30 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 3 + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO – ĐỀ SỐ 2
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Câu 1: Cho hàm số y   x 2  3 x  5 . Số điểm cực trị của hàm số trên là:
A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Câu 2: Hình vẽ là đồ thị hàm số y  f  x  . Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
y  f  x  1  m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả

các phần tử của S bằng
A. 9.

B. 12.

C. 18.

D. 15.

Câu 3: Cho hàm số f  x  xác định trên R và có đồ thị f '  x 
như hình vẽ. Đặt g  x   f  x   x. Hàm số g  x  đạt cực đại
tại điểm nào sau đây?
A. x = 1.

B. x = 2.

3
 3

B. S  1;1 .

 1 1 
C. S  
; .
 3 3

 1 1 
D. S  
;
.
 2 2

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  với đạo hàm f '  x  có đồ thị
như hình vẽ. hàm số g  x   f  x  

x3
 x 2  x  2 đạt cực
3

đại tại điểm nào?
A. x  1.

B. x  1.

C. x  0.




2

D. 

1
33

.

 x2  2 x  , với mọi x  R. Có bao nhiêu giá trị



nguyên dương của tham số m để hàm số y  f x 2  8 x  m có 5 điểm cực trị?
A. 16.

B. 17.

C. 15.

D. 18.

Câu 10: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f  x  . Gọi S
là tập hợp các số nguyên dương của tham số m để hàm số
y  f  x  1  m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các

phần tử của S bằng:
A. 12.





Câu 12: Cho hàm số y  x 4  2 1  m 2 x 2  m  1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực
đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất.
A. m  0.

1
B. m   .
2

C. m  1.

1
D. m  .
2

Câu 13: Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  trên . Hình
vẽ bên là đồ thị của hàm số f '  x  trên . Hỏi hàm số
y  f  x   2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.


trị của tham số m bằng
A. 1.

B.

1
.
2

C.

1
.
3

D. 2.

Câu 17: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y  f  x  . Có bao nhiêu giá trị
nguyên dương của tham số m để hàm số y  f  x  1  m có 5 điểm
cực trị?
A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.




số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f 1  x 2



đạt cực đại tại điểm:
A. x  1.

B. x  3.

C. x  0.

D. x   2.
3

Câu 21: Số nguyên bé nhất của tham số m sao cho hàm số y  x  2 mx 2  5 x  3 có 5 điểm cực trị là:
A. -2.

B. 2.

C. 5.

D. 0.

Câu 22: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên R, có đồ thị f '  x 
như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x   x.
A. Không có điểm cực tiểu.

B. x  2.

C. x  0.


a  b  1
Câu 25: Cho hàm số f  x   x 3  ax 2  bx  2 thỏa mãn 
. Số điểm cực trị của hàm số
3  2 a  b  0

y  f  x  bằng:
A. 5.

B. 9.

C. 2.

D. 11.

Câu 26: Cho hàm số y  x 4  4 mx 2  4 có đồ thị hàm số (Cm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
các điểm cực trị của (Cm) thuộc các trục tọa độ.
A. m  0.

1
B. m   .
2

C. m  0.

1
D. m  0 hoặc m   .
2

1 

 4 5

5

D.  ; 1   ;   .
4


5


Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R.
Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ. Số điểm cực trị của
hàm số g  x   f  x   4 x là
A. 2.
C. 1

B. 3.
.

D. 4.

Câu 30: Cho hàm số y  f  x  xác định trên R và có bảng biến thiên như sau:

x



f ' x



6


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.D

2.B

3.D

4.D

5.C

6.B

7.C

8.C

9.C

10.A

11.A

12.A

13.A


29.C

30.D

Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
Vẽ đồ thị hàm số hoặc BBT và dựa vào đó để kết luận số điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
Ta có đồ thị hàm số y   x 2  3 x  5 có dạng:

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 2: Chọn B.
Phương pháp:
+ Xác định đồ thị hàm số y  f  x  1
+ Áp dụng tính chất: Số cực trị của đồ thị hàm số y  f  x  bằng tổng số cực trị của đồ thị hàm số

y  f  x  và số giao điểm (không phải là cực trị) của đồ thị hàm số y  f  x  với Ox.
Cách giải
Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y  f  x  1 .
Do đó đồ thị hàm số y  f  x  1 có 3 cực trị và có 4 giao điểm với Ox.
Để được đồ thị hàm số y  f  x   m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  1 lên
trên m đơn vị
Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số y  f  x  1  m cắt Ox tại đúng 2 điểm (không phải là điểm
cực trị của chính nó), do đó 3  m  6  S  3;4;5 .
Tổng giá trị các phần tử của S là 12.
7


Câu 3: Chọn D.

2
-

0

+

g x

Ta thấy qua x0  1 thì g’(x) đổi dấu từ dương sang âm, qua x0 =1 thì g’(x) không đổi dấu (luôn mang dấu
âm) và qua x0 = -2, g’(x) đổi dấu từ âm sang dương.
Vậy x0 = -1 là điểm cực đại của hàm số y  g  x  .
Câu 4: Chọn D.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm số và tìm nghiệm của phương trình y '  0 dựa vào bài toán tương giao và đồ thị
hàm số y  f  x   Số điểm cực trị của hàm số cần tìm.
Cách giải:
f x
f x
f x
f x
Xét hàm số g  x   2    3    g '  x   f '  x  .2  . ln 2  f '  x  .3  . ln 3; x  R

 f ' x  0
 f '  x   1(1)
 f ' x  0


ln 3
  2  f  x  ln 3  

Tìm tọa độ các điểm cực trị của hàm số trùng phương sau đó dựa vào tính chất của tứ giác nội tiếp đường
tròn để tìm được tham số m
Cách giải:

x  0
Ta có y '  4 x 3  4 m 2 x  0  x x 2  m 2  0   2
(*).
 x  m 2









Để hàm số có 3 điểm cực trị  m  0. Khi đó, gọi A 0; m 4  3 , B  m;3 , C  m;3 là 3 điểm cực trị.
Vì y A  yB  yC nên yêu cầu bào toán  Tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn (C).

 AB  AC
Và 
suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
OB  OC
 
 OA là đường kính của đường tròn (C)  OB. AB  0 (I).





f '  2   1   2  1  x  2 là nghiệm của g '  x  .
Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x1  0; x2  1; x3  2.
2

Vẽ đồ thị hàm số y   x  1 trên cùng mặt tọa độ với y  f '  x  ta thấy:
9


Trong khoảng (0;1) thì đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía trên đồ thị hàm số y   x  1

2

nên

2

nên

g '  x   0, x   0;1 .
Trong khoảng (1;2) thì đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía trên đồ thị hàm số y   x  1

g '  x   0, x  1;2  .
Vậy x  1 là điểm cực đại của hàm số y  g  x  .
Câu 7: Chọn C.
Phương pháp:
Dựa vào điều kiện để một điểm là điểm cực trị của hàm số
Cách giải:

 x  0; x  1
Ta có f '  x   0  x 2  x  1 x 2  2 mx  5  0   2


b5
32 a3

.

Cách giải:
Ta có y '  4 x 3  4 m  m  2  x, x  .
10


 y '  0  4 x 3  4m  m  2  x  0

x  0
 4x x2  m  m  2  0  
.
2
g
x

x

m
m

2

0(*)




2 2

2

1   m  1 .

2

Mà  m  1  0;  m  1   m  1  1  S  1.
Dấu “=” xảy ra khi m  1. (tm)
Câu 9: Chọn C.
Phương pháp:





Đặt g  x   f x 2  8 x  m , tính g '  x  và giải phương trình g '  x  = 0, tìm điều kiện để phương trình có 5
nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó g '  x  đổi dấu.
Cách giải:

x  4
Ta có: g '  x    2 x  8  . f ' x 2  8 x  m  0  
. (I)
2
 f ' x  8 x  m  0 (*)




Qua các nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì g '  x  đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương
trình (1).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2);(3) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.

16  m  0
16  m  2  0


 m  16

16

m

0

18  m  0
11


Kết hợp m  Z   có 15 giá trị m cần tìm.
Câu 10: Chọn A.
Phương pháp:
Suy ra cách vẽ của đồ thị hàm số y  f  x  1  m và thử các trường hợp và đếm số cực trị của đồ thị hàm
số. Một điểm được gọi là cực trị của hàm số nếu tại đó hàm số liên tục và đổi chiều.
Cách giải:
Đồ thị hàm số y  f  x  1 nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải 1 đơn vị nên
không làm thay đổi tung độ các điểm cực trị.

Đồ thị hàm số y  f  x  1  m nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  1 lên trên m đơn vị

2

Khi x  1 ta có: f '  x   x 2 
f '  x   x2 

3
3
x   g '  x   0, khi x  1 ta có
2
2

3
3
x   g ' x  0
2
2

Qua x  1, g '  x  đổi dấu từ dương sang âm  x  1 là điểm cực đại của
đồ thị hàm số y  g  x 
chứng minh tương tự ta được x  1 là điểm cực tiểu và x  3 là điểm cực đại của đồ thị hàm số

y  g  x .
Câu 12: Chọn A.
Phương pháp:
Tìm tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và tính diện tích tam giác
Cách giải:
TXĐ: D = R.














2
2

 

Gọi A  0; m  1 , B  1  m 2 ;  m 2  1  m  1  ,C   1  m 2 ;  m 2  1  m  1  là ba điểm cực trị. Tam

 

giác ABC cân tại A.







 



5



1  m2



5

 1  SABC  1.

Vậy Smax = 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = 0.
Câu 13: Chọn A.
Phương pháp:
Tính đạo hàm của hàm hợp, giải phương trình đạo hàm để tìm số điểm cực trị
Cách giải:

 x  x1  0
Dựa vào hình vẽ, ta thấy f '  x   0 có 3 nghiệm phân biệt 
.
 x   x2 ; x3  0

 f  x   2018khix  0
Ta có: g  x   f  x   2018  
.
f

x


Ta có y  x 4  x 3  x 2  m  y ' 
2

 4 x3  3x2  x   x 4  x3  12 x2  m 
1
x  x  x2  m
2
4

3

; x  D.


1

 4 x 3  3x 2  x  0
 x  1;0; 4 


Phương trình y '  0  

.
 x 4  x3  1 x2  m  0

1 2
4
3

2

m   3 ; 1 



 256 2
 2 256 





Kết hợp với m   và m   5;5 , ta được m  5; 4; 3; 2; 1;0 .
Vậy có 6 giá trị nguyên m cần tìm.
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
Công thức đạo hàm hàm hợp: y  f  u  x    y '  f '  u  x   .u '  x  .
Cách giải:

15


 x 2  2

 x2  0
x  0
 f ' x2  0


2
2

1

3

f ' x2

+

0

-

0

+

0

+

0

-

0

+

x


0

-

0

+

0

-

0

+

 

Vậy, g  x   f x 2 đạt cực trị tại 5 điểm x  0; x  1; x   3.
Câu 16: Chọn A.
Phương pháp:
Xác định tọa độ ba điểm cực trị (biểu diễn thông qua tham số m)
Dựa vào tính chất trực tâm để tìm giá trị của m.
Cách giải:

y  x 4  2 mx 2  m  1  y '  4 x 3  4 mx
x  0
y'  0   2
 x  m
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị  m  0. Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị:






m ; m2



m   m  1 .0  0 (luôn đúng)



 





m . m   m 2  m  1  m 2  0   m  m 4  m3  m 2  0  m m3  m 2  m  1  0
16






 m  0(ktm)
 m  m  1 m 2  1  0  
.

Số nghiệm phương trình g '  x   0  2018. f ' 1  2  18 x   0 
 có 4 điểm. Số nghiệm của phương

 có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.
trình f 1  2018 x   0 
Vậy hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Xác định tọa độ các điểm cực trị và tìm điều kiện để O, A, B, C là các đỉnh của một hình thoi.
Cách giải:

y  x 4  2m2 x 2  2m  y '  4 x 3  4m2 x
17


x  0
y '  0  4 x 3  4m2 x  0   2
.
 x  m 2
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m  0. Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị:







A m; m 4  2 m , B  0;2 m  , C m; m 4  2 m



 m  0( L)
 4

.
 m  m  0
 m  1( TM )
Vậy, m = 1.
Câu 20: Chọn D.
Phương pháp:
Hàm số đạt cực đại tại x  x0 khi y ' đổi dấu từ dương sang âm tại điểm đó.
Cách giải:







y  f 1  x 2  y '  2 x. f ' 1  x 2



x  0
x  0

x  0
2
y'  0  

1



f ' 1  x2





|

+

0

+
0

Vậy, hàm số y  f 1  x 2  đạt cực đại tại điểm x  

0
-



y '  2 x. f ' 1  x 2



2


Câu 21: Chọn B.
Phương pháp:
18


3

Đánh giá số điểm cực trị của hàm số y  x  2 mx 2  5 x  3 qua hàm số y  x 3  2 mx 2  5 x  3
Cách giải:

 '  0
3
Xét hàm số y  x  2 mx 2  5 x  3 có 5 điểm cực trị thì 
(x1, x2 là nghiệm của phương trình
0  x1  x2
y '  0)


15
4 m 2  15  0
m 
2

15
 4m
 

0
 
 15  m 

x  2  f '  x   1  f '  x   1  0  g '  x   0

 Qua điểm x  2 thì g '  x  đổi dấu tù dương sang âm  x = 2 là điểm cực đại của hàm số y  g  x  .
Vậy hàm số g  x   f  x   x có 1 điểm cực tiểu.
19


Câu 23: Chọn C.
Phương pháp:
+) Giải phương trình y '  0 tìm tọa độ các điểm A, B, C.
 
+) O là trực tâm của tam giác ABC  AB.OC  0.
Cách giải:
TXĐ: D = R.

x  0
Ta có y '  4 x 3  4 mx  0   2
 x  m
Để hàm số có 3 điểm cực trị  m  0.
7 
7
 7 
 A  0;  ; B   m ; m 2   ;C  m ; m 2  
2 
2
 2 

 
7
 AB   m ; m 2 ; OC  m ; m 2  



m  0
Vậy, để hàm số f  x   x 3  3 x 2  m có đúng 3 điểm cực trị thì 
.
 m  4
Mà m   5;7  m  5; 4;0;1;2;3;4;5;6;7 . Có 10 giá trị m thỏa mãn.
Câu 25: Chọn D.
Cách giải:
f  x   x 3  ax 2  bx  2  f 1  a  b  1
f '  x   3 x 2  2 ax  b  f ' 1  3  2 a  b

 f 1  0
a  b  1
Theo đề bài, 

3  2 a  b  0  f ' 1  0
Khi đó, đồ thị hàm số y  f  x  có dạng như hình vẽ bên.
Như vậy, hàm số y  f  x  có tất cả 11 cực trị.
Câu 26: Chọn A.
Phương pháp:
Giải phương trình y '  0 tìm các điểm cực trị của hàm số.
Cách giải:
TXĐ: D = R.
 x  0  A  0; 4   Oy
y '  4 x 3  8mx  4 x x 2  2 m  0  
 x 2  2 m






Phương pháp:
+) Lấy y chia y ' lấy phần dư, xác định đường thẳng (d) đi qua hai điểm cực trị.
+) Tính khoảng cách từ điểm M đến (d) theo m, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của khoảng cách
đó.
Cách giải:
Ta có: y '  3mx 2  6 mx  2 m  1

m  1
Để hàm số có hai điểm cực trị  9m 2 3m  2 m  1  0  3m 2  3m  0  
m  0
Lấy y chia y’ lấy phần dư, ta tìm được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
y

2 m  2
1
10
x  m    2 m  2  x  3 y  m  10  0  d 
3
3
3

m  1  12  m  10

 d  M; d  

Đặt f  m  

2

m 
4 m 2  8m  13

2
2





Lập BBT:

m
f 'm
f m






1
2

0

0

5
2

4


Giả sử x1, x2 ,  x1  x2  là nghiệm của phương trình y '  0. Theo Vi-et: x1  x2 

4m  2
2m
, x1 x2 
3
3

Do a = 1 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = x2.

 x1  1 x2  1  0
 x1 x2   x1  x2   1  0
The đề bài, ta có: điểm cực tiểu nhỏ hơn 1  x1  x2  1  

 x1  1   x2  1  0  x1  x2   2  0
 2  m 4m  2

1  0

5m  7  0
7
3
 3

m
5
4m  8  0


Cách giải:
Xét đồ thị y  f  x   m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy. Từ bảng biến thiên
ta thấy y  f  x  đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục Oy. Vậy nếu giả sử y  f  x   m
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ dương thì đồ thị hàm số y  f  x   m sẽ có 5 điểm cực trị (theo lí thuyết
phần phương pháp), suy ra đồ thị hàm số y  f  x   m sẽ có 11 điểm cực trị (theo lí thuyết phần phương
pháp). Như vậy ta tìm điều kiện của m để phương trình f  x   m  0 có 3 nghiệm dương phân biệt. Từ bảng
biến thiên dễ thấy với 0 < m < 1 thỏa mãn.

24