ĐỀ THI TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015
Môn thi: Toán (vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Câu 1 (2,0 điểm) Giải các phương trình:
1
3
8
+
=
a)
x +1 2x +1 x − 2
b) 2 x + 1 + 3 − x = 3 x + 5
 x 2 + x = y 2 + y
( x, y ∈ ¡ )
Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình  2
2
 x + y = 5
Câu 3 (1,5 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b = 3, ab = 1. Tính giá trị của biểu thức

(
P=

)

a − b ( a 2 − b2 )


1
3
8
+
=
a)
(1)
x +1 2x +1 x − 2
1
ĐK: x ≠ –1; x ≠ 2; x ≠ −
2
(2 x + 1)( x − 2) + 3( x + 1)( x − 2) − 8( x + 1)(2 x + 1)
=0
(1) 
( x + 1)(2 x + 1)( x − 2)
(2 x 2 − 3x − 2) + 3( x 2 − x − 2) − 8(2 x 2 + 3 x + 1)
=0

( x + 1)(2 x + 1)( x − 2)
−11x 2 − 30 x − 16
=0

( x + 1)(2 x + 1)( x − 2)
⇒ 11x 2 + 30 x + 16 = 0
 x = −2(tm)
⇔
 x = − 8 (tm)

11
8


2 x + 1 ≥ 0
1
x ≥ −

⇔
⇔
⇔  x = −
2
2
2
2
4(−2 x + 5 x + 3) = 4 x + 4 x + 1 12 x 2 − 16 x − 11 = 0



11
  x = 6

1

 x = − 2 (tm)
⇔
 x = 11 (tm)

6
 1 11 
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là − ; 
 2 6
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com

(2) ⇔ x 2 + (− x − 1) 2 = 5 ⇔ 2 x 2 + 2 x − 4 = 0 ⇔ 
 x = −2
x = 1 ⇒ y = − x − 1 = −2
x = −2 ⇒ y = − x − 1 = 1
 10 10   10
10 
;
,
−
;
−
Vậy hệ phương trình (I) có 4 nghiệm là (1; −2), (−2;1), 
÷

÷

2 ÷
2 ÷
 2
  2
Câu 3
Ta có

(
P=

)

a − b ( a 2 − b2 )


Facebook : https://facebook.com/dethithpt


a) Do E, F thuộc đường tròn đường kính AD nên AED = AFD = 90o
Xét hai tam giác vuông AED và AFD có
 AD(chung )
⇒ ∆AED = ∆AFD (cạnh huyền – góc nhọn)

 EAD = FAD ( gt )
⇒ AE = AF và DE = DF (hai cạnh tương ứng)
⇒ AD là đường trung trực của đoạn EF.
⇒ AD ⊥ EF.
b) Do ABKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên ABC = AKC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Xét hai tam giác ABD và ACK có
 BAD = CAK ( gt )
⇒ ∆ABC ~ ∆ACK (g.g)

 ABD = AKC (cmt )
c) Vì AEDF là tứ giác nội tiếp nên EDA = EFH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA)
Xét tam giác AED và tam giác EHF ta có:
 AED = EHF = 90o
⇒ ∆AED ~ ∆EHF (g.g)

 EDA = EFH (cmt )
EA AD
⇒
=
EH EF
⇒ HE. AD = EA.EF
d) Trên tia AC lấy B’ sao cho AB = AB’. Vẽ KI ⊥ AC tại I

S AEDF = 2.S AKF = KI . AF
Vì DF // KI ( cùng vuông góc AC) nên theo định lí Ta–lét:
DF AF
AB + AC
=
⇒ S AEDF = KI . AF = DF . AI = DF .
= S ABC
KI
AI
2
Vậy S ABC = S AEDF
Câu 5
a
b
c
+
+
2
2
1 + b 1 + c 1 + a2
Ta có:
a
ab 2
(1)
=
a
−
1 + b2
1 + b2
Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có 1 + b 2 ≥ 2b

(4)
2
1+ a
2
Cộng từng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được:
a
b
c
 ab + bc + ca 
+
+
≥ a+b+c−
÷ (5)
2
2
2
1+ b 1+ c 1+ a
2


Mặt khác
1
2
( a + b + c ) − 3 ( ab + bc + ca ) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  ≥ 0
2
2
(a + b + c)
(6)
⇒ ab + bc + ca ≤
=3