MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Toán học có liên hệ chặt chẽ, mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng
rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và
đời sống. Toán học có vai trò thiết yếu đối với mọi ngành khoa học. Bởi vậy,
việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn
là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của
giáo dục hiện nay.
Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta
cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức
vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại
những kết quả thiết thực. Vì thế, việc dạy học Toán ở trường phổ thông phải
luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và
giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các
lĩnh vực kinh tế, sản xuất.
Với vị trí đặc biệt quan trọng của môn Toán là môn học công cụ; cung cấp
kiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổ
thông của con người lao động mới, việc thực hiện nguyên lí giáo dục ''Học đi
đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với

1


xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qua
lại giữa lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học.
Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây các câu hỏi về vận dụng
kiến thức vào các bài toán thực tiễn được khai thác rất nhiều, đó là một trong
những đổi mới của chương trình môn Toán về tính thực tiễn và liên môn. Tuy
nhiên đây là các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao, ngoài ra


PHẦN 2. NỘI DUNG
1.Cơ sở lí luận
1.1. Phương pháp dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn, được
dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng
phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. PPDH tích cực hướng
tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, tức là
tập kết vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập kết vào
phát huy tính tính tích cực của người dạy.
1.2. Dạy học tích hợp liên môn
Là định hướng dạy học trong đó giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinh
biết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng,… thuộc nhiều lĩnh vực (môn
học/hoạt động giáo dục) khác nhau nhằm giải quyết các nhiệm vụ học tập; thông
qua đó hình thành những kiến thức, kĩ năng mới; phát triển được những năng lực
cần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và thực tiễn cuộc
sống.

3


Hình minh họa (nguồn từ internet)
2. Thực trạng.
Trong chương trình giải tích lớp 12, khi học về vấn đề: diện tích, thể tích
học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác
“sợ” bài toán tính diện, thể tích trong thực tế. Khi học vấn đề này nhìn chung
các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích ,
thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải
được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới
tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có


a

3.1.2. Thể tích vật thể
4


• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
các điểm các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với
trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b).
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

V = ∫ S(x)dx

Thể tích của B là:

a

• Thể tích của khối tròn xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:
b

V = π ∫ f 2(x)dx
a

3.1.3. Phương trình các đường thường gặp
Phương trình đường tròn

2 

• Toạ độ tiêu điểm:

Hình dạng của parabol
• (P) nằm về phía bên phải của trục tung.
• (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
O(0;0)
• Toạ độ đỉnh:
• Tâm sai:
e = 1.
Chú ý:
+) Đồ thị hàm số bậc hai có dạng : y = ax 2 + bx + c là đường parabol.
+) Các phương trình có dạng: y 2 = −2 px ; x 2 = 2 py ; x 2 = −2 py cũng là phương
trình của parabol.
Phương trình chính tắc của hypebol
x2
2

a

−

y2
2

b

=1


Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để học sinh nghiên cứu, chuyên
sâu tạo kỹ năng làm toán.
- Giáo viên dạy phương pháp này cho học sinh ở khối 12.
- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi THPT
Quốc gia.
3.4 Các dạng toán cụ thể
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính
6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận
O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000
đồng / m 2 . Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải
đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với
y
tâm của hình tròn, Ox song song với dây cung của
mảnh đất.
+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, sau đó
suy ra số tiền.
6m
O

x
6


Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu

diện
tích
cần
tính
là

y

x

4

S = 2 ∫ 25 − x 2 dx ≈ 74, 45228... (bấm máy)
−5

Vậy thu hoạch được 7445228 đồng.

7


Ví dụ 3: Ông A có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20m và độ
dài trục bé bằng 16m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 10m và nhận
trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình). Biết kinh phí để trồng hoa là
100.000 đồng/1m2. Hỏi Ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất
đó?
y
x

10m


S = 2∫

Vậy cần 15.305.783 đồng.
Ví dụ 4: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người
thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm
của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như
hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao
nhiêu ?
Hướng dẫn
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình
vuông. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương
trình parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

8


Cách giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với A ( 20; 20 ) , xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
2
Hai Parabol có phương trình lần lượt là: y = a x ( P1 ) và
x = ay 2 ( P2 )

Do Parabol ( P1 ) qua điểm
20
1
x2
=

60  0
3
3
0 
20

Vậy diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

400
(cm 2 ).
3

Ví dụ 5: Thành phố P xây cây cầu dài 500m bắc ngang qua sông, biết rằng người ta
định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên
đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu
không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp
cầu là bao nhiêu (bỏ qua thể tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).

Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc
Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân
đế)

9


Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O)
20
1
= ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới


S = 2( ∫ (−
0

25

2 2 4
1
x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9,9m2
625
25
5
0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m3
Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m3 bê tông.
Ví dụ 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ
nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là
60m người ta làm một con đường nằm
trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền
ngoài và viền trong của con đường là hai
đường Elip, Elip của đường viền ngoài có
trục lớn và trục bé lần lượt song song với
các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m . Kinh phí của mỗi
m 2 làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó.
Hướng dẫn
Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là giao điểm 2
đường chéo hình chữ nhật và Ox, Oy song
song với cạnh chiều dài và chiều rộng.

Hướng dẫn
y
4m
4m

4m
x
O

Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là tâm của đường tròn như hình vẽ trên.
Khi đó nửa đường tròn có phương trình: x2 + y2 = 20,
parabol có phương trình: y = x2
2

2
2
2
Diện tích cần tính bằng: S = 2∫ ( 20 − x − x )dx ≈ 11,9m
0

Số tiền cần là: 1193961 đồng.
11


12 m
Ví dụ 8: Một công ty quảng cáo X
I
A
muốn làm một bức tranh trang trí hình
F

C

B

6m

D

O

M

N

4m

x
C

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ trên.
1
6

Khi đó parabol có phương trình: y = − x2 + 6
2

1
6

2


2
2
Thể tích khối ( H ) là ∫ S ( x ) dx = ∫ ( a − x ) dx =

2a 3
.
3

12


Ví dụ 10: Người ta dựng một cái lều vải
(H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”
như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình
lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO = 6m
(SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các
cạnh bên của (H) là các sợi dây
c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường
parabol có trục đối xứng song song với SO.
Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt
phẳng (P) vuông góc với SO là một lục
giác đều và khi (P) qua trung điểm của SO
thì lục giác đều có cạnh bằng 1m Tính thể
tích phần không gian nằm bên trong cái lều
(H) đó.

S

c6

1
4

Khi đó diện tích của thiết diện lục giác:
2

BM 2 3 3 3  7
1
S (t ) = 6.
=
, với t ∈ [ 0;6]
 − 2t + ÷
4
2 2
4÷


13


2

3 37
1
135 3
dt =
.
Vậy thể tích của túp lều theo đề bài là: V = ∫ S (t ) dt = ∫
 − 2t + ÷
÷

y

O

x



2
Gọi ( P1 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm A  ; 0 ÷, B ( 0; 2 )
 2 
19

2

8

 19 
8 2
0 = a.  ÷ + 2
a = −
⇔
x +2
361 ⇒ ( P1 ) : y = −
Nên ta có hệ phương trình sau: 
 2
361
2 = b
b = 2


 
3
2 
V
=
5.2
−
x
+
dx
−
−
x
+
2
Ta có thể tích của bê tông là:
 ∫0 
÷

÷dx  = 40m
∫
0
2
 361
 
  40

14




(

(

)

(

1
tích hình nêm là : V = ∫ S x dx = ∫ . 225 − x2 dx = 2250 cm3
2 −15
−15

( )

)

1
1
MN .NP = . 225 − x2 suy ra thể
2
2

)

Ví dụ 13: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình
tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết
diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
Hướng dẫn

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong
y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3 quay quanh Ox.
3

V = π ∫ (25 − x 2 )dx = 132π (bấm máy).
−3

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy môn
Toán cho học sinh lớp 12 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiện
thành công mục tiêu đề ra, đó là vận dụng những kiến thức trong sách giáo khoa
để có thể giải quyết được những bài toán trong thực tế. Từ đó không chỉ giúp các
em có thể giải quyết được những bài tập mà còn có thể vận dụng vào thực tế
cuộc sống, các em hứng thú hơn trong việc lĩnh hội tri thức.
Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quan
với chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyền
thống. Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng vận dụng vào thực
tiễn cuộc sống, có hứng thú, say sưa học toán.
Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng
có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹ
được nhiều kinh nghiệm. Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tập
của một nhóm học sinh có nhận thức khá.
Tôi đã chọn lớp 12A3 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn
lớp 12A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa. Kết quả thực
nghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về giải
những bài toán tính diện tích và thể tích:
Lớp

n


10
Bảng tần số các bài kiểm tra
3
4
5
6
7

7
5
9

8
11
6
8

9
9
3
9

10
7
1
10
16


TN

22.5
0

27.5
0
15.0
0

22.50 17.50
7.50

2.50

Từ đồ thị và bảng số liệu phân tích điểm số qua các bài kiểm tra cho thấy:
Lớp TN:
- Điểm giỏi có tỷ lệ 40,00%.
- Tỷ lệ HS khá chiếm 40,00%.
- HS trung bình 20,00%, không có yếu kém.
Lớp ĐC:
- Tỷ lệ HS đạt điểm giỏi là 10,00%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá 37,50%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 37,50%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,00%.
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn
lớp ĐC. Cụ thể, điểm trung bình của lớp TN thấp hơn lớp ĐC, điểm khá và điểm
giỏi tăng. Lớp đối chứng không có điểm yếu.
Thông qua việc áp dụng đề tài sáng kiến, Tôi thấy học sinh đã biết áp
dụng kiến thức đã học để giải quyết những bài toán thực tế hay là những tình
huống trong thực tiễn cuộc sống biết áp dụng kiến thức toán học vào thực tế
nhanh hơn, tốt hơn và bản thân được rèn luyện bản lĩnh hơn, tự tin trước câu hỏi

nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ.
Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ
sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để
làm cơ sở nghiên cứu, phát triển chuyên đề.
Dù đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và điều kiện nghiên
cứu nên sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự đóng
góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn nữa ở các đề
tài nghiên cứu tiếp theo.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục)
2. Đào Văn Trung(2001), Làm thế nào để học tốt môn Toán phổ thông,
NXBĐHQG Hà Nội
3. Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học
sư phạm Hà Nội.
19


4. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài
giảng luyện thi môn toán. NXB Giáo dục
5. Tài liệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục)
6. Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục)
7. Thư viện: violet.vn › Toán
8. />9. />10. />11.
12.khohoclieu.hanoiedu.vn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

giải bìa tập trong sách giáo
khoa Đại số 10 nâng cao.
Tạo hứng thú học tập môn
Toán cho học sinh thông qua
giải bìa tập trong sách giáo
khoa.
Hướng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm vào giải một số dạng
bài tập về lượng giác trong
tam giác.

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Năm học
đánh giá
xếp loại

Sở GD và ĐT
Tỉnh Thanh Hóa

C

2008- 2009

Sở GD và ĐT

2014- 2015

6

Giúp học sinh lớp 10 Sở GD và ĐT
giải phương trình vô tỉ bằng Tỉnh Thanh Hóa
phương pháp đặt ẩn phụ.

C

2015- 2016

2.

3.

4.

21