TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III
CHỦ ĐỀ 3.5 Bài toán thực tế (chọn hệ trục, tìm phương trình đường cong ...)
MỨC ĐỘ 3
Câu 1.

[2D3-3.5-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối
cầu thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé của khối cầu đó.
27
9
24
27
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
8
8
5
5
Hướng dẫn giải
Chọn D.

.
Thể tích chỏm cầu:

h

= π  R2 x − ÷ = π h2  R − ÷
3  R −h
3



∫ π(R

R−h

2

− x 2 ) dx
.

.

TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Áp dụng bài toán: ta có h = IC =

PHƯƠNG PHÁP

R
π 5R3

B.
C.
D.
3
3
3
3
ướng dẫn giải
Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các
1 2
đường y = x , y = 8 .
2
Phương trình hoành độ giao điểm.
x = 4
1 2
x =8⇔ 
.
2
 x = −4
Diện tích vòm cửa là.
4
1 

S = ∫  8 − x 2 ÷dx
2 
−4 
1 4
128

t2
.
2

52
= 150 .
2
102
3
Lúc 10 giây h ( 10 ) = a.10 + b.
= 1100 .
2
3
2
3
2
3
Suy ra a = 1, b = 2 ⇒ h ( t ) = t + t ⇒ h ( 20 ) = 20 + 20 = 8400m .
Lúc 5 giây h ( 5 ) = a.53 + b.

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 4.

PHƯƠNG PHÁP

[2D3-3.5-3] [Minh Họa Lần 2] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng

=1⇒ 
Vậy phương trình của elip là
.
5
64 25
2
y =
64 − y ( E1 )

8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( E1 ); ( E2 ); x = −4; x = 4 và diện tích
4

4

5
5
64 − x 2 dx = ∫ 64 − x 2 dx .
8
20
−4

của dải vườn là S = 2 ∫

π
3
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x = 8sin t , ta được S = 80  +
÷.
6 4 
π


.
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó phương trình nửa đường tròn là.
y = R2 − x2 =

( 2 5)

2

− x 2 = 20 − x 2 .

Phương trình parabol ( P ) có đỉnh là gốc O sẽ có dạng y = ax 2 . Mặt khác ( P ) qua điểm

M ( 2;4 ) do đó: 4 = a ( −2 ) ⇒ a = 1 .
2

Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và nửa đường tròn.( phần tô màu).

∫(

)

2

Ta có công thức S1 =

20 − x 2 − x 2 dx ≅ 11,94m 2 .

−2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.

Trong đó A ( −2,5;1,5 ) , B ( 2,5;1,5) , C ( 0; 2 ) .

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y = ax 2 + bx + c , với a; b; c ∈ ¡ .
Do Parabol đi qua các điểm A ( −2,5;1,5 ) , B ( 2,5;1,5) , C ( 0; 2 ) nên ta có hệ phương trình.
2

 a ( −2,5 ) 2 + b ( −2,5 ) + c = 1,5
 a = − 25


2

.
 a ( −2,5 ) + b ( 2,5 ) + c = 1,5 ⇔ b = 0
c = 2
c = 2



2 2
Khi đó phương trình Parabol là y = − x + 2 .
25
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số y = −
, trục hoành và hai đường thẳng x = −2,5 , x = 2, 5 .

parabol mà đỉnh parabol ( P ) cách cạnh lục giác là 3dm và nằm phía ngoài hình lục giác, 2
đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường ( P ) đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể
cả lục giác).

2
A. 8 3 + 12 ( dm ) .

2
B. 8 3 + 24 ( dm ) .

2
C. 6 3 + 24 ( dm ) .

2
D. 6 3 + 12 ( dm ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ:

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Khi đó ta được phương trình của parabol là y = −3x + 3.
2

)

2
Vậy tổng diện tích của hình trang trí là S = 6S1 + S2 = 24+ 6 3 dm .

Câu 8.

[2D3-3.5-3] [BTN 173] Gọi h ( t ) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết
13
t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước
5
được 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
A. 4, 76cm .
B. 4, 75cm .
C. 4, 78cm .
D. 4, 77cm .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
rằng h ' ( t ) =

10

Mực nước sau 10 giây là

13

∫5

t + 8dt ≈ 4, 77cm .


−3

(

25 − y 2

)

2

3

dy = π ∫ ( 25 − y 2 ) dy = 132π .
−3

Câu 10. [2D3-3.5-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB = a , AD = 3a và BC = x với
0 < x < 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để
A. x =

5a
.
7

B. x = a .

3a
.
4

3 


Theo

đề

V1 7
=
V2 5

1 
2 


⇔ 5  2a + x ÷ = 7  a + x ÷ ⇔ x = a .
3 
3 


Câu 11. [2D3-3.5-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số
y = f ′ ( x ) như trong hình vẽ bên. Hỏi phương trình f ( x ) = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết
f ( a) > 0 ?
B. 0 .

A. 2 .

C. 1.
Hướng dẫn giải


PHƯƠNG PHÁP

.
A.

131 2
(m ) .
3

B.

28 2
(m ) .
3

26 2
(m ) .
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

128 2
(m ) .
3

Chọn D.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy trùng với
chiều cao của vòm cửa.

Từ đó ta có S =

∫

−4

4

1
128 2
 1

− x 2 + 8 dx = ∫  − x 2 + 8 ÷dx =
(m ) .
2
2
3

−4 

Câu 13. [2D3-3.5-3] [BTN 164] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích
2
nước bơm được sau t giây. Cho h ' ( t ) = 3at + bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì

thể tích nước trong bể là 150m3 , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 . Tính thể tích
của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây.
A. 8400m3 .
B. 4200m3 .
C. 600m3 .
D. 2200m3 .



TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 14. [2D3-3.5-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t )
đô la mỗi năm, với D′ ( t ) = 90 ( t + 6 ) t 2 + 12t trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ
khi công ty bắt đầu vay nợ. Sau 4 năm công ty đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần.
Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này.
A. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + 1610640 .
3

C. D ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) 2 + 1610640

.

B. D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + C .


= 45∫ ( t + 12t ) d ( t 2 + 12t ) =
2

D ( 4 ) = 30

(4

2

Vậy D ( t ) = 30

(t

2

+ 12t ) + C
3

.

+ 12.4 ) + C = 1626000 ⇔ 15360 + C = 1626000 ⇔ C = 1610640 .
3

(t

2

+ 12t ) + 1610640 .
3

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số x = 25 − y 2 , trục tung và hai đường thẳng y = −3 ,
y = 3 . Khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục tung ta được hình dạng cái chum.
3

Vậy thể tích cái chum là: V = π ∫

−3

(

25 − y 2

)

2

3

dy = π ∫ ( 25 − y 2 ) dy = 132π .
−3

Câu 17. [2D3-3.5-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực

=
Do đó
∫1 3 ∫1 t. 3 dt =
Đặt t = 3 x − 2 ⇒ x =

x = 1 thì t = 1, khi x = 6 thì t = 4. .
2 t3
.
3 3

4

= 14. .

1

Câu 18. [2D3-3.5-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB = a , AD = 3a và BC = x với
0 < x < 3a . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD . Tìm x để
A. x =

5a
.
7

B. x = a .

3a
.


2 

V2 = π a 2  a + x ÷.
3 


Theo

đề

ta

có

V1 7
=
V2 5

1 
2 


⇔ 5  2a + x ÷ = 7  a + x ÷ ⇔ x = a .
3 
3 


Câu 19. [2D3-3.5-3] [THPT Quoc Gia 2017] Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như
2


1

−3

3

1

1

∫ g ′ ( x ) dx > ∫ g ′ ( x ) dx ⇔ g ( −3) − g ( 1) > g ( 3) − g ( 1) ⇔ g ( −3) > g ( 3)

Vậy ta có g ( −3) > g ( 3) > g ( 1) .

.

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Câu 20. [2D3-3.5-3] [BTN 170] Sau t giờ làm việc một người công nhân A có thể sản xuất với tốc độ
−0,5 t
được cho bởi công thức p ' ( t ) = 100 + e
đơn vị/giờ. Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ 8

giờ sáng. Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị từ 9 giờ sáng tới 11 giờ trưa ?