Bài 5(6) : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của BC,
CA. Tia MN cắt (O) tại I. .................................................................................................................................4
Chứng minh rằng : BC/IA = CA/IB + AB/IC . ...............................................................................................4
DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT..................................4
Bài 1(8) : Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho : xyz = 9 + x + y + z (1). .....................................8
Bài 4(9) : Cho các số không âm x1, x2, x, …, xn có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : x1x2
+ x2x3 + … + xn-1xn. ......................................................................................................................................8
Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004. Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, …, nk. S =
n13 + n23 + … + nk3. Tìm số dư của phép chia S cho 6.................................................................................9
Bài 2(18) : Tìm nghiệm dương của phương trình : (x3 + y3) + 4(x2 + y2) + 4(x + y) = 16xy. .....................9
Bài 2(19) : Cho các số x1, x,sub>2, x3, ..., x11 thỏa mãn : 1 ≤ x1 < x2 < x3 < ... < x11 ≤ 1000. Chứng
minh rằng, tồn tại i Є {1, 2, 3, ..., 10} sao cho ................................................................................................9
Bài 3(20) : Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2 - x)(2 - y). .....10
Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ -c, b ≠ -c. Chứng minh rằng : .............................................................................11
.........................................................................................................................................................................11
TỪ MỘT BÀI THI HỌC SINH GIỎI............................................................................................................13
Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm học 2003-2004 có bài toán thú vị sau : ..................................13
Bài toán 1 : Giả sử các số dương a, b, c thỏa mãn (a2 + b2 + c2)2 > 2(a4 + b4 + c4). Chứng minh rằng : a,
b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. ........................................................................................................13
Bài 1(23) : Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng phương trình .............................................14
x2 + y2 + z2 = 4p2 + 1 luôn có nghiệm nguyên dương (x0 ; y0 ; z0). .........................................................14
Bài 2(23) : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : .........................................14
.........................................................................................................................................................................14
Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A1B1C1 bằng nhau và chồng lên nhau sao cho phần giao của chúng
là một lục giác mà ta kí hiệu là MNPQRS. Chứng minh rằng : MN + PQ + RS = NP + QR + SM.............15
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam giác bằng nhau
ADE và BCF. Chứng minh rằng : trung điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng. ...16
Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc với AD, AD = 4 cm, AB = BC = 2
cm. Hãy tìm một con đường ngắn nhất đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới điểm N trên
cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A. ............................................................................18
Bài 5(12) : Cho tứ giác ABCD. I, J theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chứng minh rằng : AC + BD +
đạt giá trị nhỏ nhất. ........................................................................................................................................31
Bài 2 (3) : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : ..............................................................................................31
.........................................................................................................................................................................31
Bài 4 (3) : Cho tam giác ABC. Một đường tròn đi qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC tại một điểm T
thuộc đoạn BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F. Chứng minh rằng :............................................................32
EF/BC = (TE.TF)/(TB.TC) ............................................................................................................................32
Bài 3(7) : Cho các số dương a1, a2, …, a10 thỏa mãn : a1 = 1 ; a10 = 2 ; ai2 ≤ ai - 1ai + 1 với i = 2, 3, …,
9. Chứng minh rằng với mọi i = 1, 2, …, 10 thì : ..........................................................................................33
Bài 1(7) : Chứng minh rằng: ..........................................................................................................................33
.........................................................................................................................................................................33
Bài 5(7) : Tính tổng A = a1 + a2 + … + a2003, biết : ...................................................................................33
.........................................................................................................................................................................33
Bài 3(8) :
Cho : ax3 = by3 = cz3 và 1/x + 1/y + 1/z = 1
Chứng minh rằng : .........................................................................................................................................34
.........................................................................................................................................................................34
Bài 2(13) : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ............................................................................................35
.........................................................................................................................................................................35
Bài 4(13) : Cho các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn các điều kiện a + b + x + y ≤ 2, a + b2 = x + y2, a2
+ b = x2 + y. ...................................................................................................................................................35
Chứng minh rằng : .........................................................................................................................................35
.........................................................................................................................................................................35
Bài toán 1 : Gọi a và b là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 - x - 1 = 0. ............................................36
Chứng ming rằng các biểu thức : ...................................................................................................................36
P = a + b + a3 + b3 ; .......................................................................................................................................36
Q = a2 + b2 + a4 + b4 ; ..................................................................................................................................36
R = a2001 + b2001 + a2003 + b2003 là những số nguyên và chia hết cho 5. ..............................................36
Bài toán 2 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 14x + 1 = 0. Chứng minh rằng biểu thức Sn
= x1n + x2n nhận giá trị nguyên và không chia hết cho 13 với mọi n Є N*. ...............................................37
Quá trình đi tìm lời giải của bài toán 2 giúp tôi phát hiện ra bài toán tổng quát. .........................................37
m2|x + m| + m3 + |m2x + 1| = 1. ....................................................................................................................49
Bài 3(23) : Giải phương trình : ......................................................................................................................49
.........................................................................................................................................................................49
Bài 4(4) : Cho ΔABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Qua A vẽ các đường thẳng song
song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q. Chứng minh rằng PQ vuông góc với
trung tuyến AM của ΔABC. ..........................................................................................................................50
Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông. Các đường cao BB’, CC’ cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm
của AH, I là giao điểm của AH và B’C’. Chứng minh rằng : I là trực tâm của tam giác KBC. ..................51
Bài toán : Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn. Hai điểm M, N chạy trên
đường tròn sao cho MN cắt đoạn thẳng AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN........................................51
Bài 2(9) : Cho hình vuông ABCD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong (không nằm trên cạnh) hình vuông
sao cho : MAB + MBC + MCD + MDA = 180o ............................................................................53
Bài 4(11) : Tính góc A của tam giác ABC biết rằng O1OO2 = 90o với O1, O, O2 lần lượt là tâm của các
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và bàng tiếp (trong góc A) của tam giác ABC. ...........................................54
Bài 5(11) : Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông đồng dạng ABE, ACF ( ABE =
ACF = 90o). ................................................................................................................................................54
Chứng minh rằng : BF, CE và đường cao AH của tam giác đồng quy. ........................................................54
Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC. Một đường tròn (O) đi qua A, B. Các tiếp tuyến
với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S. T là tiếp điểm của SC và (O). SB cắt (O) tại E (E khác B). Chứng minh
rằng : ET // AB. ..............................................................................................................................................55
Bài 5(18) : Cho hình thang ABCD (AB // CD). O là giao điểm của AC và BD. M là trung điểm của CD.
Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOD, BOC cắt nhau tại K khác O. Chứng minh rằng : ∠ KOC =
∠ MOD. ..........................................................................................................................................................56
Bài 5(19) : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. D là điểm di động trên cạnh
BC. AD cắt (O) tại E (E khác A). Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác
EBD, ECD. Xác định vị trí điểm D để R1.R2 đạt giá trị lớn nhất. ...............................................................57
Bài 5(20) : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. AC cắt BD tại I. (O1), (O2) theo thứ tự là các
đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đường thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X ; Y và cắt
(O1) ; (O2) theo thứ tự tại Z ; T (Z và T khác I). Chứng minh rằng XZ = YT. ...........................................58
Bài 5(21) : Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Chứng minh rằng : .........................................................59
vẫn gặp ở bậc THPT. Tất nhiên ở mỗi bậc học, bài toán được đặt ra với các mức độ khác nhau. ở
bài viết này xin bước đầu trao đổi với các bạn một chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải
quyết loại toán này.
Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là :
* Với a, b ≥ 0 thì :
và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đây chính là bất đẳng thức Côsi trong trường hợp 2 số.
Các bạn có thể suy từ bất đẳng thức hiển nhiên đúng :
* Với mọi a, b thì |a| + |b| ≥ |a + b| (**) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. Các bạn chỉ cần
bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương và hiển nhiên đúng.
* Với các số a, b, c, d tùy ý ta có :
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) ≥ (ac + bd)
2
(***) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Đây chính là bất
đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai cặp số. Các bạn có thể suy ngay ra bất đẳng thức này dựa vào
hằng đẳng thức :
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 và b = x - 2003 thì ... chưa được gì. Bởi khi đó ta
có :
y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x| .
Vì 2|x| không phải là hằng số nên dù đẳng thức có xảy ra thì cũng không kết luận được gì về giá trị
nhỏ nhất của y.
Thí dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
y = - 2001 x
2
+ 2002 x - 2003.
Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết :
với mọi x.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001.
Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, các bạn có thể tạm coi đa thức là một ẩn với một ẩn nào đó và
thực hiện cách biến đổi tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toán.
Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x
2
+ y
2
- xy - x + y + 1
Lời giải : Ta viết :
Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3.
Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết :
P = 1/2.(2x
2
+ 2y
2
- 2xy - 2x + 2y + 2)
= 1/2.[ (x - y)
2
2
) - 4(x
2
- 2x)
= (x
2
- 2x)
2
- 4(x
2
- 2x)
= [ (x
2
- 2x) - 2]
2
- 4 ≥ - 4 với mọi x.
Đẳng thức xảy ra :
Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4, khi và chỉ khi
Thí dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :
Lời giải : Căn thức có nghĩa khi và chỉ khi 4 - x
2
≥ 0
Tương đương với x
2
≥ 4 hay |x| ≤ 2
Tương đương - 2 ≤ x ≤ 2 .
Ta có :
áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x
2
và b = 4 - x
n
có tổng bằng 1. Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức : x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ … + x
n-1
x
n
.
Lời giải :
Đặt T = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x4 + … + x
n-1
x
n
4
= … = x
n
= 0, khi đó T đạt giá trị lớn nhất bằng 1/4.
Cách 2 :
Không mất tính tổng quát, giả sử x
1
là số lớn nhất, ta có : x
1
x
2
= x
1
x
2
; x
2
x
3
nhỏ hơn bằng x
1
x
3
; … ;
x
n-1
x
n
nhỏ hơn băng x
1
1
3
+ n
2
3
+ … + n
k
3
. Tìm số dư của phép chia S
cho 6.
Lời giải :
Vì a
3
- a = a.(a
2
-1) = (a - 1).a.(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên a
3
- a chia hết cho 6 với
mọi số nguyên a.
Đặt N = n
1
+ n
2
+ … + n
k
, ta có :
S - N = (n
1
3
+ n
chia cho 6 dư 1 => N = 2003
2004
= (2003
2
)
1002
chia cho 6
dư 1. Vậy : S chia cho 6 dư 1.
Nhận xét :
1) Nhiều bạn đã có nhận xét đúng : “Với mọi số nguyên a và số tự nhiên m thì a
2m + 1
- a chia hết
cho 6”, dẫn đến kết quả : “n
1
+ n
2
+ … + n
k
và n
1
2m + 1
+ n
2
2m + 1
+ … + n
k
2m + 1
có cùng số dư khi chia
cho 6 với n
1
3
- 4x
2
+ 4x) + (y
3
- 4y
2
+4y) + (8x
2
+ 8y
2
- 16xy)
= x(x - 2)
2
+ y(y - 2)
2
+ 8(x - y)
2
≥ 0 do x > 0 và y > 0.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2.
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm dương x = y = 2.
Nhận xét : 1) Để giải một hệ phương trình có số phương trình ít hơn số ẩn số hoặc một phương
trình nhiều ẩn chúng ta có một cách là dẫn đến một bất đẳng thức mà hệ hoặc phương trình được
thỏa mãn chỉ khi bất đẳng thức trở thành đẳng thức.
Bài 2(19) : Cho các số x
1
, x,sub>2, x
3
, ..., x
11
Suy ra a
3
+ b
3
+ c
3
< 3abc <=> a, b, c không đồng thời bằng nhau và a + b + c < 0.
Áp dụng với < ta có
Do 1 ≤ x
1
< x
2
< x
3
< ... < x
11
≤ 1000 suy ra
là 10 số dương có tổng bằng :
Do đó tồn tại i Є {1, 2, 3, ..., 10} sao cho
Từ (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét : (1) là một hằng đẳng thức quen thuộc của lớp 8.
Bài 3(20) : Cho x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức : S = (2 - x)(2 - y).
Lời giải : Ta có S = (2 - x)(2 - y)
Nhận xét : Đây là bài toán cơ bản, biến đổi đẹp
Bài 3(21) : Cho a ≠ -b, a ≠ -c, b ≠ -c. Chứng minh rằng :
(a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
> 2(a
4
+ b
4
+ c
4
)
<=> (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
- 2(a
4
+ b
4
+ c
4
) > 0
2k
)
2
> 2(a
4k
+ b
4k
+ c
4k
). Chứng minh
rằng : a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Lời giải : Theo kết quả của bài toán 1 ta có a
k
, b
k
, c
k
là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó
nếu a + b Ê c thì a
k
+ b
k
< (a + b)
k
≤ c
k
là điều vô lí, suy ra a + b > c.
Tương tự ta có b + c > a và c + a > b.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tiếp tục mở rộng cho bộ n số dương a
3
là độ di ba cạnh của một tam giác. Từ đó ta có điều phải chứng
minh.
Bài toán 3 chính là đề thi Vô định Toán Trung Quốc năm 1988.
Nếu biết rằng b
1
≥ b
2
≥ ... ≥ b
k
> 0 và b
1
< b
2
+ ... + b
k
thì b
1
, b
2
, ..., b
k
là độ dài các cạnh của một đa
giác, các bạn sẽ chứng minh được bài toán tổng quát sau :
Bài toán 4 :
Cho n số dương a
1
, a
2
, ..., a
+ 6k + 1) + 1
= 4k
2
+ (16k
2
+ 8k + 1) + (16k
2
+ 16k + 4)
= (2k)
2
+ (4k + 1)
2
+ (4k + 2)
2
(1).
Do đó : (x
0
; y
0
; z
0
) là một hoán vị của 2k, 4k + 1, 4k + 2.
Trường hợp 2 : p chia cho 3 dư 2, tức là p = 3k + 2 (k ẻ N*).
Ta có 4p
2
+ 1 = 4(3k + 2)
2
+ 1
= 4(9k
2
≥ 2c ;1 + a
2
≥ 2a nên :
Từ (a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (c - a)
2
≥ 0 suy ra ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
=> 3(ab + bc + ca) ≤ (a + b + c)
2
= 9
=> ab + bc + ca ≤ 3 (4)
Từ (3) và (4) ta có :
Chứng tỏ bất đẳng thức (2) đúng suy ra bất đẳng thức (1) đúng (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 5(5) : Cho hai tam giác đều ABC, A
1
B
1
C
1
bằng nhau và chồng lên nhau
Điều đó có nghĩa là :
MN + PQ + RS = NP + QR + SM.
Nhận xét :
Khi giải các bài toán về tam giác đồng dạng, các bạn cần đặc biệt chú ý tới nhận xét sau : “nếu hai
tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa các độ dài tương ứng bằng tỉ số đồng dạng”.
Bài 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta
dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF. Chứng minh rằng : trung
điểm của các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc một đường thẳng.
Lời giải :
Dựng các hình bình hành ABFF’, ABCC’.
Dễ thấy : F’FCC’ cũng là hình bình hành.
Từ đó ta có : AF' = BF , AC' = BC và F'C' = FC
=> ΔAC’F’ = ΔBCF = ΔADE (1)
Gọi X, Y, Z, Z’, Y’ lần lượt là trung điểm của AB, DC, EF, EF’, DC’.
Từ (1) => : A, Y’, Z’ thẳng hàng (2).
Dễ thấy :
Do đó : các tứ giác AXYY’ và AXZZ’ là hình bình hành (3)
Từ (2), (3) => : X, Y, Z thẳng hàng (đpcm).
Nhận xét :
1/ Lời giải của các bạn đều đúng, tuy nhiên có một số bạn giải quá dài.
2/ Ngoài lời giải nêu trên, một số bạn còn có lời giải khác cũng khá ngắn gọn.
Gọi M, N, K, I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, CD, EF, EB, DB. Dễ thấy các tam giác
IKM, JNM cân lần lượt tại I, J. Sau đó sử dụng nguyên tắc : X, Y, Z thẳng hàng tương đương với
góc YXZ = 0
o
hoặc góc YXZ = 180
o
.
Từ đó => kết quả.
Bài 4(8) : Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ), biết rằng AB = 30 cm, AD = 20 cm, AM = 10
CDE.
Lời giải : Gọi M là trung điểm của BC, dựng BI, CK song song với d (I, K nằm trên AM), khi đó
MI = MK, => AI + AK = 2 AM = 3AG. Vậy có : AB/AD + AC/AE = AI/AG + AK/AG =
3AG/AG =3
Dựng AH, BB
1
, MM
1
, CC
1
vuông góc với d, lúc đó AH = 2MM
1
.
Mặt khác, MM
1
là đường trung bình của hình thang BB
1
C
1
C nên : BB
1
+ CC
1
= 2MM
1
= AH.
Từ đó :
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được :
Do đó :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AD/AB = AE/AC hay d // BC. Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện
đặt E là giao điểm của AB va CD. Không mất tính tổng quát, giả sử E thuộc tia đối của các tia AB,
DC. Ta có : ( DAB + ABC)+( BCD+ CDA)=360
o
=> DAB + ABC ≥ 180
o
hoặc BCD + CDA ≥ 180
o
Không mất tính tổng quát, giả sử : DAB + ABC ≥180
o
(1)
Dựng hình bình hành ABCF. Từ (1), ta thấy : tia AF nằm trong (2).
Mặt khác, trong tam giác EBC, ta có : EBC + ECB ≤180
o
=> ị tia CD nằm trong Từ (2) và (3) => tứ giác ACFD lồi. Theo nhận xét trên, ta có : AC + DF <
AF + CD. Chú ý rằng DF = 2IJ, AF = BC, ta có : AC + 2IJ < BC + CD (4) Trong tam giác ABD, ta
có : BD < AB + DA (5) Từ (4) và (5) => : AC + BD + 2IJ < AB + BC + CD + DA.
Nhận xét : 1) Bài này có 5 bạn giải sai. Nguyên nhân của những sai lầm này là không sử dụng
thành thạo các bất đẳng thức hình học và đại số cơ bản.
2) đa số các bạn giải theo hướng trên đều không chứng minh được tứ giác ACFD lồi. Có hai kiểu
sai lầm :
+ Không thấy sự cần thiết phải chứng minh tứ giác ACFD lồi.
+ Có chứng minh tứ giác ACFD lồi nhưng chứng minh không chặt chẽ.
Bài 1(13) : Tìm các diện tích a, b, c trong hình sau (đơn vị cm
2
)
Lời giải : (Theo bạn Vương Bằng Việt, 71, THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh)
Từ S
IAB
/S
IAF
2
.
Nhận xét : Một số bạn sử dụng định lí Xê-va cho DABC với 3 đường đồng quy AD, BF, CE cũng
đi đến kết quả trên. Lưu ý rằng khi áp dụng định lí Xê-va để giải quyết bài toán trên, các bạn phải
chứng minh định lí này.
Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD. H
là trung điểm của CD. Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông
góc và bằng một phần tư CD. Bên ngoài hình thang, ta dựng các tam
giác ADE, BCF vuông cân tại E, F. Chứng minh rằng tam giác MEF
vuông cân tại M.
Lời giải :
Cách 1 : (của bạn Chu Toàn Thắng) Trước hết, ta nhắc lại một bổ đề quen thuộc.
Bổ đề (*) : Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác, ta dựng các tam giác ABE, ACF
vuông cân tại E, F. M là trung điểm của AB. Khi đó, tam giác MEF vuông cân.
Trở lại bài toán.
Trên tia đối của tia MD, lấy điểm K sao cho : MK = MD (hình 1). Dễ thấy : KC vuông góc với DC
(1) và CK = 2MH (2)
dd>Từ (1) => : KCF = 360
o
- KCD - DCB - BCF = 360
o
- 90
o
-(180
o
- CBA) - 45
o
= 45
o
trung bình của tam giác, suy ra P là trung điểm của AC.
Xét ∆CAB, tương tự ta có PN là đường trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC.
Cách 3 : Qua B, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt MN, CD lần lượt tại P, Q (hình 3). Kết
hợp với giả thiết, ta suy ra ABPM và MPQD là các hình bình hành nên AM = PB, MD = PQ. Mặt
khác, M là trung điểm của AD hay MA = MD nên PB = PQ hay P là trung điểm của BQ.
Xét ∆BQC, tương tự như cách 2 ta có PN là đường trung bình của tam giác nên N là trung điểm
của BC.
Cách 4 : Qua B, N kẻ các đường thẳng song song với AD, lần lượt cắt MN, CD tại P, Q (hình 4).
Dễ thấy ABPM và MNQD là các hình bình hành nên AM = PB, MD = NQ => PB = NQ (do MA =
MD). Mặt khác, ∠ PNB = ∠ QNC (đồng vị), ∠ BPN = ∠ NQC (cạnh tương ứng song song cùng
chiều)
Vậy ∆BPN = ∆NQC (g.c.g) => BN = CN => N là trung điểm của BC.
Cách 5 : (dùng phương pháp diện tích) Lấy điểm E bất kì trên đoạn MN (hình 5).
Vì M là trung điểm của AD, MN // AB, AB // CD nên hoàn toàn có thể chứng minh được khoảng
cách từ các điểm A, B, C, D xuống MN bằng nhau, ta kí hiệu là h.
Suy ra S
BEN
= S
CEN
= 1/2.h.EN. Mặt khác, hai tam giác này có chung chiều cao xuất phát từ E
xuống BC nên BN = CN hay N là trung điểm của BC.
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
Mọi dòng sông lớn đều bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mọi bài toán khó đều khởi nguồn từ
những bài toán đơn giản hơn. Vì vậy để học giỏi môn toán thì không những bạn cần phải nắm
vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà còn nên biết cách phát triển một bài toán để có thêm
những bài toán mới.
Bài toán sau là một bài toán quen thuộc trong chương trình hình học lớp 8 :
Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD có AB < CD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC,
CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Hình bình hành MNPQ sẽ có dạng đặc biệt hơn nếu tứ giác ABCD thỏa mãn thêm các điều kiện
Bài toán 6 : Cho ∆ABC (AB < AC), phân giác AD và trung tuyến AM. Đường tròn ngoại tiếp
∆ADM cắt AB, AC lần lượt tại E, F. Gọi I là trung điểm của EF, đường thẳng MI cắt AB, AC lần
lượt tại Q, P. Chứng minh rằng ∆APQ cân tại A.
Trong quá trình suy nghĩ để tiếp tục phát triển bài toán 2, tình cờ tôi gặp đề toán 4(7) của TS.
Nguyễn Minh Hà (trang 32, TTT2 số 7) . Nhờ bài toán 2, ta có một cách giải khá đơn giản đề toán
4(7) và đề xuất được kết quả mở rộng hơn.
Trước hết, ta giải bài toán 4(7).
Bài toán 4(7) : Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai tam
giác bằng nhau là ADE và BCF. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn AB, CD, EF cùng thuộc
một đường thẳng.
Lời giải :
Trường hợp AB < CD : Gọi I, K, H, M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, EF, CD, CE, DF,
BD, AC (hình 4).
Từ giả thiết ∆ADE = ∆BCF và dựa vào tính chất của đường trung bình trong tam giác ta dễ dàng
có được kết quả :
∆HNP = ∆HMQ (c.c.c).
Suy ra MHQ = NHP → MHP = NHQ → MHN = PHQ có cùng tia phân giác.
Mặt khác, áp dụng bài toán 2 cho hai tứ giác ABCD và EFCD, ta có IPHQ và KMHN là các hình
thoi. Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của MHN và PHQ.
Suy ra H, I, K thẳng hàng.
Trường hợp AB = CD : dành cho bạn đọc.
Các bạn thử chứng minh kết quả mở rộng của bài toán trên :
“Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Về phía ngoài của tứ giác này, ta dựng hai đa giác bằng nhau là
ADM
1
M
2
...M
n
và BCN
gọn.
Bài 4(21) : Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9 ; x,
y, z lần lượt là độ dài các phân giác trong của các góc A, B, C. Chứng
minh rằng :
Copyright: Tài liệu đại học ©