ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRỌNG DUẨN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU KÉM
QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRỌNG DUẨN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU KÉM
QUA DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngành: LL&PP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14. 01. 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trịnh Thị Phương Thảo

THÁI NGUYÊN - 2018

1.1.1. Kỹ năng ................................................................................................................ 4
1.1.2. Kỹ năng giải toán ................................................................................................. 5
1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác ............. 9
1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ
giữa các cung ................................................................................................................. 9
1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại ................................. 12
1.1.3.3. Kỹ năng sử dụng công thức hạ bậc ................................................................. 13
1.1.3.4. Kỹ năng đưa về phương trình tích .................................................................. 15
1.1.3.5. Kỹ năng kết luận nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản...................... 18
1.2. Học sinh yếu kém môn Toán. ............................................................................... 19
1.2.1. Quan niệm về học sinh yếu kém môn Toán ...................................................... 19
1.2.2. Đặc điểm của học sinh yếu kém Toán ............................................................... 19
1.2.3 Phân loại học sinh yếu kém toán ........................................................................ 20

ii


1.3. Thực trạng việc bồi dưỡng kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lượng giác
cho học sinh yếu kém lớp 11 trung học phổ thông. ..................................................... 20
1.3.1. Mục đích điều tra ............................................................................................... 20
1.3.2. Phương pháp và đối tượng điều tra .................................................................... 20
1.3.3. Kết quả điều tra .................................................................................................. 21
Kết luận chương 1 ........................................................................................................ 29
Chương 2. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH YẾU
KÉM THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
LỚP 11 ........................................................................................................................ 28
2.1. Định hướng đề xuất biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh yếu kém trong dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11. ......................... 28
2.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề phương
trình lượng giác cho học sinh yếu kém ........................................................................ 28

3.5.1. Đánh giá định tính.............................................................................................. 65
3.5.2. Đánh giá định lượng .......................................................................................... 66
3.5.3. Một số nghiên cứu trường hợp .......................................................................... 71
3.6. Theo dõi sự tiến bộ của một nhóm học sinh (Nghiên cứu trường hợp)................ 68
3.6.1. Lựa chọn chọn mẫu............................................................................................ 68
3.6.2. Phân tích kết quả theo dõi .................................................................................. 69
Kết luận chương 3 ........................................................................................................ 71
KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................. 72
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................. 73
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Viết tắt

Cụm từ viết tắt

ĐTLG

Đường tròn lượng giác

GV

Giáo viên

HS


trình lượng giác ............................................................................................................ 22
Bảng 1.4. Những nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán phương trình lượng
giác của học sinh yếu kém ........................................................................................... 22
Bảng 1.5. Các biện pháp đã đưa ra đối với học sinh yếu kém..................................... 23
Bảng 1.6. Danh sách các trường có học sinh đóng góp ý kiến về thực trạng .............. 24
Bảng 1.7. Những khó khăn khi giải phương trình lượng giác ..................................... 25
Bảng 1.8. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải phương trình lượng giác ..... 25
Bảng 3.1: Thống kê kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng............. 66
Bảng 3.2: Phân loại kết quả học tập ............................................................................ 66
Bảng 3.3: Xử lý số liệu thống kê ................................................................................. 66
Bảng 3.4: Kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm ............................... 67
Bảng 3.5: Kiểm định phương sai ................................................................................. 67

DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1.1. Hứng thú học tập của học sinh yếu kém trong chủ đề phương trình
lượng giác ..................................................................................................................... 24
Biểu đồ 1.2. Nhận định của học sinh yếu kém về chủ đề phương trình lượng giác ..... 26

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện
đại hóa đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc
cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục đào tạo. Cùng với việc thay đổi về nội
dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học.
Trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam có qui định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động
sáng tạo của học sinh (HS), phù hợp với đặc điểm của từng lớp, môn học, bồi dưỡng

một số biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng kỹ năng giải toán cho HSYK lớp 11 trong
dạy học PTLG góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng bài giảng sử dụng các biện pháp sư phạm, kết hợp với tổ chức
ôn tập hệ thống lý thuyết một cách khoa học, xây dựng các dạng bài tập phần lượng
giác lớp 11 phù hợp thì sẽ phát triển được kĩ năng giải toán cho các HSYK, góp phần
nâng cao chất lượng học tập.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Hệ thống lý thuyết và xây dựng các dạng bài tập PTLG nhằm phát triển kĩ
năng giải toán cho HSYK.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục tình trạng yếu kém môn
Toán trong dạy học PTLG lớp 11.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp sư phạm đề xuất.
5. Đối tượng nghiên cứu và giới hạn phạm vi nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HSYK thông qua
dạy học chủ đề PTLG lớp 11.
5.2. Phạm vi nghiên cứu: HSYK lớp 11 trên địa bàn tỉnh Bắc Giang
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Nghiên cứu lí luận về vai trò của bài tập toán trong dạy học.
- Nghiên cứu lí luận về nguyên nhân và các dấu hiệu nhận biết HSYK môn toán.

2


6.2. Phương pháp điều tra và khảo sát thực tiễn.
- Tìm hiểu thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng HSYK ở trường phổ thông nhằm

niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự
vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”
- Các nhà giáo dục cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin kiến
thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.
- Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có được ở bạn để đạt
được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ thói quen nhất
định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp [3]
 Theo Nguyễn Bá Kim [7], kỹ năng có các cấp độ sau:
- Kỹ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin (kỹ năng biết).
- Kỹ năng giao tiếp sử dụng các thông tin đã có (kỹ năng thông hiểu).
- Kỹ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý (kỹ
năng vận dụng).
- Kỹ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa chúng (kỹ năng phân tích).
- Kỹ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mẫu
mới (kỹ năng tổng hợp).
- Kỹ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào đó
(kỹ năng đánh giá).
Trong luận văn này, chúng tôi quan niệm kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức
đã học để được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kỹ năng là
khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở
hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi.

4


1.1.1.2. Đặc điểm của kỹ năng
Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chứa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức. Bởi vì,
cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả - hiểu những


- KN giải bài tập toán học (KN giải toán) là khả năng sử dụng những tri thức
toán học đã học để giải những bài tập toán học [16].
- Theo [13] có nói: G.Polia khẳng định rằng: “Trong toán học, kĩ năng là khả
năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các
lời giải và chứng minh nhận được”.
Chúng tôi thống nhất với các quan niệm trên đó là: Kỹ năng giải toán là khả
năng vận dụng các tri thức khoa học để giải các bài toán cụ thể.
Trong các nghiên cứu về kỹ năng giải toán, các tác giả đều thống nhất quan điểm
chung: Trong toán học việc hình thành và phát triển kỹ năng giải toán là vấn đề cơ bản
và quan trọng. Trong cuốn “Sáng tạo toán học” của G.Polya có viết: “Kĩ năng trong
toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”.[13].
KN giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các KN: KN giải bài tập vận
dụng lý thuyết; KN tính toán; KN thực hành và các phép biến đổi. Các KN này nằm
trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống. Các KN đều có mối liên hệ chặt
chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; KN này là cơ sở hình thành KN kia và ngược lại; việc hình
thành KN sau lại củng cố rèn luyện KN trước đó.
Ví dụ 1.1: Giải phương trình sin x 

1
1
2

Nhiều học sinh giải như sau:



x   k 2



hoạt động giải các bài toán cơ bản, đã có sẵn các dạng, có sẵn phương pháp giải. HS
chỉ cần áp dụng chính xác các định nghĩa, định lý, tính chất... vào giải quyết các dạng
bài toán cơ bản đó.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình 2cos x  3  0
Đây là bài toán dạng cơ bản, đã có sẵn dạng và công thức nghiệm, HS chỉ cần
có KN nhận dạng bài toán và KN đọc nghiệm của PTLG cơ bản là có thể làm được.
Cụ thể HS có thể biến đổi như sau:



x

 k 2

3

6
2cos x  3  0  cos x 
 cos x  cos  
k 
2
6
 x    k 2

6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 


6



7

*


Ta có: 1 

cos x sin x
2

 4sin 2 x 
sin x cos x
sin 2 x



cos2 x  sin 2 x
2
 4sin 2 x 
sin x cos x
sin 2 x



2cos 2 x
2
 4sin 2 x 
sin 2 x
sin 2 x

 cos 2 x  cos
2
2
3

2



2
x


k
2

x

 k


3
3


k 

2



+ Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập toán học cơ bản nào đó tương
tự như mẫu nhưng chưa nhanh.
+ Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài mẫu.
+ Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được những cách giải
ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu dó biết vận dụng vốn kiến thức, KN đã học
không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả những bài tập toán học mới.
Trong luận văn này, với đối tượng nghiên cứu là HSYK, chúng tôi xác định
KN giải toán theo ba mức độ: Chưa có kỹ năng, kỹ năng yếu và kỹ năng cơ bản.
1.1.3. Một số kỹ năng cơ bản trong giải toán chủ đề phương trình lượng giác
1.1.3.1. Kỹ năng giải toán chủ đề phương trình lương giác dựa vào mối quan hệ giữa
các cung
Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm
hết sức cần thiết, từ đó kết hợp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen
thuộc là một vấn đề then chốt. HS sẽ cần sử dụng đến kỹ năng này khi gặp những bài
toán có nhiều cung khác nhau trong một phương trình. Muốn giải được các phương
trình dạng đó, bắt buộc HS cần tìm cách đưa các phương trình về cùng một cung.
Kỹ năng giải toán chủ đề PTLG dựa vào mối quan hệ giữa các cung có thể
được nhận biết bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.
- Có khả năng quan sát, nhận biết những góc có thể “đưa về” cùng 1 góc bằng
cách sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau
Cấp độ
Chưa có kỹ năng

Biểu hiện
Không nhìn ra các góc, các cung có liên quan đặc biệt; hoặc có
thể đưa về cùng một góc thông qua các phép biến đổi

Kỹ năng yếu

2 

1

 Nhận xét: Với bài toán này, HS gặp phải khó khăn đó là sự xuất hiện của hai
cung x 

3
7
3
7
và
và
 x . Từ sự xuất hiện hai cung x 
 x HS cần nghĩ đến
2
4
2
4

việc đưa hai cung về một cung x bằng cách sử dụng công thức cộng hoặc công thức
về cung góc có liên quan đặc biệt. Ta có cách biến đổi sau:
Cách 1: Sử dụng công thức cộng.

3

Ta có: sin  x 
2



2
2

+ Cách 2: Sử dụng công thức cung góc có liên quan đặc biệt.

3

Ta có: sin  x 
2


3



 2   cos x
  sin x  x 
2




3

Hoặc: sin  x 
2






Từ đó HS có thể tiếp tục giải phương trình trên.
Ví dụ 1.2: Giải phương trình: 3cos 4 x  cos6 x  2cos2 x  3  0
Phân tích và trình bày lời giải:

 Nhận xét 1: Trong phương trình này xuất hiện cung 4x và cung x . Ta có thể
nghĩ đến việc đưa 4x về cung x bằng công thức nhân đôi, cụ thể như sau:

cos 4 x  2cos2 2 x  1  2  2cos2 x  1  8cos 4 x  8cos 2 x  1
2

Từ đó ta có cách giải sau:

10


Cách 1:

3cos 4 x  cos6 x  2cos 2 x  3  0
 3  8cos 4 x  8cos 2 x  1  8cos6 x  2cos 2 x  3  0
 4cos6 x  12cos 4 x  11cos 2 x  3  0
Đặt t  cos 2 x,0  t  1

t  1
Khi đó ta có: 4t  12t  11t  3  0   1
t 
 2
3

2

cos x  

2



3

6

cos 4 x  2cos2 2 x  1
Từ đó ta có cách giải khác như sau:
Cách 2:
3cos 4 x  cos6 x  2cos2 x  3  0
 1  cos 2 x 
 1  cos 2 x 
 3  2cos 2 x  1  8 
  2
3 0
2
2




3

2

 cos3 2x  3cos2 x  2cos2 x  0



Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x 

11


4





k
; x  k  k 
2




1.1.3.2. Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại
Kỹ năng này thường được dùng để ghép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai
cung bằng nhau bằng cách dùng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng.
Tuy nhiên chỉ nên áp dụng công thức tổng và tích khi các hệ số đằng trước sin và cos
bằng nhau (hoặc bằng 1) mà không cần quan tâm tới cung của chúng.
Kỹ năng sử dụng biến đổi tổng thành tích và ngược lại có thể được nhận biết
bởi các biểu hiện sau:
- Nhớ được các công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại.
- Có khả năng quan sát, nhận biết các yếu tố có thể kết hợp với nhau để sử
dụng được công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại.

sin3x  sin x  2cos2x sin x
Đến đây ta thấy xuất hiện nhân tử chung là cos2x, ta biến đổi đưa về phương
trình tích.

12


Giải:
sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x
  sin 3 x  sin x    cos3 x  cos x   2 cos 2 x  0

 2cos 2 x sin x  2cos 2 x cos x  2 cos 2 x  0





 cos 2 x 2sin x  2cos x  2  0

cos 2 x  0

 2sin x  2cos x  2  0
Đến đây ta đã thấy phương trình ban đầu đã được đưa về các phương trình dạng
cơ bản, HS hoàn toàn có thể giải được.
Ví dụ 1.4. Giải phương trình: sin x  sin 2x  sin3x  sin 4x  sin5x  sin6x  0
Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos )
ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau.
Ta có thể ghép cặp  sin x  sin 6 x  ;  sin 2 x  sin 5 x  ;  sin 3x  sin 4 x  cụ thể ta có:

7x

5x
7x
3x
7x
x
cos  2sin cos  2sin cos  0
2
2
2
2
2
2

 2sin

7x 
5x
3x
x
 cos  cos  cos   0
2 
2
2
2

7x

 2sin 2  0

cos 5 x  cos 3x  cos x  0 *

2

phương trình tích. Cụ thể ta biến đổi như sau:

cos

5x
3x
x
 cos  cos  0
2
2
2

5 x 3x
5 x 3x


2 cos 2
2  cos x  0
 2cos 2
2
2
2

x
x
 2cos 2 x cos  cos  0
2
2

Biểu hiện

Chưa có kỹ năng

Không nhớ công thức, không nhận ra các yếu tố có thể sử dụng
công thức để hạ bậc.

Kỹ năng yếu

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố có thể hạ bậc tuy nhiên còn
thường xuyên nhầm lẫn trong biến đổi, tính toán.

Kỹ năng cơ bản

Nhớ công thức, nhận ra các yếu tố hạ bậc và biến đổi, tính toán
đúng.

Ví dụ 1.5. Giải phương trình: cos 2 x  cos

4x
3

Giải:

cos 2 x  cos
Đặt t 

4x
1  cos 2 x
4x

t     2k 
cos 2 t  3
cos 2t  1
3
4
2



Với t  2k 
Với t 

2x
 2k  x  3k  k 
3






2 x 
 3k
 k 2 

 k 2  x 

k 
3
3

2

1 cos2x  1  cos4x 1  cos6x

 cos6x  cos4x  cos2x 1  0
 2cos5x cos x  2cos2 x  0
 2cos x  cos5 x  cos x   0

 4cos x cos3x cos2x  0


 x  2  k
cos x  0

 k

 cos 2 x  0   x  
k 

4 2
cos3x  0

 x    k

2 2



Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm:


cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
cos x  sin x
1  tan x 
cos x
sin x  cos x
1  cot x 
sin x

2

Có nhân tử chung là: cos x  sin x

Hoặc các biểu thức sin 2 x và tan 2 x có nhân tử chung là 1  cos x 1  cos x 

cos2 x và cot 2 x có nhân tử chung là 1  sin x 1  sin x 

16


- Có khả năng quan sát, nhận biết, phân tích để nhóm được nhân tử chung, đưa
PTLG đã cho về phương trình tích.
Dựa vào biểu hiện có thể chia kỹ năng này theo các cấp độ sau
Cấp độ

Biểu hiện

Chưa có kỹ năng

Không nhớ các dạng nhân tử chung thường gặp; không tìm ra
cách biến đổi.


3 sin x  cos x  1  0

cos x  0
cos x  0

 
cos  x     cos 
3
sin
x

cos
x

1

 
3
3



x   k 2


2


x