một số bài toán đại số và số học
Bài1: Cho các số x, y thỏa mãn:
(x +
2
2009x +
)(y +
2
2009y +
) = 2009 (1)
Tính giá trị của biểu thức A =
2009 2009
x y+
Lời giải:
+ Ta có: (1)

2009(y +
2
2009y +
) = 2009(
2
2009x +
- x)


(y +
2
2009y +
) = (
2
2009x +
- x) (2)

y
-
1
4
= 0. Do
2
y


0 nên: (x + y -
5
2
)
2
-
1
4

0


-
1
2


(x + y -
5
2
)

2

T

3


2

x + y

3
Vậy ta tìm đợc các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 0) và (3;0)
Bài3: Cho các số nguyên dơng khác nhau: a
1
; a
2
;...; a
900
. Chứng minh rằng
phơng trình :
1 2 900
1 1 1
... 60
a a a
+ + + =
vô nghiệm
Lời giải: Ta chứng minh đẳng thức:
1
2( 1)n n

;...; a
900
là các số nguyên dơng khác nhau nên tacó:
1 2 900
1 1 1
...
a a a
+ + +



1 1 1
...
1 2 900
+ + +
< 2(-
0
+
1 1 2 2 ... 899 899 900 + + + +
) = 60. Suy ra:
1 2 900
1 1 1
...
a a a
+ + +
< 60. Vậy phơng trình
1 2 900
1 1 1
... 60
a a a

C = 2008t
2
2t + 1 = 2008(t
2
2t
2008
1
+
2008
1
)
C= 2008(t
2
2t
2008
1
+
2
2008
1
-
2
2008
1
+
2008
1
)
C = 2008(t -
2008

+

(C - 1) x
2
+ 2x 2008 = 0 (2)
+ Nếu C = 1 suy ra x = 1004 (*)
+ Nếu C

1 thì giá trị của C nếu có chính là điều kiện có nghiệm của phơng
trình (2)

,

= 1 + 2008(C - 1)

0

C


2008
2007
suy ra GTNN(C) =
2008
2007


,

=


,

= 0

a =
2008
2007
. Với a =
2008
2007
thì: C -
2008
2007
=
2
2
2008
)2008(
x
x


0. Dấu
bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 2008

C =
2008
2007
. Vậy GTNN(C) =

2008
)2008(
x
x
−
+
2008
2007

≥

2008
2007
(Do x
≠
0)
DÊu b»ng xÈy ra khi vµ chØ khi: x = 2008. VËy GTNN(C) =
2008
2007
Cßn n÷a...