Header Page 1 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG
DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI – TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018
Footer Page 1 of 128.


Header Page 2 of 128.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————–o0o——————–

ĐỖ THỊ KIM ANH

PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ
ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI – TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Footer Page 3 of 128.


Header Page 4 of 128.
ii

Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Trong
khi thực hiện đề tài nghiên cứu này tác giả đã tham khảo một số tài liệu
đã được ghi trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả xin khẳng định kết
quả của đề tài “Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi – tích phân” là kết quả của việc
nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2018
Tác giả

Đỗ Thị Kim Anh

Footer Page 4 of 128.


Header Page 5 of 128.


Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không gian hàm

4

1.1.1

Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Không gian Banach C[a,b] . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5


Điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.5

Định lý tồn tại nghiệm

. . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.6

Định lý duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.7

Định lý tồn tại nghiệm duy nhất . . . . . . . . .

9

Một số kiến thức về phương trình tích phân . . . . . . .

9



11

2.1.1

Định nghĩa đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân

13

2.3

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 18

2.4

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích
phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


phương pháp nhiễu truyền thống và kỹ thuật đồng luân trong tôpô. Theo
phương pháp nhiễu đồng luân việc giải một phương trình phi tuyến ban
đầu được đưa về giải một dãy các phương trình tuyến tính.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về Phương pháp nhiễu đồng luân
và các ứng dụng của phương pháp này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS
Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp nhiễu đồng luân
và ứng dụng vào giải một số lớp phương trình vi - tích phân”
để thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân và phương
trình vi - tích phân.

Footer Page 7 of 128.


Header Page 8 of 128.
2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào
giải một số lớp phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương
trình vi - tích phân tuyến tính và phi tuyến.

4. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu
Phương pháp nhiễu đồng luân và ứng dụng vào giải một số lớp phương
trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân.

5. Phương pháp nghiên cứu

2.5 Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân
phi tuyến

Footer Page 9 of 128.


Header Page 10 of 128.
4

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại một số kiến thức về các không gian hàm C[a,b] ,
m
, phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi C[a,b]

tích phân. Nội dung của chương được tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [3], [4], [5].

1.1

Một số kiến thức về chuỗi lũy thừa và các không
gian hàm

1.1.1

Chuỗi hàm

Cho dãy hàm {un } cùng xác định trên tập U ⊂ R. Chuỗi hàm là một
tổng vô hạn có dạng
∞

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.1), khi đó với x ∈ A chuỗi
∞

un (x) có tổng là S(x). Như vậy
n=1
∞

un (x), ∀x ∈ A.

S(x) =

(1.2)

n=1

1.1.2

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi hàm có dạng

∞

an x n
n=0

được gọi là chuỗi lũy thừa.
Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa có dạng (−R, R), trong đó R là bán
kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
1.1.3

n!
Nếu x0 = 0 thì chuỗi
f (0)
f (n) (0) n
f (x) = f (0) +
x + ... +
x + ...
1!
n!

Footer Page 11 of 128.


Header Page 12 of 128.
6

được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x).
Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản
x2 x3 x4
+
+
+ ... =
1) e = 1 + x +
2!
3!
4!

∞

x

x
+
+ ... =
2!
4!
3

5

x
x
4) sin x =x −
+
+ ... =
3!
5!
1.1.4

n=0
∞

xn
;
n!
(−1)

n=0
n
(−1) 2n


1.1.5

m
Không gian định chuẩn C[a,b]

m
Không gian C[a,b]
là tập tất cả các hàm số x(t) giá trị thực xác định,

liên tục và có đạo hàm liên tục cấp m trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).
m
Chuẩn trong không gian C[a,b]
được xác định bởi công thức

x =

Footer Page 12 of 128.

m
k=0

max0≤t≤1 x(k) (t) .


Header Page 13 of 128.
7

1.2

Một số khái niệm về phương trình vi phân

Nghiệm của bài toán phương trình vi phân cấp n là hàm số y(x) khả vi
cấp n xác định trong khoảng (a, b) sao cho
x, ϕ (x) , ϕ (x) , . . . , ϕ(n) (x) ∈ G, ∀x ∈ (a, b)
và F x, y(x), y (x), . . . , y (n) (x) = 0, ∀x ∈ (a, b).

Footer Page 13 of 128.


Header Page 14 of 128.
8

1.2.3

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.4) là bài toán tìm nghiệm
của phương trình đó thỏa mãn n điều kiện ban đầu:
y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) )
(n−1)
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)

trong đó x0 , y0 , y0 , . . . , y0

(1.5)

là một điểm trong tùy ý cho trước thuộc

G.
1.2.4


Header Page 15 of 128.
9

1.2.7

Định lý tồn tại nghiệm duy nhất

Giả sử hàm f (x, u1 , u2 , . . . , un ) liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , . . . , un . Khi đó với điểm trong
x0 , y0 , y0 , . . . , y0 (n−1) ∈ G bất kì tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của
phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0 (n−1) .
Nghiệm đó xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0 .

1.3

Một số kiến thức về phương trình tích phân

1.3.1

Phương trình tích phân tuyến tính loại hai

Phương trình tích phân tuyến tính Fredhohm loại hai trong trường
hợp tổng quát là phương trình có dạng
b

u(x) = f (x) + λ

k(x, t)u(t)dt,

Header Page 16 of 128.
10

1.4

Một số kiến thức về phương trình vi - tích phân

Trong luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân
giải phương trình vi – tích phân Volterra bậc n có dạng sau
x
(n)

K[x, t, u(t), u (t), . . . , u(n) (t)]dt

u (x) = g(x) +
0

u(0) = u0 , u (0) = u1 , . . . , u(n−1) (0) = un−1
và phương trình vi – tích phân Fredholm bậc n như sau
1
(n)

K[x, t, u(t), u (t), . . . , u(n) (t)]dt, ∀x ∈ [0, 1],

u (x) = g(x) +
0

u(0) = u0 , u (0) = u1 , . . . , u(n−1) (0) = un−1 .

Footer Page 16 of 128.

2.1.1

Định nghĩa đồng luân

Giả sử X và Y là hai không gian tôpô, f và g là hai ánh xạ từ X vào
Y . Một ánh xạ liên tục
H (x, p) : X × [0, 1] → Y
được gọi là phép đồng luân của f và g nếu
H (x, 0) = f (x) ,
2.1.2

H (x, 1) = g (x) ,

∀x ∈ X.

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình toán tử

Giả sử X và Y là hai không gian Banach, A là một toán tử từ X vào
Y.
Xét phương trình toán tử
Au = y

(2.1)

trong đó y là phần tử cho trước thuộc Y , u là phần tử cần tìm, L là toán
tử tuyến tính khả nghịch cho trước. Để giải phương trình (2.1) người ta
xây dựng một phép đồng luân lồi có dạng
H (u, p) ≡ (1 − p) L (u − u0 ) + p (Au − y) , p ∈ [0, 1]

(2.2)


n=0

Thay ϕ(x, p) vào phương trình đồng luân và cân bằng các hệ số bên các
lũy thừa cùng bậc ta đi đến những phương trình (hoặc biểu thức) để xác
định các hàm un (x) (n = 0, 1, 2, . . .). Cho p = 1 ở biểu thức (2.5) ta
được

∝

u (x) = ϕ (x, 1) =

un (x)
n=0

Giả sử ta xác định được N hàm un (x). Khi đó nghiệm xấp xỉ của phương
trình có dạng
N

un (x)

uN (x) =
n=0

2.2

Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình
vi phân

Ví dụ 2.2.1. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán

(1 − p)(y 0 + y 1 p + y 2 p2 + ...) + p y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .
−2x y0 + y1 p + y2 p2 + ...

=0

⇔ y0 + y1 p + y2 p2 + . . . − 2xpy0 − 2xp2 y1 − 2xp3 y2 − . . . = 0
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
p1 : y1 = 2xy0 , y1 (0) = 0

(2.9)

p2 : y2 = 2xy1 , y2 (0) = 0
..
.

(2.10)

Với y0 = 1
Giải phương trình (2.9) ta được
y1 (x) = x2

(2.11)

Thay (2.11) vào (2.10) ta nhận được:
y2 (x) = 2x3

(2.12)

Giải (2.12) ta thu được

Cauchy sau
y = 1 + y 2 , y(0) = 0
Giải.
Chọn
L(y) = y ,

N (y) = −1 − y 2

và y0 = 0.
Xây dựng phương trình đồng luân sau
H(y, p) = (1 − p)(y − 0) + p(y − y 2 − 1) = 0

(2.13)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + . . .

(2.14)

Thay (2.14) vào (2.13) ta được
(1 − p)(y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .) + p y 0 + y 1 p + y 2 p2 + . . .
− (y0 + y1 p + y2 p2 + . . .)2 − 1] = 0
⇔ y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + . . . − p − py 2 0 − 2p2 y0 y1 − p3 y 2 1
− 2p3 y0 y2 − . . . = 0
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
p1 : y1 = 1 + y02 , y1 (0) = 0
p2 : y2 = 2y0 y1 , y2 (0) = 0
p3 : y3 = y12 + 2y0 y2 , y3 (0) = 0


Giải.
Chọn
2
L(u) = u + u
x

N (u) = u g(x) = x5 + 30x3

và u0 = 0.
Xây dựng phương trình đồng luân sau
(1 − p) (L(u) − L(u0 )) + p (L(u) + N (u) − g(x)) = 0
ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Suy ra
2
2
(1 − p)(u + u ) + p(u + u + u − x5 − 30x3 ) = 0
x
x
2
⇔ u + u + pu − (x5 + 30x3 )p = 0
(2.16)
x
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .
Footer Page 22 of 128.

(2.17)



1 7
x + x5
56
1 9
1
u2 (x) = −
x − x7
5040
56
1
1 9
x11 +
x.
u3 (x) =
665280
5040
..
.
u1 (x) =

Do đó
u(x) =

1 7
1 9
1
1
1 9
x + x5 −
x − x7 +


0

Giải.
Xét phương trình đồng luân
x

(x − t) u(t)dt,

u(x) = x + pλ

(2.19)

0

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
Với p = 0 ta có nghiệm u0 (x) = x
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .

(2.20)

Thay nghiệm đó vào phương trình (2.19) rồi cân bằng các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc ta có kết quả
p0 : u0 (x) = x,
x

x3
p : u1 (x) = λ
(x − t)tdt = λ,


n

ui (x) =
i=0

x2i−1
λ
(2i − 1)!
i

i=0

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi λ.

x2i−1
Nghiệm xấp xỉ của phương trình là vn (x) =
ui (x) = λ
(2i − 1)!
i=0
i=0
n

Footer Page 24 of 128.

n

i



(2.22)

0

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng.
√
Với p = 0 ta có nghiệm u0 (x) = x,
Giả sử nghiệm của phương trình đồng luân có dạng
u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + . . .

(2.23)

Thay nghiệm đó vào phương trình (2.22) rồi cân bằng các hệ số của các
lũy thừa cùng bậc ta có kết quả
p0 : u0 (x) =

√

x,

√
2λx
xt tdt =
,
5
0
1
2λt
2λ2
2

2 2
2 3
6
x+
x+
0λ +
1λ +
2λ + . . . =
5
5.3
5.3
5.3

n

i=1

λ
3

i

x

Chuỗi trên là chuỗi hội tụ với mọi |λ| < 3.
Nghiệm xấp xỉ của phương trình là u (x) ≈ sn (x) =

Footer Page 25 of 128.

√