MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU......................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài...................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.............................................................................2
1.3.Đối tượng nghiên cứu.............................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………...3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...............................................3
2.1. Cơ sở lý luận..........................................................................................3
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.........................................................3
2.2.1. Thực trạng :....................................................................................3
2.2.2 Kết quả của thực trạng trên:..........................................................3
2.3. Giải quyết vấn đề...................................................................................4
2.3.1. Các giải pháp tổ chức thực hiện.....................................................4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm...................................................16
3. KẾT LUẬN................................................................................................18
3.1 Kết
luận………………………………………………………………...18
TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................................20
DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM................................................21

1


2


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Người Ai Cập và Hy Lạp nhờ môn Toán học đã xây dựng được nhiều
công trình nổi tiếng như Kim Tự Tháp, hệ chữ cái,thiên văn học,vật lý…Do
vậy Toán học là một môn khoa học cơ bản được nhiều người qua tâm và

thống bài tập đa dạng, phong phú đối với từng đối tượng học sinh.
Hình học là môn khoa học suy diễn. Nó giúp học sinh rèn luyện các phép
đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt
đối với việc hướng dẫn cho các em chứng minh một bài toán hình học đồng thời
mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu rất cần thiết. Sử dụng thành thạo các
phương pháp chứng minh vào từng bài toán cụ thể, cách vẽ hình chính xác, lập
luận để hiểu cặn kẽ nội dung của bài toán.
Điều đó lý giải tại sao đa số học sinh ở cấp THCS đều lúng túng trong
quá trình giải các bài tập hình học, hầu hết các em không biết phải tiến hành
1


từ đâu, tiến hành các thao tác tư duy nào, phải làm những gì, phải sử dụng
công cụ nào để giải đôi khi việc giải một bài toán hình học của các em chỉ là
“ Sự mày mò” không có cơ sở.
Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở lớp 8, tôi nghĩ rằng
việc giảng dạy của giáo viên không đơn thuần là việc “ Chỉ cho học sinh kết
quả của bài toán” mà là quá trình “ Hướng dẫn cho các em hình thành thói
quen suy luận, lập luận hợp lôgic ” để chứng minh một bài toán hình học.
Việc làm này sẽ phát triển trí thông minh của các em và góp phần thúc đẩy sự
phát triển trí tuệ của học sinh, gây hứng thú học tập bộ môn hình học.
Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh
đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn
đạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng
lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập
nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên tôi đã chọn đề tài: “Rèn
luyện kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở
trường THCS Nga Mỹ”
1.2. Mục đích nghiên cứu

e. Quá trình phát triển bài toán cũ thành bài toán mới.
Để giúp học sinh yêu thích môn Hình học 8 giáo viên cần có các
phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh. Học sinh nắm vững được kiến
thức đó là cả một nghệ thuật của người thầy nhất là khi bài toán cũ mà người
thầy làm cho nó mới các em luôn hứng thú để tìm cách giải.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 8A trường THCS Nga Mỹ
1.4 Phương pháp nghiên cứu
-Đề tài này được hoàn thành với các phương pháp phân tích, phán
đoán,phân nhóm,huy động kiến cũ, phát triển bài toán trên nền kiến thức đã
học.
- Nghiên cứu tài liệu,học hỏi từ đồng nghiệp và bản thân tự học tự
nghiên cứu
- Giúp học sinh yếu kém có hứng thú học môn hình học và học sinh
khá giỏi phát triển được tố chất của mình. Để “Rèn luyện kỹ năng chứng
minh các bài tập hình học lớp 8 ở trường THCS Nga Mỹ”
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận
Môn hình học là môn học mang tính tư duy cao nên giáo viên cần giúp
học sinh lĩnh hội được nhiều kiến thức từ đó các em có niềm say mê. Tuy
nhiên trong thực tế việc dạy học để nâng cao chất lượng môn Hình học
không thể dễ dàng. Giáo viên kết hợp hài hòa với học sinh để các em xác
định được việc học là cần thiết
Phần lớn học sinh trong nhà trường là con em nông thôn điều kiện kinh
tế khó khăn nên việc dành thời gian học tập chưa cao. Sự quan tâm kèm cặp
con cái của một số phụ huynh còn buông lỏng,một số em chưa có ý thức học
tập dẫn đến các em chưa yêu thích môn Hình học. Là giáo viên lâu năm trong
quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp và tìm các phương pháp
thích hợp để giúp các em yêu thích và học tốt môn Hình học .


học tập đây là một lớp có nhiều học sinh xếp loại trung bình, yếu kém về bộ
môn toán. Vào đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng môn hình
học ở lớp 8. Kết quả như sau:
Số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
LỚP
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
HS
8
37
1
2.7
6
16.2
18
48.6
12
32.5
2.3. Giải quyết vấn đề.
2.3.1. Các giải pháp tổ chức thực hiện

đoán, có thể đặt ra một số câu hỏi như “ Nhận biết này có liên hệ tới vấn đề
cần chứng minh không? Vấn đề phán đoán này có hợp lý không ? nếu có thì
liên quan như thế nào?” “Giả thiết này cho nhằm mục đích gì ? có liên quan
tới yêu cầu của bài toán không?”. Những câu hỏi này khi đặt ra sẽ kèm theo
một loạt các thao tác tư duy, có thể chỉ cho người giải biết phải hành động
như thế nào ?
Để tìm được cách giải bài toán giáo viên có thể giúp học sinh vận dụng
phương pháp phân tích đi lên để giải quyết bài toán. Đây là phương pháp yêu
cầu học sinh phải biết tự kiểm tra những dự đoán. “ Nếu có điều này thì sẽ
như thế nào ?” Khi sử dụng phương pháp này chúng ta sẽ thấy lợi ích của
việc phân tích bài toán tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán.
5


Bài toán 1: Cho Tam giác ABC và một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AC
qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở D và đường thẳng song
song với BC cắt AB ở F sao cho AE = FB. Chứng minh rằng tam giác AED
cân.
Giáo viên: Yêu cầu học sinh vẽ hình ghi giả thiết, kết
A
luận.
GT ∆ABC,E º AC, ED // AB,
EF //BC, EA = BF
F
E
KL ∆ AED cân.
B

D
C

6


một cách độc lập học sinh có thể tự đặt ra các
A

M
B

câu hỏi và trả lời câu hỏi ( phân tích, phán đoán
và kiểm tra phán đoán)

Q

D

N
P

C

Hỏi: nếu MNPQ là hình bình hành thì ta suy ra điều gì ? ( yêu cầu phân
tích).
HS Trả lời:

a- MN // PQ và QM //NP.
b- MN // PQ và MN = PQ.
c- MN = PQ và MQ = NP hoặc các góc đối bằng nhau.
d- NQ và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Hỏi: Theo đề bài giả thiết cho phù hợp với cách nào trong 4 cách trên?

đường thẳng này hay kẻ thêm đường thẳng kia với hy vọng xuất hiện một vấn
đề nào đó có liên quan chứ chưa thực sự xuất phát từ những mối liên hệ chặt
chẽ giữa các yếu tố của bài toán. Đối với một số học sinh còn chưa xuất hiện
một ý tưởng nào để chứng minh bài toán.
Đối với những bài toán chứng minh hình học khác nhau thì việc kẻ
thêm đường kẻ phụ cũng khác nhau, không có một phương pháp cụ thể nào.
Tuy nhiên, ở đây chúng ta muốn đề xuất một ý tưởng mang tính thủ thuật có
thể giúp học sinh thành công trong việc bổ sung câú tạo lại bài toán bằng
cách kẻ thêm đường kẻ phụ. Đó là ngay sau khi phân tích bài toán, nếu xét
thấy cần thiết kẻ thêm đường kẻ phụ giáo viên cần giúp học sinh tìm hướng
xuất phát, mà cụ thể là nên xuất phát từ những yếu tố mà ta “ tạm gọi” là
“yếu tố đặc biệt” của bài toán.
Lúc đâù có thể học sinh chưa biết là yếu tố đặc biệt, do đó giáo viên có
thể chỉ cho các em thấy rằng những yếu tố hoặc chi tiết có liên quan nhiều
đến yêu cầu của bài toán.
Khi nghiên cứu bài toán một cách kỹ lưỡng chúng ta sẽ thấy ở các chi
tiết của bài toán có gì đó giống như là thứ bậc, những chi tiết chính thường là
những chi tiết bậc cao hơn gần hơn với các giả thiết, kết luận của bài toán
hơn. Tuy nhiên khi nghiên cứu bài toán giáo viên cũng cần lưu ý học sinh
mối quan hệ giữa giả thiết kết luận của bài toán.
Bài toán 3: Cho Tứ giác lồi ABCD : Gọi M và N lần lượt là trung điểm
hai cạnh AD và BC. Chứng minh rằng : MN ≤

AB  CD
. Dấu đẳng thức xảy
2

ra khi nào ?
B
Giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi giả thiết kết luận.



Với bài toán này giáo viên nên lưu ý học sinh phải bổ sung lại bài toán
bằng cách kẻ thêm đường kẻ phụ .
Lưu ý các điểm đặc biệt của bài toán : Trong bài toán này có những yếu
tố nào đặc biệt ? ( Yêu cầu cần xác định yếu tố đặc biệt).
Dễ dàng nhận ra rằng 2 điểm M và N là các yếu tố đặc biệt, bởi chúng
có liên quan nhiều đến yêu cầu của bài toán .
Xuất phát từ yêu cầu bài toán MN ≤

AB  CD
2

Khi M là trung điểm

cạnh AD và BC . Thì ta thấy bất đẳng thức này có liên quan tới sự tồn tại của
một tam giác có độ dài 3 cạnh là MN ;

AB CD
;
. Ta đặt chúng vào mối liên
2
2

quan với các yếu tố khác của bài toán như MA = MD và NB = NC.
Nếu như học sinh vẫn chưa kẻ được đường phụ giáo viên tiếp tục hướng
dẫn cách tư duy, suy luận trong mối liên hệ giữa các yếu tố .
Nếu như MN ≤

AB  CD

đường kẻ phụ ,việc giải bài toán chỉ còn là việc sắp xếp lại các suy luận trên
bằng cách vận dụng các kiến đã học .
Chứng minh:
Gọi P là trung điểm của AC.
Theo tính chất đường trung bình của ∆ ta có : MP =
Do đó : MP + NP =

1
( AB + CD ) .
2

Mặt khác trong ∆ NMP ta luôn có
Vì vậy MN ≤

CD
AB
và NP =
2
2

MN < NP + MP.

1
( AB + CD ) .
2

9


Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M,N,P thẳng hàng. Nhưng do MP //

N

Đối với bài toán này, giáo viên cần làm rõ cho học sinh hiểu rằng muốn
dựng được đường kẻ phụ cần xuất phát từ những yếu tố đặc biệt, những chi
tiết đặc biệt của bài toán. Sau đó phải đặt được chúng vào mối liên hệ giữa
giả thiết và kết luận của bài toán. Giáo viên giúp học sinh dựa vào mối liên hệ
đó để suy luận và tìm ra cách dựng bài toán.
Hướng dẫn :
+ Tam giác AMC cân tại điểm nào? ( yêu cầu phán đoán)
+ Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân ta chứng minh như
thế nào? ( phương pháp chứng minh ).
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân thì học sinh dễ dàng nghĩ
ngay tới việc chứng minh hai cạnh bên bằng nhau hoặc hai góc kề một cạnh
bằng nhau.
+ Muốn chứng minh tam giác AMC cân ta chứng minh theo cách nào?
Hãy suy nghĩ chứng minh ( yêu cầu kiểm tra phán đoán ).
+ Vơí bài toán này ta nên dựng thêm đường kẻ phụ nào để có thể
chứng minh 2 cạnh MA = MC ?
10


+ Bài toán cho có yếu tố hoặc chi tiết nào đặc biệt liên quan nhất đến
yêu cầu của bài toán? (chỉ ra chi tiết đặc biệt).
Giả thiết đã cho EF =

1
( AD + BC ), AM = EF .
2

Như vậy mục đích của chúng ta chỉ còn là chứng minh cho CM=


1
1
AN
(AD + BC) mà AM = EF (gt)  AM = (AD+BC) =
2
2
2

 M là trung điểm của AN nên CM là trung tuyến của ACN
Từ (1) và (2) ta có CM là trung tuyến của tam giác vuông ACM:
nên

CM =

(2)

.

1
AN hay CM = AM
2

Vậy  ACM cân tại M.
Như vậy học sinh sẽ hình thành phương pháp suy luận một cách có lý
để kẻ thêm đường kẻ phụ cần thiết, bổ sung thêm các yếu tố có ích cho việc
giải bài toán và chí ít là các em không phải mày mò một cách vô định. Việc
suy luận như trên giúp các em hiểu sâu hơn bản chất của bài toán. Để từ đó
tìm hướng giải quyết khác.
c. Quá trình huy động tri thức cũ:

bài toán nào cũng có tính hợp lý, tính hợp lý này thể hiện sự ăn khớp giữa
phương pháp chứng minh với các yếu tố của bài toán. Do đó khi có sự ăn
khớp giữa các yếu tố của bài toán với phương pháp mà ta đã lựa chọn thì việc
chứng minh của chúng ta dễ thành công hơn.
Việc lựa chọn phương pháp thích hợp cho một bài toán giúp các em
gợi nhớ được kiến thức cũ, từ đề bài giáo viên dẫn dắt kiến thức hợp lý để
học sinh thấy được con đường mình chọn là đúng, một luồng kiến thức có
mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán với phương pháp cần lựa chọn. Tuy
nhiên đối với một bài toán chứng minh hình học muốn việc làm này trở nên
12


dễ dàng học sinh phải nắm thật vững kiến thức cơ bản và giáo viên giúp các
em hướng chứng minh .
Bài toán 5: Cho tam giác ABC ( AB< AC ). Kẻ đường phân giác AD.
Qua trung điểm E của cạnh BC, ta kẻ đường thẳng song song với AD, cắt
cạnh AC tại F và cắt đường thẳng AB tại G. Chứng minh CF = BG.
G

GT  ABC ( AB < AC),
AD là phân giác của góc BAC,
EB = EC, EG// AD.
KL C/m: CF = BG

A

F

B
D E


CF CE
=
CA CD

(1)

và

BG
BE
=
BA
BD

(2)

.

+ Từ hai đẳng thức này làm thế nào để xuất hiện tỉ số CF / BG ?
13


Học sinh: Chia (1) cho (2) có ngay

CF
AB
.
BG
AC

(1) và
CA CD

G
A

F

BG
BE
=
(2)
BA
BD

+ Chia (1) cho (2) ta có :
CF
AB
.
BG
AC

=

CE BD
.
.
BE CD

C

cạnh
AB,AC,BC. M,N,P,Q lần lượt
là trung điểm của các đoạn
thẳng AF, AF, FD, DE.
Chứng minh rằng tứ
giác MNPQ là hình chữ nhật.
 ABC , AB = AC , EA = EB ,
GT FA = FC, DB = DCMA = ME,
NA = NF, PD = PF, QD = QE.
K Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
L
Giải
Theo phương pháp giải như trên có
thể suy luận như sau:

A
N

M
E

F
P

Q
B

D

C

2
2

Suy ra: MN // PQ và MN = PQ suy ra MNPQ là hình bình hành

(1)

1
2

Mặt khác : ED //AC, ED = AC = AF (vì : ED là đường trung bình của
 ABC)
FD//AB , FD =

1
AB = AE ( Vì : FD là đường trung bình của  ABC)
2

AB = AC ( gt) suy ra ED = FD = AE = AF .
Suy ra AEDF là hình thoi . Suy ra AD ⊥ EF.
Mà MN //EF , NP //AD. Suy ra MN ⊥ NP
(2)
Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là hình chữ nhật ( đpcm)
d. Quá trình tổ chức giải bài toán
Sắp xếp lại các thao tác suy luận để trình bày lại các bài toán một cách
trọn vẹn, hoàn chỉnh.
15


Sau khi học sinh biết cách suy luận tìm ra hướng giải quyết bài toán

Q

C

j

D

P

1
BC và QP // BC (2 )
2

Từ (1) và (2 ) suy ra MQ // NP,MQ = NP.
Do đó MQPN là hình bình hành.
Ta thấy hình bình hành MQPN sẽ đặc biệt hơn nếu tứ giác ABCD thỏa
mãn thêm các điều kiện nào đó.
Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi khi và chỉ khi tứ
giác ABCD có hai cạnh đối bằng nhau.Ta có bài toán sau:
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có AD = BC ,AB< CD. Gọi M,N,P,Q lần
lượt là trung điểm của AB,AC,CD,BD. Chứng minh rằng: tứ giác MNPQ là
hình thoi.
Lưu ý QM, MN, NP, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác
ABD,ACB,ACD,DBC ta sẽ có điều phải chứng minh (xem hình)
Đường chéo NQ của hình thoi MNPQ là đáy của tam giác cân NPQ
nên đường thẳng QN cắt AD,BC lần lượt tại I,K thì BKN = PQN
16



sao cho AD = CB .Gọi P, M lần lượt là
trung điểm của DC, AB . Đường thẳng PM cắt
A
EC, ED lần lượt tại H,G .Chứng minh rằng tam
M
giác EGH cân tại E.
N
l
Ta thấy, do PN//DG nên P = G,và MN//CE
D
P
nên M = H mà P = M suy ra tam giác EGH
cân tại E
2.3.2 Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm của
AB,BC,CD,DA. Các đường chéo AC,BD của tứ giác ABCD có điều kiện gì
thì EFGH là
a) Hình chữ nhật ?
b) HÌnh thoi ?
c) Hình vuông ?
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung
điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua I.
a) Tứ giác AMCK là hình gì ? Vì sao ?
b) Tứ giác AKMB là hình gì ? Vì sao ?
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I,K theo thứ tự là trung điểm của
CD,AB. Đường chéo BD cắt AI,CK theo thứ tự ở M,N. Chứng minh rằng
17

B

SL
%
SL
%
SL
%
HS
8
37
4
10.8
12
32.2
14
38
7
19
Qua một số bài tập tôi giúp học sinh giải bài tập hình học bằng cách
“Rèn kỹ năng chứng minh các bài tập hình học cho học sinh lớp 8 ở
trường THCS Nga Mỹ” các em đã hiểu được cách làm và đam mê,giúp các
em yêu thích môn hình học từ đó các em có ý thức làm bài tập nên đạt kết
quả khả quan.Từ đó các em có kiến thức tốt hơn để biết vận dụng linh hoạt
trong chứng minh các bài tập làm cơ sở cho các bài tập sau.
3. KẾT LUẬN
3.1 Kết luận
Qua phần nội dung trên một lần nữa tôi thấy khi gặp một bài toán
chứng minh hình học, học sinh cần lưu ý rằng phải phân tích kỹ bài toán,
khoanh vùng tri thức để hồi tưởng lại tri thức và điều quan trọng là phải lựa
chọn được phương pháp thích hợp để giải dạng toán đó. Sau đó huy động
toàn bộ tri thức cũ đã lĩnh hội được để giải bài toán theo phương pháp đã lựa


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK Toán 8 – Tập 1 (Vũ Hữu Bình, Tôn Thân – Chủ biên) – NXB
Giáo Dục
2. SGV, SBT Toán 8 - Tập 1 (Vũ Hữu Bình, Tôn Thân – Chủ biên ) –
NXB Giáo Dục
3. Toán nâng cao và các chuyên đề Hình học 8 (Nguyễn Ngọc Đạm, Vũ
Hữu Bình)- NXB Giáo Dục
4.Để học tốt Hinh học 8 (Vũ Hữu Bình) – NXB Sư phạm Hà Nội
5.Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán cấp THCS – NXB Giáo Dục
6. Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số và Hình học 8 (Vũ Hữu Bình – Chủ
biên) – NXB Giáo Dục
7. Các dạng toán và phương pháp giải Toán 8 - Tập 1 ( Tôn thân – Chủ
biên, Vũ Hữu Bình, Bùi văn Tuyên )- NXB Giáo Dục

20


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
KINH NGHIỆM NGHÀNH GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Vũ Thị Hà
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Nga Mỹ - Huyện
Nga Sơn – Tỉnh Thanh Hóa
Cấp đánh giá
xếp loại
Kết quả đánh
Năm học
Số

B
2009 - 2010
trình bậc nhất một ẩn
Hướng dẫn HS lớp 6
làm phép trừ số
5
nguyên,dùng quy tắc Phòng GD&ĐT
C
2011 -2012
dấu ngoặc,quy tắc
dấu chuyến vế
Rèn kỹ năng giải bài
tập về hàm số và đồ
6
Phòng GD&ĐT
B
2014 - 2015
thị cho học sinh lớp
7 ở trường THCS
Nâng cao kỹ năng
tìm chữ số tận cùng
7
Phòng GD&ĐT
B
2016 - 2017
của một lũy thừa ở
lớp 6 Trường THCS
Rèn luyện kỹ năng
chứng minh các bài
8