Tài liệu ôn thi vào 10
Căn bậc hai - hằng đẳng thức
2
A A
=
.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố đ/n, phân biệt cách tìm CBH, CBHSH của một số thực.
- Nắm vững và tìm đợc đkxđ của
A
- áp dụng khai triển HĐT
2
A A=
, vận dụng rút gọn đợc biểu thức.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a
0 ,
a
;
2
( 6)
;
25
16
;
9
25
.
b,
2
5
;
2
( 7)
;
2
3
4
ữ
ữ
8 1
và 2; -2
5
và -5
2
;
3
và
16
2
.
( Sử dụng a, b là các số không âm, a < b
a
<
b
).
Bài 3 . Tính:
a,
2
(3 2)+
;
2
(2 3)
;
( )
2
2 3+
;
4( 2)a
(a < 2);
2
(3 11)
.
4
9( 5)x
;
2 2 2
( 2 )b a ab b+ +
(b > 0);
2 2 2
3 4
( )
( 0; 0; )
a b a b
b a a b
bc a
> <
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 1
Tài liệu ôn thi vào 10
c,
2
(2 5)+
;
2
(3 15)
2
2 1a
;
4
3 b
;
2
2 1a
;
2
1 8 16b b +
;
3 4
5
a
.
c,
2
2x
;
2
2x
;
2
2 1x +
;
2
x =
;
2
16 0x + =
;
2
9 0x + =
.
b,
5x =
;
1
2
x =
;
5x =
;
3
2
x =
;
2 2 0x =
.
c,
3
2
x
=
;
2 0
; 7 - x (x > 0); 3 + 2x (x < 0).
b,
2
3 16x
; x - 9 (x > 0).
c,
4 2 3
;
3 2 2
;
6 2 5
;
7 2 6
.
( Rút ra HĐT
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ = +
)
Bài 7. Rút gọn:
a,
( , 0; )
a b
a b a b
a b
>
;
2 1
( 0; 1)
A A=
).
Bài 8. Giải các PT sau:
1,
2
4 4 3x x + =
;
2
12 2x =
;
x x=
;
2
6 9 3x x + =
;
2,
2
2 1 1x x x + =
;
2
10 25 3x x x + = +
.
3,
5 5 1x x + =
( Xét ĐK
pt vô nghiệm);
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 2
Tài liệu ôn thi vào 10
5,
2 2
4 4 0x x + =
( ĐK, chuyển vế, bình phơng 2 vế).
2 2 2
4 5 4 8 4 9 0x x x x x x + + + + + =
(
1 4 5 3 5VT + + = +
;
2
( 2) 0 2x x= = =
)
2 2 2
9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x + + + = +
(
2 2 2
(3 1) 1 5(3 1) 4 9 (3 1)x x x + + + =
;
vt
3; vp
3
x = 1/3) .
2 2 2
2 4 3 3 6 7 2 2x x x x x x + + + = +
a
đợc gọi là CBHSH của a.
a, b là các số không âm, a < b
a
<
b
.
A
xác định (hay có nghĩa)
A
0 (A là một biểu thức đại số).
Các công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.(GV cùng HS nhắc
lại).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Tính.
1,
20 5
;
12 27
;
3 2 5 8 2 50+
;
2 5 80 125 +
;
3 12 27 108 +
;
8. 18. 98
;
2 3
. 6
3 2
+
ữ
ữ
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 3
Tài liệu ôn thi vào 10
3,
45.80
;
75.48
;
90.6,4
;
2,5.14,4
.
4,
( 12 27 3) 3+
;
( )
20 45 5 5 +
;
9 1
3 20
;
3 2
2 1
;
5 3
5 2
+
;
2 3
2 3
+
;
3 2
3 2
+
.
7,
2 2
2 1
;
10 2
1 5
1,
3
9
a
a
;
2 1
1
a a
a
+
;
4 4
4
a a
a
+
;
5 4
1
a a
a
+
;
5 6
ab a b
+
( )
, 0;a b a b>
.
6,
1 1
1 1
a a a a
a a
+
+
ữ ữ
ữ ữ
+
( )
0; 1a a
.
7,
1 1 4
4
2 2
x
x x
+
2
( 1) 2 ( 1)a a a
+ = +
;
( )
2
2a ab b a b
+ =
( ) ( )
a a b b a b a ab b = +m
;
( ) ( )
a b a b a b = +
.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
* Ph ơng pháp: - Tìm ĐKXĐ(BT dới căn có nghĩa, mẫu
0).
- Rút gọn từng phân thức trong biểu thức (Nếu có thể).
- Biến đổi, rút gọn cả biểu thức.
- Kết luận.
* Bài tập. Rút gọn các biểu thức sau:
1
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 1
A
x x x x x
3
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x
x x x x x
= +
ữ ữ
ữ ữ
+
+
kq:
1
1
x x
x
+ +
4
1 1 2
:
1
1 1
x
A
6
:
2
a a a a a
A
b a
a b a b a b ab
= +
ữ ữ
ữ ữ
+ + + +
kq:
( )
a b
a b a
+
7
1
1 1 :
1 1 1
a a a a a
A
a a a
+ +
5 6 2 3
x x x
A
x x x x
+ +
=
+
kq:
1
3
x
x
+
10
:
x x y y
x y
A xy
x y x y
+
=
ữ
ữ
+ +
* Các dạng toán có sử dụng kết quả của bài toán rút gọn.
1. Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn.
=
. ĐK:
0; 1x x>
).
3. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn lớn hơn, hoặc bé hơn một số (
một biểu thức).
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải BPT A > a(P) ( hoặc A < a(P)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
1A >
. (Ta giải BPT:
1
5
x
x
>
. ĐK:
0; 1x x>
).
4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức
9
A
nhận giá trị nguyên.
( Ta có
9
A
với 1. ( Lập hiệu
1
1
x
x
, rồi xét xem hiệu này > 0; < 0; = 0
KL).
Bài tập tổng hợp.
Bài 1. Cho biểu thức:
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x
+
=
ữ ữ
ữ ữ
+ +
kq:
1
1
1
x x x
B
x x
x
= +
ữ
ữ
kq:
3
2
x
x
1, Tìm x để biểu thức B xác định.
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x =
11 6 2
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn
1x
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn
1
3
.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn
2 3x +
.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8, So sánh C với
2
x
.
Bài 4. Cho biểu thức:
2 4 2 3
1 :
4
6 3 2
x x x x x
D
x
x x x x
=
ữ ữ
ữ ữ
a a a
+
=
ữ ữ
ữ ữ
+
kq:
1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
2, Rút gọn E.
3, Tính giá trị của biểu thức E khi a =
24 8 5
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dơng.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn
3a +
.
7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8, So sánh E với 1 .
Bài 6. Cho biểu thức:
1 1 1
4
1 1
a a
F a a
a a a
1
a
.
Bài 7. Cho biểu thức:
2
2 2 2 1
1 2
2 1
x x x x
M
x
x x
+ +
=
ữ
ữ
+ +
kq:
x x +
1, Tìm x để M tồn tại. 2, Rút gọn M.
3, CMR nếu 0 <x < 1 thì M > 0. (
1 0; 0 0x x M > > >
)
3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng.
a
a
a
+
+
;
3
65
);
1
45
)
+
+
a
aa
e
a
aa
d
g)
4
65
4
14
22
b) B =
1
:
1
1
22
1
22
1
2
2
+
+
+
+
a
yxx
yxx
yxx
yxx
yxx
+
+
4
:
Bài9: 1. Cho biểu thức: A =
22
:
1
2
12
2
x
xx
a)Tìm x để B có nghĩa; b) Rút gọn B; c)Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên
Bài11 . Cho biểu thức C=
12
1
:
1
11
+
+
+
aa
a
aaa
a) Rút gọn C; b)Tính C với a =3 - 2
2
Bài 12. Cho biểu thức D =
a
a) Rút gọn D; b)Tìm a để D > 1; c) Tìm a nguyên để D nhận giá trị nguyên.
Bài 13. Cho biểu thức E =
+
+
1
2
1
1
:
1
aaaa
=
aaFKQ
=
:
a) Rút gọn F ; b) Tìm GTLN của F
Bài 15. Cho biểu thức G
+
+
x x y y x x y y
x y
x y
x y x y xy
+
=
ữ
ữ
+ +
x 0
Với y 0
x y
a) Rút gọn H (
:
xy
KQ H
x xy y
=
+
+
=
2
3
:
4
4
2
2
2
2
3
4
:
=
x
x
KKQ
a) Rút gọn K; b)Tìm x để K > 0; c) Tìm x để K = 1
Bài 18. Cho biểu thức
21
3
=
x
x
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
M
13
:
+
=
x
xx
MKQ
a) Rút gọn M; b)Tìm x để
5
6
=
M
Bài 20. Cho biểu thức
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
N
2
3
:
=
x
NKQ
a) Rút gọn N; b) Tìm x để N <1; c)Tìm x Z để N Z
Bài 21. Cho biểu thức
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
P
3
5
:
+
=
x
PKQ
a) Rút gọn P; b)Tìm x Z để P Z
Bài 22. Cho biểu thức
+
yx
Bài 23. Cho biểu thức
+
+
+
+
=
a) Rút gọn R; b) So sánh
R
R
1
Với
Hàm số bậc nhất- đồ thị hàm số bậc nhất.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, đk để một hàm số là hàm số bậc nhất.
- HS xác định đợc tính đồng biến, nghịch biến, hình dạng, cách vẽ đồ thị
HSBN.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 10
Tài liệu ôn thi vào 10
* Dạng HSBN y = ax + b (a
0)
Là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax , cắt trục tung tại b, cắt trục hoành tại
-
b
a
* T/ c đồng biến, nghịch biến của HSBN.
- Đồng biến khi a > 0.
- Nghịch biến khi a < 0.
* Cách vẽ đồ thị HSBN.
- Cho x = 0
y = b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại b.
- Cho y = 0
x
x
+
;
y = x
2
- 1; y = (x + 1)(x + 2).
Bài 2. Tìm ĐK của tham số để một hàm số là hàm số bậc nhất.
1. y = (m - 3)x +5; y = (2 - 4m)x - 1; y = (1 - 2m)x +
1
2
; y = mx -
2
x + 3;
2. y =
7 m
(x -1); y =
2
100
2
m
x
m
+
; y =
2
4 4 3m m x + +
; y =
3
x
g x b
= +
. Xác định b nếu:
a.
(1)
4g
=
; b.
( 2 )
2 2g
=
; c.
( 8)
3g
=
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 11
Tài liệu ôn thi vào 10
đờng thẳng song song- đờng thẳng cắt nhau.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, ĐTHS BN.
- Củng cố kiến thức về đờng thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau, vuông
góc nhau trên măt phẳng toạ độ.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt. Khả năng suy luận chặt chẽ.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Dạng HSBN y = ax + b (a
,
a a
), trùng nhau(
,
a a=
;
,
b b=
), vuông góc nhau(
,
. 1a a =
).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Cho hàm số y = (m - 1)x + m.
a, m =? Thì hàm số đồng biến? nghịch biến?
b, m =? Thì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 3x?
c, m =? Thì đồ thị hàm số đi qua A(-1; 5)
d, m =? Thì đồ thị hàm số cắt tung độ tại 6?
e, m =? Thì đồ thị hàm số cắt hoành độ tại -3?
f, m =? Thì đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
g, m =? Thì đồ thị hàm số vuông góc với đồ thị y = -mx + 1?
h, Vẽ các đồ thị tìm đợc ở các câu trên? tìm toạ độ giao điểm của nó (nếu có)
Bài 2. Xác định hàm số y = ax + b biết:
a, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 2x, cắt trục hoành tại diểm có tung độ là 3.
b, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 3x - 1, đi qua diểm A(2;1)
c, ĐTHS đi qua B(-1; 2) và cắt trục tung tại -2.
d, ĐTHS đi qua C(
1
2
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).
Bài 7: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k 1)x + k 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
Bi 8: Cho ng thng (d) y = (m 2)x + n (m 2). Tỡm cỏc giỏ tr ca m, n trong
mi trng hp sau:
a) ng thng (d) i qua hai im A(1 ; 2) v B(3 ; 4)
b) ng thng (d) ct trc tung ti im cú tung bng
1 2
v ct trc
honh ti im cú honh bng
2 2+
c) ng thng (d) ct ng thng (d
1
): 2y + x 3 = 0
d) ng thng (d) song song vi ng thng(d
2
): 3x + 2y = 1
e) ng thng (d) trựng vi ng thng (d
3
): y 2x + 3 = o
BI TP Bổ SUNG HM S BC NHT
0
), hệ số góc là k.
b) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(x
1
, y
1
) và N( x
2
, y
2
)
c) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B( - 1 ; 3) và :
• Song song với đường thẳng : 3x – 2y = 1.
• Vuông góc với đường thẳng : 3y – 2x +1 = 0
Bài 4: Cho hàm số : y =
1
2
2
x
−
+
a , Xác định giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành ?
b , Gọi A , B là thứ tự các giao điểm nói trên . Tính diện tích tam giác OAB ( O là
gốc tọa độ )
Bài 5 : Trong các hàm số sau hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất xác
định các hệ số a , b của chúng và cho biết hàm số đó đồng biến hay nghịch biến ?
a )
3 2y x= +
b ,
b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách đến gốc tọa độ bằng
3 5
. Xác
định tọa độ điểm A ?
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 14
Tµi liÖu «n thi vµo 10
Bài 10 : Cho các hàm số y= -2x (d
1
) ,
1
2
y x=
(d
2
)
a) Vẽ đồ thị các hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ ?
b) xác dịnh điểm B thuộc (d
1
) và điểm C thuộc (d
2
) sao cho hoành độ của chúng đều
bằng 2 ?
c) Giải thích vì sao các đường thẳng (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau ?
Bài 11 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết rằng đồ thị của nó song song với đường thẳng
y = -2x và đi qua điểm A ( 1 ; -4 ) . Vẽ đồ thị hàm số với a,b tìm được?
Bài 12 : Xác định hàm số y = ax +b biết rằng đồ thị của nó cát trục tung tại điểm có
2
y x
−
= +
(d
2
)
2 6y x= −
(d
3
)
Không vẽ các hàm số đó cho biết các đường đó có vị trí như thế nào với nhau ?
Bài 18 : Cho các hàm số sau , hàm số nào là bậc nhất ? Với các hàm số bậc nhất
hãy xác định các hệ số a ,b và cho biết hàm số nào đồng biến , hàm số nào nghịch
biến ?
a) y = 3x -7
b)
1
y x
x
= +
c ) 5 3( 1)y x= − − +
Bài 19 : Cho hàm số y = f(x) =3x+6 và y=g(x) = 6-3x , hãy tính f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) ,
f(5) và g(1) , g(2) ,g(3) ,g(4), g(4)
Có nhận xét gì về giá trị của các hàm số f(x) và g(x) với cùng một giá trị biến x ?
Bài 20: Trên mặt phẳng tọa độ oxy , vẽ tam giác ABC biết A( 1;2) , B ( -1;0) , C(2;0)
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 15
Tµi liÖu «n thi vµo 10
a) Tính diện tích tam giác ABC
A
4
là hình vuông và điểm O là tâm hình vuông đó
b) Tính chu vi và diện tích hình vuông A
1
A
1
A
1
A
4
Bài 23 : Cho hàm số
2y x=
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Xác định tung độ các điểm A , B ,C thuộc đồ thị có hoành độ lần lượt là -1 ;1 ; 2
c) Tính khoảng cách từ A, B ,C đến gốc tọa độ
d) Gọi a là góc hợp bởi đồ thị với trục Ox . tính tga từ đó suy ra góc a
Bài 24 : Cho hàm số y = | x |
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Vẽ đường thẳng y = 2 cắt đồ thị y = |x | tại A và B . chứng minh tam giác OAB là
tam giác vuông . Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 25: a) Biết đồ thị hàm số y = ax +7 đi qua điểm M ( 2 ; 11 ) tìm a ?
b) Biết rằng khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8 . Tìm b ?
Bài 26 : Cho hàm số y = 2x và y = -3x +5
a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ ,đồ thị hai hàm số trên ?
b) Tìm tọa độ giao điểm M của hai hàm số nói trên . goi A , B lần lượt là giao điểm
của đường thẳng y = -3x +5 với trục hoành và trục tung . Tính diện tích tam giác
OAB và tam giác OMA
a) kx – 2y =6
b) k( x-1) +3y =1
Bài 35 :
a) Vẽ tam giác ABC trong mặt phẳng tọa độ biết A ( 3 ; 4) , B ( -5 ;0) , C ( 0 ;7)
b) Tìm khoảng cách từ các đỉnh của tam giác đến gốc tọa độ
c) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của đỉnh A qua Ox , Oy và gốc O
Bài 35 : Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng :
a) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4 và cắt trục hoành tại điểm A có
hoành độ là 2
b) Đồ thị là một đường thẳng có hệ số góc là -3 và đi qua điểm C ( 1 ; 2)
Bài 36: Xác định các hệ số a , b của hàm số y = ax + b biết rằng
a) Đồ thị nó đi qua hai điểm M ( 1;3) , N ( 2 ; 1)
b) Đồ thị của nó là một đường thẳng song song với đường thẳng y = -3x +1 và đi
qua điểm P ( 2 ;-2)
c) Đồ thị của nó là một đường thẳng đi qua điểm Q ( 1 ; 4 ) và song song với đường
thẳng chứa phân giác của góc phần tư thứ nhất ?
Bài 37 : a) Không vẽ đồ thị hãy nhận xét rằng ba đường thẳng : y = 3x + 1 ; y = 1 –
x ;
1
2
x
y = +
đồng quy tại một điểm . Tìm tọa độ điểm đó ?
b)Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 5x + m đồng quy với hai đường thẳng
y = 3x + 1 ; y = x -1
Bài 38 : Tìm các giá trị của m để các đường thẳng mx - 2y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0
a) Cắt nhau
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 17
Tµi liÖu «n thi vµo 10
b) Song song nhau
x +
;
3 3 3y x= −
gọi
, ,
α β δ
lần
lượt là các góc tạo bởi các đường thẳng trên với tia Ox . CMR :
1
1; ; 3
3
tg tg tg
α β δ
= = =
và suy ra
0 0 0
45 ; 30 ; 60
α β δ
= = =
Bài 43 : Biết tọa độ ba đỉnh hình vuông A(-2 ; 0 ) ; B ( 0;2) ; C( 2 ; 0 )
a) Hãy xác định tâm I của hình vuông và đỉnh thứ tư D của nó
b) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông
Bài 44 : Gọi (d) là đường thẳng y = 2x + 2 cắt trục hoành tại C và trục tung tại D
a) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) // (d) và qua điểm A ( 1 ; 0).
b) (d
1
) cắt trục tung tại B tứ giác ABCD là hình gì ?
c) Viết phương trình đường thẳng (d
Tài liệu ôn thi vào 10
* HPTBN hai ẩn có dạng
, , ,
ax by c
a x b y c
+ =
+ =
trong đó
ax by c
+ =
và
, , ,
a x b y c
+ =
là các
PTBN hai ẩn.
* KN nghiệm của HPTBN hai ẩn.
* Nghiệm của PTBN hai ẩn.
* Các phơng pháp giải HPT BN hai ẩn: Dùng đồ thị, PP cộng, PP thế, PP đặt ẩn phụ.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
VD : Giải các HPT sau:
a.
2 3
3 7
x y
x y
=
+ =
+
Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=
+ =
2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =
+ = = = =
Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
x
y
=
=
b. Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =
+ =
10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =
+ = + = + = =
+ =
+
2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y
=
= =
.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 20
Tài liệu ôn thi vào 10
Đặt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT đã cho trở thành:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = + = + = =
+ = = = =
1
2
x
y
=
=
Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
Bài tập. Giải các hệ phơng trình sau:
1,
2 4
3 1
x y
x y
+ =
=
;
1
3 2 3
x y
x y
=
=
;
3 2
2 4 2007
x y
x y
=
+ =
;
3 2
3 9 6
x y
y x
=
+ =
;
5
2
2 6
y
x
x y
+ =
;
2,
3 5
1
x y
x y
+ =
+ =
;
2 1 3
2 5
y x
x y
= +
=
;
+ =
3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y
=
+ = +
;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =
+ =
;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
y x y y x y xy
+ = + +
+ = +
3,
1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y
+ =
=
;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y
Trong mt vi nm tr li õy thỡ trong cỏc thi vo lp 10 trung hc
ph thụng , cỏc bi toỏn v phng trỡnh bc hai cú s dng ti h thc Vi- Et xut
hin khỏ ph bin . Trong khi ú ni dung v thi lng v phn ny trong sỏch
giỏo khoa li rt ớt, lng bi tp cha a dng .
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 21
Tài liệu ôn thi vào 10
Ta cng thy gii c cỏc bi toỏn cú liờn qua n h thc Vi Et,
hc sinh cn tớch hp nhiu kin thc v i s , thụng qua ú hc sinh cú cỏch
nhỡn tng quỏt hn v hai nghim ca phng trỡnh bc hai vi cỏc h s.
Vy nờn nhúm toỏn chỳng tụi xõy dng chuyờn ny ngoi mc ớch
giỳp hc sinh nõng cao kin thc cũn giỳp cỏc em lm quen vi mt s dng toỏn
cú trong thi vo lp 10 trung hc ph thụng
Ni dung chớnh ca chuyờn gm :
I. ng dng 1
II. ng dng 2
III. ng dng 3
IV. ng dng 4
V. ng dng 5
VI. ng dng 6
VII. ng dng 7
VIII. ng dng 8
Nhm nghim ca phng trỡnh bc hai mt n
Lp phng trỡnh bc hai
Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng
Tớnh giỏ tr ca biu thc nghim ca phng trỡnh
Tỡm h thc liờn h gia hai nghim ca phng trỡnh sao
cho hai nghim ny khụng ph thuc vo tham s
Tỡm giỏ tr tham s ca phng trỡnh tha món biu thc
cha nghim
2
1 2
2 2 2
( )( ) 4
4 4 4
b b b ac c
x x
a a a a
+
= = = =
Vy t : - Tng nghim l S : S =
1 2
b
x x
a
+ =
- Tớch nghim l P : P =
1 2
c
x x
a
=
Nh vy ta thy gia hai nghim ca phng trỡnh (*) cú liờn quan cht ch vi
cỏc h s a, b, c. õy chớnh l ni dung ca nh lớ VI-ẫT, sau õy ta tỡm hiu mt s
ng dng ca nh lớ ny trong gii toỏn.
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá 22
Tµi liÖu «n thi vµo 10
I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1. Dạng đặc biệt:
x
a
−
=
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1)
2
2 5 3 0x x+ + = (1) 2)
2
3 8 11 0x x+ − = (2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a
−
b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x = −
và
2
3
2
x
−
=
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x =
và
2
11
3
2
50 0x qx− + =
, biết phương trình có 2
nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Bài giải:
a) Thay
1
2x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc :
1
4 4 5 0
4
p p− + = ⇒ =
T ừ
1 2
5x x =
suy ra
2
1
5 5
2
x
x
= =
b) Thay
1
5x =
v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc
25 25 0 50q q+ + = ⇒ = −
T ừ
x x x
− = =
⇔
+ = = −
Suy ra
1 2
18q x x= = −
d) Vì vai trò của x
1
và x
2
bình đẳng nên theo đề bài giả sử
1 2
2x x=
và theo VI-ÉT ta có
1 2
50x x =
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x
lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =
= =
vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a
1
y x
x
= +
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
÷
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vậy phương trình cần lập có dạng:
2
0y Sy P− + =
5 1
0
6 2
y y+ − =
hay
2
6 5 3 0y y+ − =
)
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y
thoả mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình
đã cho).
(Đáp số :
2
727 1 0y y− + =
)
3/ Cho phương trình bậc hai:
)
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương
trình :
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để có hai số đó là S
2
−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2
4x = −
Vậy nếu a = 1 thì b =
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI-
ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
NguyÔn V¨n TuÊn Trêng THCS TrÞnh x¸ 25
Copyright: Tài liệu đại học ©