Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
1
1
Hè 2009
NGUYỄN VĂN NĂM - LÊ HOÀNG NAM
THPT Lê Hông Phong ( Đồng Nai) – THPT Lê Quý Đôn (Đà Nẵng)
vannamlhp – mylove288
k n k n n n n n
n n n n
k
a b C a b C a C a b C b
a b C a b C a C a b C b
2. Tính Chất
a. Số các số hạng của công thức là 1n
b. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị
thức: n n k n
c. Số hạng tổng quát của nhị thức là:
1
k n k k
k n
T C a b
(Đó là số hạng thứ 1k trong khai triển
n
1
....................
1..................
1 ......................1
............................................................
m m
k k
m
k
n k C C
n k C
...........Với
1
1
m m m
k k k
C C C
0 1
0
0 1
0
2 1 1 ...
0 1 1 1 ... 1
n
n
n k n
n n n n
k
n
n k n
k n
n n n n
k
C C C C
C C C C
0 1 1 0
0
1 ...
n
n k n
k n k n n
n n n n
k
x C x C C x C x
4. Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức NEWTON
1. Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có
1
n
i
n
i
C
với
i
là các số tự
nhiên liên tiếp.
2. Trong biểu thức có
1
k i
n
i
a C
thì ta chọn giá trị của x a thích hợp.
Trong biểu thức có
1
1
1
n
i
n
i
C
i
thì ta lấy tích phân xác định trên
;a b thích
hợp.
Nếu bài toán cho khai triển
1 1
n n
n n i i
1
2
n
k
với n lẻ,
2
n
k với n chẵn.
Việc nhận biết các dấu hiệu này sẽ giúp cho chúng ta giải quyết tốt những dạng toán liên
quan đến nhị thức NEWTON, đặt biệt là trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
B. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC
1. Bài toán tìm hệ số trong khai triển NEWTON
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
4
4
Ví dụ 1.1: (D(H Thủy lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
9 10 14
1 1 ... 1Q x x x x
Ta được đa thức:
14
1 6
10
2
x x x
A A C
x
Giải
Điều kiện: x là số nguyên dương và
3x
Ta có: bất phương trình tương đương với
2 1 2 6 2 1
1 10
2 3!
2 2 1 1 2 1 10
3 12 4
x x x x
x x
x
x x x x x x
x x
10 10
20 2 20
10 10
0 0
2 2
k k
k k k k k
k k
C x x C x
Ta chọn:
20 16 4k k
Hệ số
16
x trong khai triển là:
4
10
3360C
x
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
5
5
Ta chọn:
4018 5 1008 602k k
Hệ số của
1008
x trong khai triển là
602
2009
C
Ví dụ 1.5:(ĐH KA 2004) Tìm hệ số của
8
x trong khai triển đa thức của
.
Vậy ta có hệ số của
8
x là
8
1
i
k i
k
C C thỏa
0
0 8
4
2 8
2
,
3
i
i k
k
k i
i
i k N
k
Cách 2: Ta có:
3 4 8
3 2 4 2 80
8 8 8 8
2
... ..1 .1 1f x C C x x C x x C x x
Nhận thấy:
8
x chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ tư:
2
8
3
3
1C x x
Số hạng thứ năm:
10
2
1 2 3 1 2 3P x x x x x
2 3 10
0 1 2 2 3 3 10 10
10 10 10 10 10
2 3 2 3 2 3 ... 2 3C C x x C x x C x x C x x
Nhận thấy rằng hệ số
3
x chỉ xuất hiện trong:
2 2
10 10 10
2 3 3
2 3 3 2 3 3 3
10
4
4 122 3 2 3 9 2 3x x xC x xx C xC x x C
Hệ số
3
x trong khai triển của
2 2 2
16
1 0
1
n
k
k
i
i k
f x C C x x
16 16
2
2 2
16 16
0 0 0 0
1 1 1
k k
k i i
k i
k k i i k i
k k
i k i k
k i i k
i k N i k
i k
Vì vậy hệ số của
16
x trong đa thức là:
8 0 7 1 6 2 5 3 4 4
16 8 16 7 16 8 16 8 16 8
258570C C C C C C C C C C
200
0
1 .2 .3 . .
k
k k k k k
k
C x y
Ta chon:
200 101
99
99
k
k
k
Vậy hệ số cần tìm là:
99
99 99 99 99 99 99
Giải
a) Số hạng thứ
1k trong khai triển là:
12 12 2
12 12
0 12
1
k
k k k k
k
a C x C x
x
k
Ta chọn 12 2 8 2k k
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa
8
x
và có hệ số là:
2
12
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
7
7
10
102 2
n
n
Do đó hệ số a (của
12
x
) là:
6
10
210C
c)
Ví dụ 1. 10: (D(H Khối A- 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x trong khai triển nhị
thức NEWTON của
7
4
1
n
x
x
2 1
2 1 2 1
, , 0 2 1
k n k
n n
C C k k n
, nên:
0 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
... ... 2
2
n n
n n n n n n
C C C C C C
Từ khai triển nhị thức của:
2 1
1 1 :
n
suy ra
0 0
1
n n
k k
k k k
k k
x C x x C x
x
Hệ số của
26
x là
10
k
C với
k
thỏa mãn
11 40 26 6k k
Vậy hệ số của
26
x là
k k
x C x x C x
x C x x C x
Nhận xét: Số hạng chứa
5
x của
4
2 1 là 0x
Số hạng chứa
5
x của
5 5
0
5
2 1 là 2x C x
Số hạng chứa
5
x của
là hệ số của
3 3n
x
trong khai triển thành đa thức của
2
1 2
n
n
x x . Tìm n để
3 3
26
n
a n
Giải
Cách 1: Ta có
2 2 1 2 2 2 2 4
1 1 2 2 2
0
0
1 ...
2 2 2 ... 2
n
n
n
x x là:
2
3 3
5
2 2 3 4
26 26
7
3
( )
2
n
n
n n n
n n
n L
a
oai
n n
k k k i i
n n
k
n
i
C Cx
C x C x
x x x
x x x x
x
Nên của hệ số của
3 3n
x
là:
2
3 3
5
2 2 3 4
26 26
7
3
( )
2
n
n
n n n
n n
n L
a
oai
( n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C và số hạng thứ tư
bằng
20n
. Tính n và x .
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
9
9
Giải
Điều kiện:
n N
và
3n
Ta có:
3 1
ta có:
7 7
7
1 1
7
3 32 2
7
0
2 2
k
x x
x x
k
k
x C x
Vậy số hạng thứ tư trong khai triển trên là:
3
4
n
x
x
có tổng 2 số
hạng thứ
3
và thứ
5
bằng
135
, còn tổng
3
hệ số của
3
số hạng cuối bằng 22
Giải
Từ giải thiết ta có:
2 1 2 2
2 4
2 1 2 4
2 1
2 2 9
2 .2 2 135
2 2
2 2 1
4 1
2 2
1 1
4
2 9 2 2 0
2 2
2 2
42 0
6
7 ( )
x
x
t x
t x
t t t t x
t
n n
n
n Loai
là giá trị cần tìm.
Ví dụ 1.15: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển:
17
1
1
5
x
Giải
Xét khai triển:
17
17
17
0
1 1
1
5 5
k
k
k
k
1
1
1 1
5 5
max
1 1
5 5
k k
k k
k k
k k
k k
k k
a a
C C
a
C
a
C
2 3
17! 17! 18 5
5
! 17 ! 1 ! 18 !
k k k k
k k
k
k k
k k k k
Với
2k
thì hệ số là:
2
1
5.44
5
C
Từ Ví dụ trên ta đi đến bài toán tổng quát sau:
Ví dụ: 1.15.2 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức NEWTON của
n
a bx
Phương pháp giải: Xét khai triển
n
a bx có số hạng tổng quát
k n k k k
n
C a b x
Ta đặt: , 0
k n k
k
k
n
u k nC a b
1 1
0 1 0
...
k k
k u u u
Từ đó ta có số hạng lớn nhất của dãy là
0 1
max ,
k k
u u
Tuy nhiên để đơn giản chúng ta có thể làm như sau:
Giải hệ bất phương trình
1
0
1
k k
k k
u u
k
u u
12
12
0
21 2 1
k
k
k
k
C xx
12
2 0,1,2,...,12 1
k k
k
a C k
Xét bất đẳng thức:
1k k
a a
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
0 1 7 8 9 12
... ...a a a a a a
8 18
0 1 2 12 8 12
max , , ..., .2 126720a a a a a C
Cách 2: Gọi
k
a là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra:
1k k
a a
Từ đây ta có được hệ bất phương trình:
1 1
12 12
1 1
12 12
2 1
2 2
23 25
12 1
8
1 2
3 3
2 2
12 1
k k k k
k k k k
C C
x trong khai triển và rút gọn tổng sau:
4 5 15
1 1 ... 1f x x x x
Giải
Vì tổng
f x có 12 số hạng nên ta có:
12 16 4
4
1 1 1 1
1
1 1
x x x
f x x
x x
Hệ số của số hạng chứa
4
x là hệ số của số hạng chứa
5
x trong
m m m n
S x bx bx bx
như là tổng n số hạng đầu
tiên của cấp số nhân với
1
1
1
m
u bx
và công bội
1q bx
Áp dụng công thức
1.9 ta được:
1 1
1
1 1 1 1
1
1 1
n m n m
m
bx bx bx
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
12
12
Ví dụ 1.18: Tìm hệ số của số hạng chứa x và rút gọn tổng sau:
2 1
1 2 1 ... 1 1 1
n n
S x x x n x n x
Giải
Ta có:
2 1
1 1 2 1 ... 1 1 1
n n
S x x x n x n x
Đặt:
x
của
F x
Tổng
F x có n số hạng
1
1 1 1 1
1
1 1
n n
x x x
F x x
x x
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của
2
1n
F x C
Giải
Số hạng thứ 21 trong khai triển là:
20
20 5 20 5 20 20
25 25
2 3 2 3C x C x
Ví dụ 2.2 Tìm số hạng chứa chứa
28
x trong khai triển
10
3
x xy
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
10
3 30 2
1 10 10
k
k
k k k k
k
T C x xy C x y
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
13
13
Giải
a. Khai triển
20
3
x xy có 21 1 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng
thứ 11 và 12
Số hạng thứ 11:
11
10
10 3 10 43 10
21 21
C x xy C x y
Số hạng thứ 12:
10
11
11 3 10 41 11
21 21
C x xy C x y
2
10 10
6 34
3
20 20
C x xy C x y
( Với
x là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ).
Ví dụ 2.4 Tìm số hạng chứa
3
x trong khai triển
10
1 1x x
Giải
Cách 1: Xét khai triển
10
1
k
k k
C x x
Số hạng chứa
3
x ứng với:
2 3k
Với
2k
ta được:
2
2 2
10
1C x x nên số hạng chứa
3
x là:
2 3
10
2C x
Với
k
ta được:
3
3 3
7 7
7
3
3 12
1 7 7
4
1
, 7
k
k
k
k k
k
T C x C x k N k
x
Ứng với số hạng không chứa x ta có:
7 7
0 4
3 12
k k
Số hạng tổng quát trong khai triển:
17
2 3
3 4
1 17
k k
k
k
T C x x
Với
0 17,k k Z
3 2 34 17 34
4 3 3 12 3
17 17
k k k
k k
C x C x
Đến đây ta phải tìm
k
1 1 1 1
3 6 6 2
3
3
. .
a b
a b a b
b a
21 3 21 63 4
21
21 21
3 6 6 6 32
21 21
0 0
. . .
k k k k k
k
k k
k k
C a b a b C a b
x x xx
. Hãy tìm
số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng:
1 2
79
n n n
n n n
C C C
Giải
Từ giả thiết ta có:
1 2
1
79 1 79
2
n n n
n n n
n n
3
5 3 15 15
12 12 12
.
k
k k k
k
k k k
C x x x C x C x
Số hạng này không phụ thuộc vào
48
16 0 5
15
x k k
Vậy số hạng cần tìm là:
5
12
792C
Ví dụ: 2.9: Tìm số hạng thứ
6
k
k n
a C
Với
12
0 1
... 40961 1 2 122
n
n
a a a nx
Cách 2: Tổng tấc cả các hệ số trong khai triển là:
0 1 0 12
0
0 12 12 12
0
... 4079 2
1 .1 2 1 1 2 12
n
n
n n n n
k
n
n k n
k n
n
k
C C C C
C n
12
2 2
792
x y x
C
y x y
Ví dụ 2.10:( ĐH SPHN- 2001) Cho khai triển nhị thức:
10
9 10
0 1 9 10
1 2
...
3 3
x a a x a x a x
k
a đạt
1
1 1
1
1
0 10
1 1
10 10
2 2
max
2 2
k k
k k
k k k k
k k k k
C C
C
a a
C
a a
Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng
Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009)
Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam
16
16
7 , 0,10k k N k
Vậy
7
Số hạng thứ
1k
:
1 1000
1
5
k
k
k
T C
Số hạng thứ
1k
:
2
1 1000
2
1
5
k
k
k
T C
1 1
1002 5 5
1001 5
1001 1007
167
1
166
1
max
5
k
T C
Ví dụ 2.12: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
10
3
1
5
2
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển:
10
11
10
32
3
32
10
1 1 1 2 5
5 2 5
32
Với
0k
số hạng hữu tỉ là
0
10
1 1
32 32
C
Với
6k
số hạng hữu tỷ là
3 2
10
1 2625
2 .5
Copyright: Tài liệu đại học ©