TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƢƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÍ

ĐỖ THỊ THƢƠNG

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ PHƢƠNG LAN

Hà Nội – 2018




MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN. ........................................................ 3
1.1. Một số khái niệm............................................................................................ 3
1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân. .................................................................... 3
1.1.2. Phƣơng trình vi phân thƣờng. ..................................................................... 3
1.1.3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân. ............................................................. 3
1.2. Phƣơng trình vi phân cấp một. ....................................................................... 3
1.2.1. Định nghĩa. .................................................................................................. 3
1.2.2. Một số dạng phƣơng trình. .......................................................................... 4
1.2.2.1. Phƣơng trình đẳng cấp cấp 1.................................................................... 4
1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần. .............................................................. 6
1.2.2.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một................................................. 7
1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli. ........................................................................... 9
1.3. Phƣơng trình vi phân cấp 2. ......................................................................... 10
CHƢƠNG 2: ÁP DỤNG CÁC PHƢƠNG PHÁP VI PHÂN ............................. 13
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ. ......................................................... 13
2.1. Phƣơng trình vi phân cấp 1. ......................................................................... 13
2.1.1. Phƣơng trình Bernoulli. ............................................................................ 13
2.1.2. Sự phân rã phóng xạ.................................................................................. 14
2.1.3. Định luật Newton về nhiệt độ môi trƣờng. ............................................... 15
2.1.4. Một số bài toán về cơ học. ........................................................................ 16
2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2. ........................................................ 18
2.3. Một số dạng phƣơng trình vi phân đặc biệt. ................................................ 21
2.3.1. Phƣơng trình dao động của sợi dây. ......................................................... 21
2.3.2. Phƣơng trình truyền nhiệt. ........................................................................ 27
2.3.3. Phƣơng trình Schrodinger. ........................................................................ 30

 Chƣơng 3: Một số ứng dụng trong khoa học và đời sống
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về các dạng phƣơng trình vi phân.
- Ứng dụng giải các bài toán vật lí bằng phƣơng trình vi phân.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các dạng phƣơng trình vi phân.
- Một số bài toán vật lí áp dụng phƣơng trình vi phân.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về các dạng phƣơng trình vi phân.
- Nghiên cứu về các bài toán vật lý sử dụng phƣơng trình vi phân để giải.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo trên sách, trên mạng,…
- Thống kê, lập luận, diễn giải.

1


6. Những đóng góp mới của khóa luận
Trình bày khái quát hệ thống ứng dụng của phƣơng trình vi phân vào giải
một số bài toán vật lý.

2


CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số khái niệm.
1.1.1. Cấp của phƣơng trình vi phân.
Cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phƣơng trình vi phân đƣợc gọi là
cấp hay bậc của phƣơng trình vi phân đó
Ví dụ: ( y' )2  4 xy3  5 y5  0, có mặt đạo hàm cấp 1 nên đƣợc gọi là phƣơng trình


3 yy '  3x 2  0 ; y 2 dx  xdy  0 ; y '  

Hoặc từ (1.1) ta giải ra đƣợc:
3

y
x

(1.1)


y '  f ( x, y)

Ta đƣợc phƣơng trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Ta cũng có thể viết phƣơng trình vi phân đã giải ra đạo hàm dƣới dạng đối
xứng
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0

Cách giải:
Ta dùng phƣơng pháp tách biến
- Đƣa phƣơng trình vi phân cấp một về dạng:
A(x)dx + B(y)dy = 0
(1.2)
Trong đó A(x), B(y) là các hàm lần lƣợt chỉ phụ thuộc vào x và y.
- Tích phân 2 vế phƣơng trình (1.2) ta đƣợc tích phân tổng quát của (1.2):

 A( x)dx   B( y)dy  C
Ví dụ:
Giải phƣơng trình: (1  x) ydx  (1  y) xdy  0

Chọn t 

y
1
( x  0 )thì ta có y '  f (x, y)  f(1, )
x
x

(1.3)

Vế phải của phƣơng trình (1.3) là một biểu thức luôn phụ thuộc vào
y
x

y
do
x

y
x

vậy y '  f (1, )   ) (1.4)
Đặt u 

y
x

y  u.x

y '  u  x.u ' thế vào phƣơng trình (1.4) ta có x.u '   (u)  u

: phƣơng trình tách biến
 (u)  u x

Khi đó:

Ví dụ: Giải phƣơng trình vi phân y ' 

x y
x y

Rõ ràng đây là phƣơng trình đẳng cấp. Ta viết lại phƣơng trình nhƣ sau:
y
x y
x
y' 

x  y 1 y
x
1

y
x

Đặt u  . Ta có: y '  u ' x  u và thay vào phƣơng trình ta có:
u' x  u 

1 u
1 u

1 u

2

2

y
arctg ( )
x


1.2.2.2. Phƣơng trình vi phân toàn phần.
Phƣơng trình:
M (x, y) dx  N(x, y) dy  0

(1.5)

Đƣợc gọi là phƣơng trình vi phân toàn phần khi nó thỏa mãn điều kiện là
vế trái của phƣơng trình (1.5) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào
đó. Tức là tồn tại hàm U (x, y) khả vi nào đó sao cho:
dU (x, y)  M(x, y) dx  N(x, y) dy

Điều kiện để một phƣơng trình vi phân dạng (1.5) trở thành một phƣơng
trình vi phân toàn phần (hay cách nhận biết một phƣơng trình vi phân toàn
phần) là:
M N

y
x

Cách giải:
Nếu (1.5) là phƣơng trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của


Giải:
Trƣớc tiên ta phải kiểm tra điều kiện để phƣơng trình đã cho có là phƣơng
trình vi phân toàn phần hay không
M(x, y)  (3x2  6 xy 2 ) , N(x, y)  (6 x2 y  4 y3 )
Ta có:
M N

 12 xy
y
x

Vậy (1.8) là phƣơng trình vi phân toàn phần.
Chọn (x 0 , y0 )  (0,0)
6


Theo công thức (1.7) ta đƣợc:
x

y

0

0

2
2
3
 (3x  6 xy )dx   4 y dy  C


p (x)dx

y  q( x)e

p ( x ) dx

(1.10)

Ta chú ý vế trái của phƣơng trình (1.10) sẽ thấy biểu thức ở vế trá chính là
đạo hàm của tích số y.e

p ( x ) dx

.

Vậy ta viết lại phƣơng trình (1.10) nhƣ sau:
( y.e

)  q( x).e

p ( x ) dx '

p ( x ) dx

Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc:
y.e

p ( x ) dx



2

2

2

Hay
2
2
d
( y.e x )  4 x.e x
dx

Lấy tích phân 2 vế ta đƣợc:
y.e x  4 x.e x dx  C  2e x  C
2

2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình là:
y  2  C.e x

2

 Cách 2: Phƣơng pháp Bernoulli (phƣơng pháp tìm nghiệm dƣới dạng
tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng tích của 2

Nhƣ vậy ta tìm đƣợc hàm u(x) nên từ (1.11) ta sẽ có:
v' 

p ( x ) dx
q ( x)
 q( x).e 
u ( x)

v   q( x).e 

Vậy, nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.9) là:
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx  C 
ye 
1
  q( x)e


8

p ( x ) dx

dx  C1


 Cách 3: Phƣơng pháp Larrange (phƣơng pháp biến thiên hằng số)
Từ cách 2 ta thấy nghiệm của phƣơng trình có dạng y  u( x).v( x) , với u(x) là
nghiệm của phƣơng trình (1.12) – đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần
nhất cấp 1.
Do vậy, giải phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm đƣợc

Thế vào phƣơng trình ta có:
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
 p ( x ) dx
v' ( x).e 
 v. p( x).e 
 p( x).v.e 
 q ( x)

Suy ra: v'  q( x)e

p ( x ) dx

. Từ đó tìm đƣợc v(x).

1.2.2.4. Phƣơng trình Bernoulli.
Phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình có dạng:
y '  p( x). y  q( x). y ,(  0,   1)

(1.13)

Cách giải:
Nhân 2 vế của phƣơng trình (1.13) cho (1   ).y . Ta có:
(1   ).y . y '  (1   ). p( x). y1  (1   ).q( x)

9

(1.14)



Do đó, ta nhân hai vế của phƣơng trình với (1  (1)). y1  2 y .
Ta có:
Đặt z  y 2

1
2 yy '  . y 2  x 2
x

(*)

1
z '  2 yy ' . Thế vào (*) ta có: z '  .z  x 2
x

(**) (phƣơng trình

tuyến tính với z là hàm theo biến x).
- Giải phƣơng trình thuần nhất liên kết với (**) ta đƣợc: z  C.x
- Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) có dạng: z  v( x).x
Thế vào (**) ta tìm đƣợc: v( x) 

x2
C
2

Vậy nghiệm tổng quát của phƣơng trình (**) là: z 
Từ đó, nghiệm tổng quát của (1.15) là:

y2 


f
f
và ' cũng liên tục trong
y
y

miền nói trên thì nghiệm y  y( x) là nghiệm duy nhất.
Điều kiện để y( x0 )  y0 ; y ' ( x0 )  y0' đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu của một
phƣơng trình vi phân cấp 2:

y

x  x0

 y0 ; y '

x  x0

 y0'

Gọi nghiệm tổng quát của phƣơng trình (1.16) là hàm số y   ( x,C1 ,C2 ) ,
trong đó
-

,

là những hằng số tùy ý thỏa mãn các điều kiện sau:

Nó thỏa mãn phƣơng trình (1.16) với mọi giá trị của ,
Với mọi ( x0 , y0 , y0' ) ở đó các điều kiện của định lí tồn tại và duy nhất


Giải:
Phƣơng trình trên là phƣơng trình vi phân cấp 2 có vế phải không chứa y và
Từ phƣơng trình
(1.17)
Ta có:

y ''  sinx

y '   sin xdx  C1   cos x  C1
y    cos xdx  C1 x  C2   s inx  C1 x  C2

Suy ra, nghiệm tổng quát của (1.17) là: y   sinx  C1x  C2
11


Tìm nghiệm riêng:
Vì y

x 0

 0   sin 0  C1 0  C2  0  C2  0

Vì y '

x 0

 1   cos 0  C1  1  C1  2

Vậy nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện ban đầu là: y   sinx  2 x

C

Phƣơng trình này chính là phƣơng trình Bernoulli với   0
Giải phƣơng trình trên ta đƣợc:
v(t )  A.e



Xác định A nhờ điều kiện đầu.
13

t
RC

 RI 0


Ở t = 0+:

v(0)  v(0)  V0  V0  A  RI 0

Hay: A  V0  RI0
 v(t )  (V0  RI 0 ).e



t
RC

 RI 0  V0 .e

ứng ép:
v f  RI 0

Trong trƣờng hợp nguồn kích thích DC, vn và v f

Dòng iC và iR xác định bởi:
V0  RI 0  RCt
dv
iC (t )  C

.e
dt
R
V  RI 0  RCt V
iR (t )  I 0  iC  I 0  0
.e

R
R

2.1.2. Sự phân rã phóng xạ.
Gọi y(t) là số lƣợng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật
liệu cho trƣớc. Với k là một hằng số phƣơng trình:
dy (t )
 k . y (t )
dt

Là phƣơng trình vi phân mô tả lƣợng nguyên tử phóng xạ.
14


trong một môi trƣờng nhất định. Định luật phát biểu rằng tốc độ thay đổi (theo
thời gian) của nhiệt độ tỷ lệ thuận với sai biệt giữa nhiệt độ T của đối tƣợng và
nhiệt độ Te của môi trƣờng xung quanh đối tƣợng
dT
 k (T  Te )
dt
t  0; T (0)  Te

Ví dụ: Một bình nƣớc đang sôi ở nhiệt độ ban đầu là 100 C , ngƣời ta muốn
giảm xuống 70 C biết nhiệt độ môi trƣờng là 26 C , nhiệt độ sẽ giảm xuống
96 C sau 1 phút.
- Viết phƣơng trình vi phân mô phỏng và tìm nghiệm của phƣơng trình này.
- Tính thời gian để bình nƣớc ở 63 C
Lời giải:
dT
 k (T  Te )
dt
t  0; T (0)  100; Te  26
t  1; T (1)  96

15


dT
 k (T  26)
dt

Phƣơng trình vi phân:
dT
 kdt  ln T  26  kt  C


dv
k
 2
dt
r

Gia tốc là âm vì vận tốc giảm. Vì thế hằng số klà dƣơng. Khi r  R thì
a   g , gia tốc của trọng lực ở bề ngoài trái đất. Nhƣ vậy:
g  

k
R2

Từ đó:
a

16

gR 2
r2

(2.1)


Chúng ta sẽ biểu diễn gia tốc qua vận tốc và khoảng cách.
Ta có a 

dv
dr

C
r

Giả sử hạt rời bề mặt trái đất với vận tốc v0 . Khi đó v  v0 khi r  R , do đó ta
có:
C  v02  2 gR

Nhƣ vậy, một hạt chuyển động theo hƣớng xuyên tâm đi ra xa trái
đất với vận tốc ban đầu v0 sẽ chuyển động với vận tốc v đƣợc xác định bởi
phƣơng trình:
2 gR 2
v 
 v0  2 gR
r
2

(2.4)

Phƣơng trình (2.4) cho phép ta xác định một hạt sẽ thoát khỏi trái
đất. Ở bề mặt trái đất, r  R , với vận tốc là dƣơng, v  v0 . Từ (2.4) ta thấy vận tốc
của hạt sẽ dƣơng nếu và chỉ nếu
v02  2 gR  0

Mặt khác, nếu v02  2 gR  0 thì sẽ có một giá trị tới hạn của r làm cho vế
phải của (2.4) bằng 0. Nghĩa là, hạt sẽ dừng lại, vận tốc sẽ thay đổi từ dƣơng
sang âm và hạt sẽ trở lại trái đất.
Một hạt chuyển động từ trái đất với vận tốc ban đầu v0 mà v02  2 gR sẽ
thoát khỏi trái đất. Do đó mức tối thiểu của vận tốc chiếu là
ve  2 gR


Do đó:
h(t ) 

1 2
gt  v0t  h0
2

Phƣơng trình trên biểu diễn độ cao của một vật rơi từ độ cao ban đầu
vận tốc ban đầu .

với

2.2. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.
Xét chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính oxyz, dƣới tác
dụng của các lực F1, F2 ,..., Fn. Đối với chất điểm tự do các lực này là lực đặt lên
chất điểm. Đối với chất điểm không tự do các lực này bao gồm cả ngoại lực và
phản lực liên kết. Căn cứ vào phƣơng trình cơ bản của động lực học ta có thể
thành lập phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Gọi véc-tơ định vị của chất điểm là r ta có:
d 2r
w 2 r
dr

Khi đó phƣơng trình cơ bản viết cho chất điểm nhƣ sau:
m

n
d 2r

 Fi

Bài toán này thuộc bài toán cơ bản thứ nhất. Căn cứ vào phƣơng trình chuyển
động:
x  a cos kt
y=bsinkt

Xác định đƣợc:
x  ak 2 cos kt  k 2 x;
y=bk 2 sin kt  k 2 y;

Ta có phƣơng trình vi phân chuyển động nhƣ sau:
xm  Fx  mk 2 x
ym  Fy  mk 2 y

Lực tác dụng lên chất điểm sẽ là F với:
F  Fx2  Fy2  mk 2 x 2  y 2  mk 2 r

Các góc chỉ phƣơng của F là:

19