SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 : (1,5đ)
Cho phương trình x 2 − (m + 1) x + m = 0, m là tham số . Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm trái
2
2
dấu x1 , x2 sao cho x1 + x2 = 17
Câu 2 : (1,5đ)
 x 4 + y 4 = 97
Giải hệ phương trình sau : 
x + y = 5
Câu 3 : (1,0đ)
Hay tìm các chữ số a , b , c , d biết rằng a, ad , cd , abcd là các số chính phương .
Câu 4 (1,0đ)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau : x 4 + y 3 = xy 3 + 1.
Câu 5 : (1,0đ)
Chứng minh rằng luôn tồn tại một số dạng 20162016…2016 (gồm các số 2016 viết kế tiếp nhau) mà số đó chia
hết cho 2017 .
Câu 6 (1,5đ)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , CD . Biết đường tròn ngoại
tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 + 2 3 và tồn tại một điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho
·

Kết hợp điều kiện (*) ta tìm được m = - 4

0,25đ
0,25đ

2

2

0,25đ

Bài 2 :
Đặt xy = a khi đó ta có :
x 4 + y 4 = 97 ⇔ ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97
⇔ (( x + y ) 2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a) 2 − 2a 2 = 97
⇔ (( x + y ) 2 − 2 xy ) 2 − 2 x 2 y 2 = 97 ⇔ (52 − 2a) 2 − 2a 2 = 97
a = 6
⇔ 2a 2 − 100a + 528 = 0 ⇔ 
0, 25d
 a = 44
+ Với a = 6 , ta có hệ phương trình
 xy = 6
x = 2
x = 3
⇔
hoặc 
0,5đ

x + y = 5  y = 3
y = 2

Vậy với a = 1 , b = 9 , c = 3 , d = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán . 0,25đ
Câu 4 :
Ta có : x 4 + y 3 = xy 3 + 1 ⇔ x 4 − 1 + y 3 − xy 3 = 0
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

x =1
⇔ ( x − 1)( x3 + x 2 + x + 1 − y 3 ) = 0 ⇔  3
2
3
x + x + x +1 = y
+ Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được : 1 + y 3 = y 3 + 1 đúng với mọi y nguyên .
Vậy (x;y) = (1;t) , ∀t ∈ Z
+ Với x 3 + x 2 + x + 1 = y 3 (1) . Khi đó :
Do x ∈ Z và x 2 + x + 1 > 0 => x 3 < y 3 (2)
+ Mặt khác do : x ∈ Z và x(x+1) > 0 nên ta có:
Khi x = 0 thì y = 1 thỏa mãn .
Khi x = -1 thì y = 0 thỏa mãn . 0,25đ
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình đã cho là(0;1) , (-1; 0), (1; t) , ∀t ∈ Z
Câu 5 :
Ta xét 2018 số dạng an = 20162016...2016 ( gồm n số 2016 viết kế tiếp nhau )1 ≤ n ≤ 2018
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số ak , at mà có hiệu ( ak − at ) M2017,
1 ≤ t ≤ k ≤ 2018, k , t ∈ N *
4t
Do: ak − at = 10 ak −t
4t
Mà (10 , 2017) = 1 => ak −t M2017
Vậy chứng tỏ tồn tại số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 .


2
2
x x 3 1+ 3
Từ đó suy ra : y = MN = MI + IN = +
0,25đ
=
x
2
2
2
1+ 3
Thay y =
x vào (*) ta được :
2

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

2

 1+ 3 
4+2 3 2
2
x + 
x÷
=
8
+
2

Xét hai tam giác ΔBMK và ΔBDM có :
·
·
(vì cùng bằng nửa số đo cung KM của (O2) ) 0,25 đ
BDM
= KMB
·
chung 0,25đ
MBD
Suy ra : ΔBMK đồng dạng với ΔBDM . 0,25đ
BK BM
⇒
=
=> BM 2 = BK .BD (1) 0,5đ
BM BD
b) Có : ·AKB = 90o ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1) )
·
Có DAB
0,25đ
= 90o ( Do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O1) )
·ABK = KAD
·
(Vì c ng bằng nửa số đo cung AK của (O1) )
0,25đ
Suy ra : ΔAKB đồng dạng với ΔDAB
AB BK
⇒
=
⇒ AB 2 = BD.BK (2) . 0,25đ
BD AB