35 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN NGHIỆM, BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO –
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỨC ĐỘ 1 + 2: NHẬN BIẾT + THÔNG HIỂU
Câu 1: Đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  2 x  1 cắt đồ thị hàm số y  x 2  3 x  1 tại hai điểm phân biệt A, B.
Tính độ dài AB.
A. AB  3.
Câu 2: Cho hàm số y 

B. AB  2 2.

C. AB  2.

D. AB  1.

2x 1
có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng
x 1

d : y  x  m  1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB thỏa mãn AB  2 3.
A. m  4  3.

B. m  2  3.

C. m  2  10.

D. m  4  10.

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị y0 để đường thẳng y = y0 cắt đồ thị hàm số y  x 4  x 2 tại bốn điểm phân biệt?
A. 

1


x

 m  0. Điều kiện của m để hương trình có đúng 3 nghiệm phân

biệt là:
A. m  1.

B. m > 1.

C. m > 0 và m  1.

D. m > 0.

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên các khoảng (-1;0); (0;5) và có bảng biến thiên như hình bên.
Phương trình f  x   m có nghiệm duy nhất trên  1;0    0;5 khi và chỉ khi m thuộc tập hợp.

1


x

1

0

f ' x

5


B.  ; 2   4  2 5  10;  

C.  ; 2    4  2 5; 

Câu 7: Biết đồ thị hàm số y 



D.  ; 2   10;  

2x 1
cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích S
x 3

của tam giác OAB.
A. S 

1
.
12

1
B. S  .
6

C. S = 3.

D. S = 6.

Câu 8: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên như

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f  x   m có ba nghiệm thực phân
biệt.





A.  2; 1 .




B.  2; 1 .

C. (-1;1].

D. (-1;1).

Câu 9: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

x



y'

-1
+

y

D. – 3 < m < 3.

1 4
x  2 x 2  3 có đồ thị như hình dưới.
4

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

x 4  8 x 2  12  m có 8 nghiệm phân biệt là:
A. 3.

B. 10.

C. 0.

D. 6.

Câu 11: Phương trình x 3  12 x  m  2  0 có ba nghiệm phân biệt với m thuộc khoảng
A. -18 < m < 14.

B. -4 < m < 4.

C. -14 < m < 18.

D. -16 < m < 16.

Câu 12: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

x



-1

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  x   2 m xó nhiều nhất 2 nghiệm.
1

A. m   ;     0;   .
2


B. m   0;    1 .

C. m   ; 1   0;   .

 1
D. m   0;      .
 2

Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Phương
trình f  x   1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt nhỏ hơn 2?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

3


2x 1
tại hai
x 1

điểm phân biệt là
A. m  1.

B. m  5.

C. m  5 hoặc m  1.

D. 5  m  1.

Câu 17: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y  2 x  m cắt đồ thị của hàm số
y

x 1
tại hai điểm phân biệt là:
x 2



C.  ;5  2 3    5  2


D.  ;5  2 6    5  2


6;   .


0

-

5



1
Số nghiệm của phương trình f  x   2018 là
A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Câu 19: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:
4




x

-1




B. m  1.

A. m > 0 hoặc m = -1.
C. m  0 hoặc m = -1.

D. m > 0.

2x  2
có đồ thị (C). Đường thẳng (d ) : y  x  1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt
x 1
M và N thì tung độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

Câu 20: Cho hàm số y 

A. 2.

B. -3.

C. -2.

D. 1.

Câu 21: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y 

2x  4
. Khi đó hoành độ
x 1

trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:
A. 2.


+

+
4

3

-4

-

-

-

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f  x   2 m có 3 nghiệm phân biệt.
3
A. 2  m  .
2

B. m  2.

C. m  2.

D. m  4.

Câu 23: Đồ thị hàm số y  x 4  x 2  1 và đồ thị hàm số y   x 2 có tất cả bao nhiêu điểm chung?
A. 2.


y

+

3
-

0

+
+

4
-

-2

Phương trình f  x   m có 3 nghiệm khi và chỉ khi:
A. 2  m  4.

B. 2  m  4.

C. m  R.

D. Không tồn tại m.

Câu 26: Đồ thị hàm số y  15 x 4  3 x 2  2018 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 1 điểm.

B. 3 điểm.


2
-

-1

Số nghiệm của phương trình f  x   2  0 là:
A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 28: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình x 3  3 x  m  1  0 có ba nghiệm phân biệt.
A. m  1.

 m  1
B. 
.
m  3

C. 1  m  3.

D. 1  m  3.

Câu 29: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ sau.
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  x   1.
A. 0.

-

0

+
+

2
-

-3

A. 0.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

Câu 31: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:



x

-1




1
2

Số nghiệm của phương trình f  x   6  0 là
A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 32: Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên. Đồ thị hàm số

y  f  x  cắt đường thẳng y = -2018 tại bao nhiêu điểm?
x



-1

y'

+

0

y

0


C. 1.

D. 0.

x4
3
 x 2  cắt trục hoành tại mấy điểm?
2
2

B. 3

C. 2.

D. 0.

Câu 34: Cho hàm số y  f  x  xác định trên R \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như sau:

x



0






A.  2;1 .

B.  2;1 .

C. 1;   .

D.  ; 2  .

Câu 35: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R và có bảng biến thiên dưới đây

x



f ' x
f x

-1



0

0



+

1

1-D

2-D

3-A

4-A

5-B

6-B

7-A

8-B

9-D

10-D

11-C

12-A

13-C

14-B

15-C


31-B

32-B

33-C

34-A

35-C

Câu 1: Chọn D.
Phương pháp:
+) Viết phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm tọa độ giao điểm và tính khoảng
cách.

2
2
+) Cho hai điểm A  x1; y1  ; B  x2 ; y2   AB   x2  x1    y2  y1  .
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (P) là x 3  3 x 2  2 x  1  x 2  3 x  1

 x  1  y 1  1
2
 x 3  4 x 2  5 x  2  0   x  2  x  1  0  
.
 x  2  y  2   1
Khi đó A 1; 1 ; B  2; 1 
 AB  1;0   AB  1.
Câu 2: Chọn D.
Phương pháp:



9


Khi đó gọi x A ;x B là hoành độ các điểm A, B là hai nghiệm của phương trình (*)
2

2

 A  x A ; x A  m  1 ; B  x B ; x B  m  1  AB 2   x B  x A    x B  x A   2  x B  x A 

2

Theo định lí Vi-et ta có:

xA  xB  2  m
2
2
2
  x B  x A    x B  x A   4 x A x B   2  m   4  m  2   m 2  8m  12

 x A.x B  m  2





 AB 2  2 m 2  8m  12  12  m 2  8m  12  6  m 2  8m  6  0  m  4  10(tm)
Câu 3: Chọn A.


y





1

0

+

1

0

2

+

0

-

0

+
+


Khi đó đồ thị (C1) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt.
Câu 5: Chọn B.
Phương pháp:
Đặt t  2

x

Cách giải
Đặt t  2

x

ta có: x  0  t  20  1

Khi đó phương trình trở thành

t  1
t 2   m  1 t  m  0   t  1 t  m   0  
t  m(*)
t 1 2

x

1 x  0  x  0

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt  pt *  có nghiệm t  1  m  1.
Câu 6: Chọn B.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f  x   m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng


2
2 

1 
1
+) Với x  0  y     0;   .
3 
3

1
1 1  1 1
 SOAB  OA.OB 
. 
 .
2
2 2  3  12
Câu 8: Chọn B.
Phương pháp:
+) Số nghiệm của phương trình f  x   m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng

ym.
+) Dựa vào BBT để biện luận số nghiệm của phương trình.
Cách giải:
PT f  x   m có ba nghiệm thực phân biệt  đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 3 điểm





phân biệt   2  m  1  m   2; 1 .

Cách giải:
12


x 4  8 x 2 12  m 

1 4
m
x  2x2  3 
4
4

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y 
Từ đồ thị hàm số y 
y

1 4
x  2 x 2  3 ta suy ra đồ thị hàm số
4

1 4
x  2 x 2  3 có dạng như sau:
4

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y 
y

1 4
m
x  2 x 2  3 và đường thẳng y  .




y'

-2
+

y

0

-

0

+
+

14
-

+

2

-18

Khi đó, y  x 3  12 x  2 cắt y  m tại 3 điểm phân biệt  18  m  14  14  m  18.
Câu 12: Chọn A.

ym.
Cách giải:
Số nghiệm của phương trình f  x   1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y = 1
Quan sát đồ thị ta thấy, trên khoảng  ;2  đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y = 1 tại 2 điểm phân
biệt.
Vậy, phương trình f  x   1 có 2 nghiệm thực phân biệt nhỏ hơn 2.
Câu 14: Chọn B.
Phương pháp:
Dựa vào đồ thị hàm số xác định giao điểm của hai đồ thị
Cách giải:
Số nghiệm của phương trình f  x   m  2018  0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường
thẳng y  2018  m.

2018  m  4
m  2022
Dựa vào hình vẽ, để  

 2021  m  2022.
2018  m  3
m  2021
Câu 15: Chọn C.
Phương pháp:
Viết phương trình hoành độ giao điểm, cô lập m, khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình
Cách giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  2 m  1 và trục Ox là nghiệm của phương trình

x 3  3 x 2  9 x  2 m  1  0  x 3  3 x 2  9 x  1  2 m.
14




Để đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  2 m  1 và trục Ox có đúng hai điểm chung phân biệt  phương trình

x 3  3 x 2  9 x  2 m  1  0 có đúng hai nghiệm phân biệt  đường thẳng y = -2m cắt đồ thị hàm số
f  x   x 3  3 x 2  9 x  1 tại hai điểm phân biệt.

 2 m  4
m  2
Từ bảng biến thiên ta có điều kiện là: 

 S  2; 14  T  12.
 2 m  28
 m  14
Câu 16: Chọn C.
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm x  m 

2x 1
 x  1  x 2  x  mx  m  2 x  1  0  x  1
x 1

 x 2   m  1 x  m  1  0  x  1 (*).

Đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số y 

2x 1
tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
x 1



 2 x 2   m  3  x  2 m  1  0
2


 x  1   x  2  2 x  m 
 
 x  1  2 x  mx  4 x  2 m
f
x




 f  2   0
Yêu cầu bài toán  f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2  
  0
2.22  2  m  3  2 m  1  0
m  5  2 6


 m 2  10m  1  0  
.
2
m

5

2

-

Quan sát bảng ta thấy: phương trình f  x   2018 vô nghiệm.
Câu 19: Chọn A.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f  x   m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng

ym.
Cách giải:
Số nghiệm của phương trình f  x   m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng

ym.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì m = -1 hoặc m > 0.
Câu 20: Chọn A.
Phương pháp:
+) Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ các điểm M, N.
x M  xN

 xt 
2
+) Tìm tọa độ trung điểm I của MN: 
 y  yM  yN
 t
2

Cách giải:
16


Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

Trung điểm của hai giao điểm là I với x I  1 2   1 (định lí Vi-et cho phương trình (*))
2
2

Câu 22: Chọn C.
Cách giải:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
Để phương trình f  x   2 m có 3 nghiệm phân biệt thì 2 m  4  m  2
Câu 23: Chọn B.
Phương pháp:
Giải phương trình hoành độ giao điểm.
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm x 4  x 2  1   x 2  x 4  1  0  Phương trình vô nghiệm. Vậy hai
đồ thị hàm số không có điểm chung.
Câu 24: Chọn C.
Phương pháp:
Số giao điểm chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
Cách giải:

17


x  0
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x 3  4 x  3  x  3  x x 2  5  0  
.
x


5


Số nghiệm của phương trình f  x   m là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng

ym.
Cách giải:

f x  2  0  f x  2
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y = 2
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có 2 nghiệm.
18


Câu 28: Chọn D.
Phương pháp:
Cô lập tham số m, đa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình
Cách giải:

 x  1  f 1  2
Xét hàm số f  x   x 3  3 x, có f '  x   3 x 2  3; f '  x   0  
.
 x  1  f  1  2
Để phương trình f  x   m  1 có 3 nghiệm phân biệt  2  m  1  2  1  m  3.
Câu 29: Chọn B.
Phương pháp:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  x   1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và
đường thẳng y = 1.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại 1 điểm duy nhất. Do đó
phương trình f  x   1 có 1 nghiệm.
Câu 30: Chọn C.
Phương pháp:

t2
3
Đặt t 2  x 2  0, khi đó (*)    t   0  t 2  2t  3  0  
.
2
2
t  3
Khi đó t  x 2  3  x   3. Vậy (C) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Câu 34: Chọn A.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f  x  và đường thẳng y = m.
Cách giải:
Phương trình f  x   m vô nghiệm  đường thẳng y  m không cắt đồ thị hàm số y  f  x   m  [2;1)
Câu 35: Chọn C.
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình f  x   g  x  bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.
Cách giải:
Xét số giao điểm của hai hàm số y  f  x  ; y  m  2
Từ bảng biến thiên ta thấy hai đồ thị này cắt nhau tại 3 điểm khi 1  m  2  3  3  m  1, suy ra có 3 giá
trị nguyên của m thỏa mãn.

20