 δ n2n 'δ pr2 pr 'x − an+', pr 'x an2 , pr2 an ', pr 'x bqr+1 − an+', pr 'x δ n2n 'δ pr1 pr 'x − an+1 , pr1 an ', pr 'x an2 , pr2 bqr+1 =

= an+1 , pr1 an ', pr 'x bqr+1δ n2n 'δ pr 2 pr 'x − an+1 , pr1 an+', pr 'x an2 , pr2 an ', pr 'x bqr+1 −
− an+', pr 'x an2 , pr2 bqr+1δ n2n 'δ pr1 pr 'x + an+', pr 'x an+1 , pr1 an ', pr 'x an2 , pr2 bqr+1 =
= an+1 , pr1 an ', pr 'x bqr+1δ n2 n 'δ pr2 pr 'x − an+', pr 'x an2 , pr2 bqr+1δ n2n 'δ pr1 pr 'x .


+
+
r
r
r
n1 , p1 n ', p 'x q1 n2 n '

a

= ε n2 ,pr 2 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1

=
t

t

− ε n1 ,pr1 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1

t

(

= − ε n1 ,pr1 − ε n2 ,pr 2

)

 an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 , b +kr bkr  = an+1 , pr1 an2 , pr 2 bqr+1 b +kr bkr − b +kr bkr an+1 , pr1 an2 , pr2 bqr+1 =

20