ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

XAYKHAM INTHAPHONE

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP-XÁC SUẤT
CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Ở NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

XAYKHAM INTHAPHONE

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP-XÁC SUẤT
CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẮNG SƯ PHẠM
Ở NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO
Ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2018


thành luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không tránh
khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của các
thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018
Tác giả luận văn

XAYKHAM INTHAPHONE

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU.......................................................................... iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
6. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................... 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán ........................................................................... 4
1.1.1. Kỹ năng ...................................................................................................... 4

trình giải toán của G.Polya ...................................................................... 57
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 64
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 66

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 66
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 66
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................ 67
3.4. Hình thức tổ chức thực nghiệm .................................................................. 68
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 68
3.5.1. Phân tích định lượng ................................................................................ 68
3.5.2. Phân tích định tính ................................................................................... 74
3.6. Kết luận chương 3....................................................................................... 74
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 75
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 77
PHỤ LỤC ...............................................................................................................

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU
Bảng 3.1.

Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................ 66

Bảng 3.2.

Chất lượng học tập học kì I năm học 2017- 2018 của hai lớp
3A và 3B Trường Cao đẳng Sư phạm Luông Pha Bang Nước
Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào ............................................. 67


Giáo dục và Đào tạo có những bước đi đổi mới về mọi mặt, nhằm đào tạo ra
những con người lao động có đủ kiến thức, năng lực sáng tạo, trí tuệ và phẩm
chất đạo đức tốt, đáp ứng được yêu cầu nhân lực của đất nước.
1.2. Trong dạy học môn Toán ở nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào,
dạy học giải bài tập được xem là một trong những tình huống điển hình. Nội
dung kiến thức môn Toán cần trang bị cho người học không chỉ bao gồm các
khái niệm, định lí mà còn bao gồm các kỹ năng, phương pháp, mà giải bài tập
toán chính là phương diện không thể thiếu trong việc giúp người học nắm vững
các tri thức, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo cho bản thân.
Thực tiễn cho thấy, rèn luyện kỹ năng cho người học là một khâu quan
trọng không thể tách rời của quá trình đào tạo ở trương. Đó là hoạt động cần thiết
để người học biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả năng tri thức của
riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng tốt thì chất lượng học tập mới
đem lại hiệu quả cao. Tuy nhiên, kỹ năng giải toán của người học còn nhiều hạn
chế.
1.3. Chương trình học phần Xác suất thống kê ở trường Cao đẳng Sư phạm
nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào, nội dung Tổ hợp - Xác suất gồm các nội
dung: Đại số tổ hợp và Xác suất. Để sinh viên hiểu đúng được bản chất và làm
được các dạng toán này không phải là điều đơn giản, sinh viên thường mắc phải
những sai lầm trong quá trình giải toán vì đây là những nội dung tương đối khó.
Để giúp sinh viên học tốt học phần Xác suất thống kê nói chung và học tốt nội
1


dung Tổ hợp - Xác suất nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất bài toán và làm
thành thạo các dạng toán là điều rất cần thiết.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các
vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm.
Vì vậy, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện kỹ năng
giải toán Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước

- Phương pháp quan sát, điều tra: Điều tra tình hình dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng Sư phạm cũng như việc rèn luyện kỹ năng giải
toán cho sinh viên nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào thông qua dạy học chủ
đề này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
luận văn gồm 3 chương:
- Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Công hòa Dân chủ Nhân dân
Lào qua dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất.
- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu,
các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định” [10].
Theo K.K.Platơnôp[10]: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là sự thông hiểu mối
liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động”.
Theo [15], “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có
được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn

minh…)”.
Như vậy, cơ sở của kỹ năng giải toán là các tri thức toán học, khi giải một
bài toán tức là thực hiện một hệ thống hành động có mục đích. Do đó, chủ thể
hành động cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện theo các yêu cầu
cụ thể của tri thức đó. Kỹ năng giải toán của người học có thể hiểu là khả năng
vận dụng có mục đích những tri thức, kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán
cụ thể, thực hiện một hệ thống hành động để tìm ra lời giải bài toán một cách
khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt
động.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ năng có
thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Trong giải toán, người giáo viên cần tổ chức để người học biết cách tìm ra
yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối liên hệ giũa chúng. Khả năng bao quát vấn
đề. Hình thành được một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại.
Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và những kiến thức
có liên quan tương ứng. Biết quy lạ về quen, biết khái quát hóa, đặc biệt hóa…
Để hình thành một kỹ năng cho người học cần phải tổ chức cho người học luyện
tập những hoạt động tương ứng với những kỹ năng đó.
5


Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện
cho người học những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ Toán học: là sự thể hiện mức
độ thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu tri thức Toán học sẽ vận dụng
được để làm toán.
+) Kỹ năng vận dụng Toán học vào các môn khác: Kỹ năng trên bình diện
này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này
thể hiện tính liên hệ giữa những môn học trong nhà trường, đòi hỏi người giáo viên

thành công của người học toán. Trên thực tế, có nhiều người học, kể cả người
học khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy, người giáo viên cần giúp
người học có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi
bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó.
Qua đó, người học cũng cần được rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn
như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác… Việc hình thành và rèn luyện kỹ
năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất
lượng dạy và học.
- Nhóm kỹ năng về tư duy:
+ Kỹ năng chứng minh toán học: Theo Hoàng Chúng [2]: Để có kỹ năng
chứng minh toán học, học sinh cần đạt được: Hình thành động cơ chứng minh,
rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh, truyền thụ những tri
thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.
+ Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều: Là một điều kiện quan trọng để người học nắm vững
và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của
toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho người học kỹ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược
diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
+ Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng toán học hóa các
tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm
tạo điều kiện cho người học biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà

7


trường gây hứng thú trong việc học tập giúp người học nắm được thực chất nội dung
vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức.
+ Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan
đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều

trường là:
- Phát triển ở người học những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp người
học biết những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của
bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực
động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.
- Làm cho người học từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc
và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, hiện đại, phù hợp
với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống
cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa
học khác.
- Thông qua việc giải bài tập, người học khắc sâu các kiến thức đã học,
biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức
mới đối với người học; qua đó rèn luyện, phát triển tư duy lôgic, sáng tạo, tính
kiên trì, cần cù, chịu khó... ở người người học.
- Phát triển thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
b) Vị trí và vai trò của bài tập toán
Trong dạy học toán, bài tập toán có vai trò quan trọng, vì dạy toán là dạy
hoạt động toán học. Đối với người học, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học. Các bài tập toán là một phương tiện hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững những tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán trong
nhà trường. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò
quyết định đối với chất lượng dạy học toán [7].
Theo Nguyễn Bá Kim [5]: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong
môn toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của học sinh.
9



- Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho người học
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học. Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn,
mở rộng, bổ sung cho lý của lý thuyết. Đặc biệt, bài tập còn mang tác dụng giáo
dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp người học rèn luyện kĩ năng tính
toán, kĩ năng đọc hình vẽ, kĩ năng sử dụng các phương tiện học tập, kĩ năng thực
hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn
gọn tiết kiệm thời gian...
- Với chức năng giáo dục: Bài tập giúp người học hình thành thế giới quan
duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản
thân người học và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển cho
người học đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo
trong khoa học.
- Với chức năng phát triển: Bài tập giúp người học ngày càng nâng cao khả
năng suy nghĩ, rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp,
suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa... thông thạo một số
phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách
thông minh sáng tạo. Từ đó, người học hình thành phẩm chất tư duy khoa học.
- Với chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và người học đánh giá
được mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá
khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của người học.
Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh, những
hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của người học. Qua đó có thể bổ
sung, rèn luyện, phát triển và phát triển tiếp cho người học. Có thể nói rằng, hiệu
quả của việc dạy toán trong nhà trường phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và
thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách đã có
dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực
hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.

11

12


- Bước 3: Trình bày lời giải. Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh
những chỗ cần thiết.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
+ Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải.
+ Có thể sử dụng kết quả của bài toán khác vào việc giải bài toán này hay
không? Có thể đưa ra một bài toán tương tự hay một bài toán tổng quát hơn bài
toán đã cho hay không?
+ Từ bài toán đã cho lật ngược vấn đề, từ đó có thể phát sinh những bài
toán mới hay những lời giải mới.
- Lời giải của một bài toán cần đạt được những yêu cầu sau:
+ Lời giải đầy đủ;
+ Lập luận chặt chẽ;
+ Kết quả đúng, kể cả bước trung gian;
+ Ngôn ngữ chính xác, khoa học;
+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật;
+ Tìm ra nhiều lời giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lí.
Ví dụ 1.1. Chứng minh đẳng thức:

1 1 2 1 2 3
( 1)n n n 1 1  ( 1)n
2C  C n .2  C n .2  .... 
C n .2 
2
3
n 1
n 1

0
1
2 2
n
n n
Xét nhị thức (1  x )  C n  C n x  C n x  ...  ( 1) C n x .

Lấy tích phân hai vế ta có:
2

2

0

0

n
0
1
2 2
3 3
n
n n
 (1  x ) dx   (C n  C n x  C n x  C n x  ....  ( 1) C n x )dx

2

2
3
n 1

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Giáo viên: Nêu phương pháp chung để giải các bài toán tương tự
Người học: Để chứng minh các đẳng thức có dạng trên ta thực hiện theo
bốn bước:
- Tìm một nhị thức Newton.
- Khai triển nhị thức ở bước 1.
- Lấy tích phân với cận thích hợp.
- Kết luận.
14


Ví dụ 1.2. Có ba khách hàng không quen biết nhau cùng đi mua hàng ở
một của hàng có 5 quầy hàng. Giả sử các khách hàng chọn quầy mua hàng một
cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A = {cả 3 khách vào cùng một quầy}
b) B = {3 khách vào ba quầy khác nhau}
c) C = {Có 2 người vào quầy số 1}
d) D = {Có 2 người vào cùng một quầy}
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Giáo viên: Bài toán yêu cầu tính những cái gì?
Người học: Bài toán yêu cầu tính xác suất của các biến cố A, B, C, D; tức
là tính P(A), P(B), P(C), P(D).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Giáo viên: Để tính xác suất của một biến cố ta thường sử dụng công thức nào?
Người học: Có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển; hay các tính chất của
xác suất
Giáo viên: Với những bài toán nào ta có thể dùng tính chất để tính xác suất?
Người học:Khi có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các biên cố.
Giáo viên: Khi nào ta có thể tính xác suất theo định nghĩa cổ điển?
Người học: Khi xác định được các kết quả đồng khả năng của không gian

Do đó, ta có P( B) 

60
 0,48
53

c. Ta có m là số cách chọn để 2 trong 3 người vào quầy số 1 và người kia
vào một trong bốn quầy còn lại:

C32 .1.4  12  P(C ) 

12
 0,096
53

d. Ta có m là số cách chọn để 2 người vào cùng một quầy:

4C32C51  60  P( D) 

60
 0,48
53

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Giáo viên: Nêu các bước để giải một bài toán theo định nghĩa xác suất
cổ điển?
Người học: Để tính Xác suất theo định nghĩa cổ điển ta thực hiện theo bốn
bước:
- Xác định không gian mẫu, từ đó tính n là các kết quả đồng khả năng của
không gian mẫu.

4 tiết

- Nhóm (Thuật ngữ cơ bản)
- Một số trong lý thuyết xác suất
1.2

Quy tắc nhân và quy tắc cộng

7 tiết

- Quy tắc đếm, quy tắc cộng
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
-Tổ học xác suất có điều kiện và xác suất một biến cố
1.3

Mẫu ngẫu nhiên.

9 tiết

-Xác suất có điều kiện
-Biến cố độc lập.
- Các ví dụ tổ hợp xác suất thống kê
- Các bài tập
Bài 2 Sự phân phối của biến cố ngẫu nhiên
2.1

15

Khái niệm và Biến cố ngẫu nhiên
- Sự phân phối

12
6 tiết

- Sự phân phối thông thường
- Sư phân phối theo Possion Probability Districbution
3.2

Sự phân phối theo Hypergeometric Distribution

6 tiết

- Các ví dụ của phân phối biến đổi ngẫu nhiên và phân phối
thong thường
- Các bài tập
Bài 4 Sự phân phối của biến đổi ngẫu nhiên liên tục
4.1

Khái niệm Sự phân phối biến ngẫu nhiên liên tục

17
7 tiết

- Phân phối xác suất của biến cố ngẫu nhiên.
- Sự phân phối t
- Sự phân phối x2
4.2

Sự phân phối F

7 tiết