– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

PHƯƠNG PHÁP CỘNG VẬN TỐC
TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA CHUYỂN ĐỘNG – VẬT LÍ THCS
1.1.Tính tương đối của toạ độ: Đối với các hệ quy chiếu khác nhau thì toạ độ
khác nhau
1.2. Tính tương đối của vận tốc: Vận tốc của cùng một vật trong các hệ quy
chiếu khác nhau thì khác nhau.
- Công thức cộng vận tốc



v13  v12  v23


v13 : vận tốc vật 1 đối với vật 3( vận tốc tuyệt đối)

v12 : vận tốc vật 1 đối với vật 2(vận tốc tương đối)

v 23 : vận tốc vật 2 đối với vật 3(vận tốc kéo theo)


v13  v31


v12  v 21


v 23  v32


B

2.1. Định lí Pitago:
Cho ∆ABC vuông tại A. Ta có: BC 2  AB2  AC 2
2.2. Hàm số lượng giác của góc nhọn:

A

C
(H-1)

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Theo (H-1):
AC
AB
AC
AB
; CosB 
; tgB 
; CotgB 
BC
BC
AB
AC

2.4. Định lý hàm Cos :
Cho ABC bất kỳ ta có:
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A

A

C

b 2  c 2  a 2  2ac.cos B (3)
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
2.5. Công thức cộng góc:
Cos(   )  C os  .C os  sin  .sin 
Sin(   )  Sin Cos   Cos .Sin
2.6. Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
Ví dụ: Sin(90 0   )  Cos với     90 0
II. Nội dung bài tập:
1.1. Các bài tập ví dụ:
Bài 1:(Bài tập lí thuyết)
Hai chất điểm chuyển động trên hai đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau,
tốc độ lần lượt là v1 và v2( Hình vẽ)
a. Vẽ vẽ véc tơ vận tốc của chất điểm 1 so với

y

x


v1

chất điểm 2


chính là khoảng

cách ngắn nhất giữa hai chất điểm.

Bài 2:
Từ hai bến A, B trên cùng 1 bờ sông có
V2
hai ca nô cùng khởi hành. Khi nước sông
V1
không chảy do sức đẩy của động cơ chiếc ca A
B
nô từ A chạy song song với bờ theo chiều từ
A B có V1 = 24km/h. Còn chiếc ca nô chạy từ B vuông góc với bờ có vận tốc
18km/h. Quãng đường AB là 1km. Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô
trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A  B với V3 =
6km/h (sức đẩy của các động cơ không đổi) (Trích đề thi chuyên lý vào).
Giải
Theo đề bài ta có hình vẽ.
Do dòng nước chảy từ từ A B với
vận tốc là 6km/h nên khi canô 1 chuyển động

H

xuôi dòng vận tốc của nó là :

V21

V2 V’2


AH V21
Ta sẽ tính AH trong tam giác vuông AHB
Có Sin =

AH
AB

 AH = AB Sin (1)

Mặt khác xét trong tam giácvuông BV2V21
Có :V 221 = V 22 (VX'  V3 ) 2 = 182 + (30 – 6)2 = 900
 V21 = 30km/h
Và Sin  

18
V2
=
 0,6 (2)
V21 30

Thế (2) vào (1) ta được AH = AB.sin = 1.0,6 = 0,6(km)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất của 2 canô trong quá trình chuyển động trên là
0,6km.
Nhận xét: Bài này cũng giống bài 1 tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật
trong quá trình chuyển động. Tuy nhiên cách giải hoàn toàn khác nhau. Về bản
chất thì cùng giống nhau về hiện tượng đó khoảng cách của 2 vật bị thay đổi
theo thời gian. Đối với bài 1 ta lập biểu thức d (khoảng cách của 2 vật) là 1 hàm
của thời gian t sau đó từ d = f(t) ta tìm được giá trị nhỏ nhất. Còn bài 3 ta cũng
có thể giải theo bài 1 nhưng ở đây tôi đưa ra cách giải này để học sinh tham
khảo. Cách giải bài này là một sự kết hợp giữa tính tương đối của vận tốc và

chính là khoảng cách

ngắn nhất giữa hai xe  dmin= BH
tan  

v2 3
    59 0 ,   310
v1 5

dmin= BH = BI. sin  = (BO - OI) sin  = (BO - OA.tan  ).sin  = 1,166(km)
Bài 4.( đề thi HSG Nghệ An 2005-2006, bảng B )
Hai vật chuyển động trên hai đường đường thẳng vuông góc với nhau với
tốc độ không đổi có giá trị lần lượt v1= 30km/h, v2= 20km/h. Tại thời điểm
khoàng cách giữa hai vật nhỏ nhất thì vật 1 cách giao điểm s 1=500m. Hỏi lúc đó
vật 2 cách giao điểm trên đoạn s2 bằng bao nhiêu.
Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so với vật 2, ta có:

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..



 
v12  v1  (v2 )  v1  v2


Xét chuyển động tương đối của
vật 1 so 2 ta có:



 
v12  v1  (v2 )  v1  v2

dmin= BH, OAK là tam giác đều (vì tốc độ hai tàu như nhau)
 dmin=KB.sin 

KB = l2 - l1  dmin= 5 3 (km)

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Bài 6:
Hai vật chuyển động thẳng đều trên hai đường thẳng tạo với nhau một góc
 =30 với tốc độ v 2 
0

v1
3

và đang hướng về phía giao điểm, tại thời điểm


BH =

AH
 45m  BO=d2= 90(m)
tan 30 0

Bài 7:
Có hai vật M1 và M2 lúc đầu
cách nhau một khoảng l =2m (Hình
vẽ), cùng lúc hai vật chuyển động
thẳng đều M1 chạy về B với tốc độ

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

v1=10m/s, M2 chạy về C với tốc độ v2=5m/s . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa
hai vật và thời gian để đạt được khoảng cách này. Biết góc tạo bởi hai đường
  450 .

Giải:
Xét chuyển động tương đối của vật 1 so vật 2, ta có:



 
v12  v1  (v2 )  v1  v2

 0,5( m)

2
l 2  d min
BH

 0,138(s)
v12
v12

Bài 8:
Ở một đoạn sông thẳng có dòng nước chãy
với vận tốc vo, một người từ vị trí A ở bờ sông
bên này muốn chèo thuyền tới B ở bờ sông bên
kia. Cho AC; CB = a. Tính vận tốc nhỏ nhất của
thuyền so với nước mà người này phải chèo để

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

có thể tới B.
Giải:





 
v21  v2  (v1 )  v2  v1


Để 2 gặp được 1 thì v 21 phải luôn có
hướng AB.


Véc tơ vận tốc v 2 có ngọn luôn nằm trên đường

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..






Xy // AB.  v 2 khi v 2  xy , tức là v 2  AB.
Tính chất đồng dạng của tam giác: DAB và AHD , ta có:
v2 v1
d
  v2  v1  10,8km / h
d
a
a



v1
H

- Hai tàu gặp nhau tại M. Ta có AM = v1.t, BM = v2.t
- Trong tam giác ABM:
+



AM
BM
v1t
vt


 2
sin  sin 
sin  sin 

 sin  =

v1
sin 
v2

- v1

v21


( theo (1) )

=> v21 = v1. cos   v2 cos 
Vậy thời gian để tàu B chuyển động đến gặp tàu A là:
t=

AB
l

v21 v1 cos   v2 cos 

b. Để 2 tàu gặp nhau ở H thì:
    90 0    90 0    sin   sin(90 0   )  cos 

Theo (1) ta có: cos  

v1
v
sin   tan   2
v2
v1

Bài 11:
Hai người bơi xuất phát từ A trên bờ một cón sông và phải đạt tới điểm B
ở bờ bên kia nằm đối diện với điểm A. Muốn vậy, người thứ nhất bơi để chuyển
động được theo đúng đường thẳng AB, còn người thứ hai luôn bơi theo hướng
vuông góc với với dòng chảy, rồi đến bờ bên kia tại C, sau đó chạy ngược tới A

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,


 
v2  v ' v0 , do v '  v0  v22  v' 2 v02

Thời gian đến C là t20=
Thời gian chạy trên bờ:

AB
AC
AB
=

v'
v2
v2 cos 

t’20=

BC v0 .t 20 v0 . AB


u
u
v'.u

Theo đề bài t1= t20+t’20


AB
v ' v

chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

(hình vẽ). Đúng lúc nhìn thấy xe thì người ấy chạy theo hướng AC ( BAC   )
với vận tốc v2.
a. Biết v 2 

20
3

km/h. Tính 

b.  bằng bao nhiêu thì v 2 cực tiểu? Tính vận tốc cực tiểu đó.
Giải:
A
v2

∝

d

h
β

B

C

d

v1.h
(3)
v2 .d

3
   600 ;  1200
2

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

v1.h
(*) Ta thấy v1, h, d không đổi nên v2 min khi
d .sin 
sin   1    900

b. Từ (3) => v2 

h.v1
v

 10km / h
Lúc đó: 2(min)
h

Đáp số: a. Vậy người chạy theo hướng vuông góc với AB

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

b. v2min 

h
v1  2,5m / s
a

Bài 3:
Trong hệ trục toạ độ xOy (như hình

y

vẽ), có hai vật nhỏ A và B chuyển động thẳng
đều. Lúc bắt đầu chuyển động, vật A cách vật

A

B một đoạn L=100m. Biết vận tốc của vật A

O

v1

BA để thời gian chuyển động là ngắn nhất và tính thời gian ngắn nhất đó.
Đáp số: tmin 

10
125 10
 132(m)
(h) và ABmin 
3
15

Bài 5: ( Kỳ thi chọn HS giỏi NH 06-07, vật lí 9)

– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..


– File word sách tham khảo, giáo án dạy thêm,
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..

Một ghe máy có vận tốc khi nước yên lặng là 6km/h đi xuôi dòng từ bến
A đến bến B cách nhau 12km. Cùng lúc đó có một thuyền máy ngược dòng từ B
đến A, vận tốc thuyền máy khi nước yên lặng là 10km/h, sau khi gặp nhau
chúng quay lại và trở về bến xuất phát của mình. Hỏi rằng vận tốc của dòng
chảy ít nhất là bao nhiêu để cho ghe máy về lại bến A không sớm hơn một giờ
sau khi thuyền máy về đến bến B.
PHẦN III – KẾT LUẬN
Trong các bài toán mà tôi nêu trên, có thể có nhiều cách giải khác, tuy
nhiên khi áp dụng công thức cộng vận tốc để giải thì bài giải khá ngắn gọn, đơn
giản hơn. Tất nhiên trong một số bài cụ thể thì cần kết hợp các phương pháp
khác.

chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi đại học,..