u1 = 2
Câu 1: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho dãy số ( u n ) biết 
u n +1 = 2u n n 

*

. Tìm số hạng

tổng quát của dãy số này ?
A. u n = 2 n

B. u n = n n −1

D. u n = 2n +1

C. u n = 2

Đáp án A
Ta có u n = u1q n −1 = 2.2n −1 = 2n
Câu 2 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho hàm số : y = x 3 = 2018x có đồ thị là ( C ) . M là điểm
trên ( C ) có hoành x1 = 1. Tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại điểm M 2 khác M1 , tiếp tuyến
của ( C ) tại M 2 cắt ( C ) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M n −1 cắt ( C ) tại
điểm M n khác Mn −1 ( n = 4,5;...) , gọi

( x n ; yn )

là tọa độ điểm Mn . Tìm n để :

2018x n + y n + 22019 = 0

A. n = 647


( cấp số nhân với q = −2 )

2019

 n = 674

Câu 3 (Đặng Việt Hùng-2018): Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn
dãy số là cấp số nhân
 u1 = 2
A. 
2
u n +1 = u n

u1 = −3
B. 
u n +1 = u n + 1

u1 = −1
C. 
u n +1 = 3u n

Đáp án C
u1 = a
Cấp số nhân có công thức truy hồi dạng 
u n +1 = q.u n

u1 = −1
Dãy số 
là CSN với u1 = −1 và công sai q = 3

3

Đáp án
Ta có u1 + u 3 = 2u 2  u 2 = 4  u 4 = 8  d =

u4 − u2
= 2  u1 = u 2 − d = 2
2

Câu 5 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho cấp số cộng có u 4 = −12,d = 3. Khi đó tổng của 16 số
hạng đầu tiên của cấp số cộng là
A. −24

B. 24

C. −26

D. 26

Đáp án B
Ta có

u 4 = u1 + 3d  u1 = u 4 − 3d = −12 − 3.3 = −21
Suy ra S16 = 16.u1 +

16.15
16.15
d = 16. ( −21) +
.3 = 24
2

A. S10 = 118096

B. S10 = 59048

C. S10 = −59048

Đáp án B
u1 = 2
1 − q10
Ta có 
 S10 = u1
= 59048.
3
3
1− q
u 4 = u1q = 2q = 54  q = 3

D. S10 = 29524


Câu 8 : (Đặng Việt Hùng-2018) Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?
A.

1 1 1 1 1
; ; ; ;
2 4 6 8 10

B.

1 3 5 7 9

Đáp án D
2x = −2 + 6
x = 2

.
Ta có: 
2.6 = x + y
 y = 10

Câu 10 (Đặng Việt Hùng-2018)Trong các dãy số ( u n ) được cho bởi các phương án dưới
đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A. u n =

2
n

B. u n = n 2

C. u n = n + 2

D. u n = 2 n

Đáp án C
Xét dãy số u n = n + 2. Ta có: u n +1 = n + 1 + 2 − ( n + 2 ) = 1 không đổi  u n = n + 2 là 1 CSC
với công sai d = 1.
Câu 11: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho dãy số ( u n ) với u1 = 2 và u n +1 = 2 + u n , n  1.
Chọn phát biểu đúng:
A. ( u n ) không bị chặn trên

B. u 3 = 2 + 2 2


C. 2019

D. 4038

Đáp án D
Ta có y 2 = xz và
log a x + log 3 a = 2log

2

y  log a x + log a z 3 = log a y 4  xz 3 = y 4 − x 2 z 2  x = z  x = y = z

u = 1
Câu 13 (Đặng Việt Hùng-2018): Cho dãy số ( un ) xác định bởi  1
. Tính số hạng
un+1 = 2un + 5
thứ 2018 của dãy.

B. u2018 = 3.2017 + 5

A. u2018 = 3.2018 + 5

C. u2018 = 3.2018 − 5

D. u2018 = 3.2017 − 5

Đáp án C
Phân tích vn+1 + k = 2 ( un + k )  k = 5  un+1 + 5 = 2 (un + 5)
Đặt vn = un + 5  vn+1 = 2vn ( CSN )  vn = v1q n−1 = (u1 + 5) .2n−1 = 6.2n−1

n


(

)

A. u 2018 = 7 + 5 2

Hùng-2018)

*

Cho

dãy

số

( u n ) thỏa

mãn

Tính u 2018 .

B. u 2018 = 2

C. u 2018 = 7 − 5 2

D. u 2018 = 7 + 2


u − u = 6
Câu 16 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho cấp số cộng ( u n ) thỏa mãn  1 3
, tìm số hạng
u 5 = −10

tổng quát của cấp số cộng đó?
A. u n = 5 − 3n

B. u n = 5n

C. u n = 2 − 3n

D. u n = 5 + 3n

Đáp án A
u1 − ( u1 + 2d ) = 6
 u1 − u 3 = 6
−2d = 6
d = −3



.
Ta có 
u1 + 4d = −10
u1 = −10 − 4d
 u1 = 2
u 5 = −10


= 0; lim   = 0; lim
= 0.
Ta có: lim
n
n
n ( n + 1)

3
n2 +1
n

Vậy chỉ có dãy số u n =

2n − 1
có giới hạn khác 0.
n

Câu 18 (Đặng Việt Hùng-2018) Cho cấp số cộng ( u n ) có công sai d, tìm điều kiện của d để

( u n ) là dãy số tăng.
A. d  0

B. d  1

C. d  0

D. d  1


Đáp án C


Đặt v n = u

2
n

 v1 = 20182

2
 v n +1 = v n + n + 2018

 v1 = 20182

2
 v 2 = v1 + 1 + 2018

Ta có:  v3 = v 2 + 22 + 2018
..........

 v = v + ( n − 1)2 + 2018
n −1
 n

(

 vn = 20182 + 2018 ( n − 1) + (1 + 2 + ... + n − 1) + 12 + 22 + ... + ( n − 1)
Trong đó ta có: 12 + 22 + ... + ( n − 1) =
2

Do đó v n = 20182 + 2018 ( n − 1) +


B.

1
3926

C.

1
3625

D.

1
3774


 u1 = 1
1

. Đặt v n =
Ta có:  1
ta có:
1
=
+
3n
+
2
u

2
1
 u 50 =
.
3n + n − 2
3774
2

Câu 21 (Đặng Việt Hùng-2018)Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân ( u n ) , biết

u1 = −3 và công bội q = −2.
A. S10 = −1023

B. S10 = 1025

C. S10 = −1025

D. S10 = 1023

Đáp án D

Sn =

n (1 − q n )
1− q

( −3) 1 − ( −2 )
 S10 =
1 − ( −2 )


2
2
AM
+


 = AB
 BC 
 AB   AB  1
2
2
 BC.AB + 
Ta có 


 = AB  
 −
− = 0
 2 
 BC   BC  4

2
BC.AB = AM
 q2 =

AB 1 + 2
1+ 2
=
q=
BC

1
. Tính tổng sau
2018 + 2018
x

S = 2018 f ( −2017 ) + f ( −2016 ) + ... + f ( 0 ) + f (1) + ... + f ( 2018 ) 

A. S = 2018

B. S =

1
2018

C. S = 2018

D. S =

1
2018

Đáp án A
Đặt a = 2018  f ( x ) + f (1 − x ) =

Do đó f ( x ) + f (1 − x ) =

1
1
a1− x + a x + 2 a
1

n



= sin  1  Dãy số (u n ) bị chặn.
n
n

2
+ ... + C2017
Câu 26: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho tổng S = C12017 + C2017
2017 . Giá trị tổng S bằng


B. 22017

A. 22018

C. 22017 − 1

D. 22016

Đáp án B
Xét khai triển (1 + x )

2017

2017
= C12017 + C12017 x + C22017 x 2 + ... + C2017
2017 x

Đáp án A
2x
22 − x
2x
22− x + x −1
2x
2x
Ta có f ( x ) + f (1 − x ) = x
+
=
+
=
+
=1
2 + 2 22− x + 2 2x + 2 22− x + x −1 + 2 2x + 2 2 x + 2

1 1 59
 1   19   2   18 
Khi đó f   + f   + f   + f   + ... + f ( 0 ) + f (1) = 9 + + =
3 2 6
 10   10   10   10 
Câu 28 (Đặng Việt Hùng-2018): Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
2C0n + 5C1n + 8C2n + .. + ( 3n + 2 ) Cnn = 1600
A. 5

B. 7

C. 10

D. 8

u 3 = u1q 2 = 12
9
 q 4 = 16  q = −2 ( vì q  0 )  u1 = 3  u10 = 3. ( −2 ) = −1536
Ta có: 
6
u 7 = u1q = 192

Câu 30 : (Đặng Việt Hùng-2018) Cho dãy số ( u n ) được xác định như sau:
u1 = 2
. Tính tổng S = u 2018 − 2u 2017 .

u n +1 + 4u n = 4 − 5n ( n  1)

A. S = 2015 − 3.42017

B. S = 2016 − 3.42018

C. S = 2016 + 3.42018

D. S = 2015 + 3.42017

Đáp án A
Ta có u n +1 + 4u n = 4 − 5n  u n +1 = −4u n − 5n + 4  u n +1 + n = −4 ( u n + n − 1) (*) .
Đặt vn +1 = u n +1 + n suy ra vn = u n + n − 1 , khi đó (*)  vn +1 = −4vn
Do đó v n là cấp số nhân với công bội q = −4  v n = ( −4 )
Mà v1 = u1 = 2 nên suy ra v n = 2. ( −4 )
Vậy S = u 2018 − 2u 2017 = 2. ( −4 )

2017


u12 = 18 = u1 + 11d
u = −4
 1

d = 2
u 6 = 6 = u1 + 5d

Câu 32 (Đặng Việt Hùng-2018)Cho dãy số xác định bởi
1
n −1 
u1 = 1; u n +1 =  2u n + 2
 ; n  *. Khi đó u 2018 bằng:
3
n + 3n + 2 
A. u 2018 =

22016
1
+
.
2017
3
2019

B. u 2018 =

22018
1
+
.

n −1
A
B
=
=
+


.
n + 3n + 2 ( n + 1)( n + 2 ) n + 1 n + 2
2A + B = −1 B = 3
2


Lại có 3u n +1 = 2u n −
Đặt v n = u n −

2
3
1 
1 


+
 3  u n +1 −
 = 2  un −
.
n +1 n + 2
n+2
n +1

= .  +
= n −1 +
.
4 3
n +1 4  3  n +1 3
n +1
n

n

 2n − 2
1 
Vậy u 2018 =  n −1 +

n +1 
3

n = 2018

22016
1
= 2017 +
.
3
2019

Câu 33: (Đặng Việt Hùng-2018) Cho cấp số cộng ( u n ) với số hạng đầu là u1 = −2017 và
công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị
dương?
A. u 674 .

2016 
2016 


A.

1007
2

B.

3025
6

C.

1511
3

Đáp án B
sin 2

1007 


1007 
= cos 2
 sin 2
+ sin 2
=1


(

)

Câu 35 (Đặng Việt Hùng-2018)Đă ̣t f ( n ) = n 2 + n + 1 + 1. Xét dãy số ( u n ) sao cho
un =

2

f (1) f ( 3) f ( 5 ) ...f ( 2n − 1)
. Tin
́ h lim n n n .
f ( 2 ) f ( 4 ) f ( 6 ) ...f ( 2n )

(

(

)

A. lim n n n = 2.

(

)

B. lim n n n =

)

= n 2 ( n 2 + 2n + 2 ) + ( n + 1) + 1 = n 2 ( n + 1) + 1 + ( n + 1) + 1 = ( n 2 + 1) ( n + 1) + 1





f ( 2k − 1) ( 2k − 1) + 1
12 + 1 32 + 1 ( 2n − 1) + 1
1
Khi đó
=

u
=
. 2 ...
= 2
n
2
2
2
f ( 2k )
3 + 1 5 + 1 ( 2n + 1) + 1 2n + 2n + 1
( 2k + 1) + 1
2

(

)

 lim n u n = lim

C.

149
.
3

D.

301
.
6

Đáp án D.
Với a + b = 1  f ( a ) + f ( b ) =
Lưu ý

4a
4a
4a + b + 2.4a + 4a + b + 2.4b
+
=
= 1.
4a + 2 4 b + 2
4a + b + 2.4a + 2.4b + 4

98
1
9
 50   100  301
+f 

d = 4
d = 4


.
2u1 − d = 6
u1 = 5
Câu 38: (Đặng Việt Hùng-2018)Cho dãy số ( u n )

u1 = 10

, n  N *. Tính
với 
1
u n +1 = 5 u n + 3

lim u n
A. lim u n =

13
4

B. lim u n = 3

C. lim u n =

15
4

Đáp án C

 2013   2014 
Tính tổng S = f 
+f 
+f 
 + ... + f 
+f 

 2015   2015   2015 
 2015   2015 

D. lim u n = 2


A. 2014.

B. 2015.

C. 1008.

D. 1007.

Đáp án D.
Dễ dàng chứng minh f ( x ) + f (1 − x ) =

4x
41− x
4x
2
+
=


1
1
1
C. u n =
+
+ ... +
.
1.3 3.5
( 2n + 1)( 2n + 3)

B. u n = n

(

u1 = 2018

.
D. 
1
u n +1 = 2 ( u n + 1) , n  1

Đáp án C.
Dễ thấy u n =

)

n 2 + 2020 − 4n 2 + 2017 .

1