1)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS

MỤC LỤC
A. ĐỀ BÀI ........................................................................................................................................................................ 2
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ........................................................................................................................... 2
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH .................................................................. 3
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHV ............................................................................... 4
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC ........................................................................................................................................... 5
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC ...................................................................................................................... 7
B. HƯỚNG DẪN GIẢI ...................................................................................................................................................... 8
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ........................................................................................................................... 8
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ................................................................14
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ................................................................................19
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC .........................................................................................................................................22
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC ....................................................................................................................28

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


2)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
PHÒNG GD & ĐT CẦU GIẤY
TỔ TOÁN

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 8 HỌC KÌ II
Năm học 2018 – 2019

A. ĐỀ BÀI

x  4x  4  x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức A biết 2x  1  3

c) Tìm x để A  0
e) Tìm GTNN của A với x  2

d) Tìm các giá trị x nguyên để B nhận giá trị nguyên

9  3x



x5

x  1  7 x  14

Bài 3. Cho biểu thức B   2
với x  1; x  2; x  5


: 2
 x  4x  5 1  x x  5  x  1
a) Chứng minh B 

x 1
x2



c) Tìm x để P  0
e) Tìm GTNN của P khi x  3

d) Tìm x thỏa mãn P  8

Bài 4. Cho biểu thức M 

x2
5
1
 2

với x  3; x  2
x3 x  x6 2 x

a) Chứng minh M 

x4
x2

b) Tìm x biết M  3

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội

2
:B
x2



với x  1; x  1; x  
B

2
2
x 1 1 x
2x  1

a) Tính giá trị của biểu thức B khi 4 x 2  1
c) Tìm giá trị x để M < 1
Bài 7. Cho biểu thức A 

b) Rút gọn M  A.B

x2  2x
x2 x2
16


và B 
với x  2; x  1
x  2 x  2 4  x2
x 1

a) Tính giá trị của A khi x –1  2

b) Đặt P  A.B . Rút gọn biểu thức P

c) Tìm x để P  8
2. DẠNG 2. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

công việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Tính thời gian mỗi người làm
một mình xong công việc.
Bài 17. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều
dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
Bài 18. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ
thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời
gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là
bao nhiêu?
Bài 19. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có
2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc
đầu.
Bài 20. Một hình chữ nhật có chu vi là 78cm. Nếu giảm chiều dài đi 3cm và tăng chiều rộng thêm
4 cm thì hình chữ nhật trở thành hình vuông. Tính diện tích của hình chữ nhật ban đầu.
3. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 21. Giải các phương trình và bất phương trình sau:

 x  5 x –1  2x  x –1
2
2
2.  x 2 – 5 x  7  –  2 x – 5   0
1.

3. 3x2 – 7 x  4  0
4. 2  x  3 – x2 – 3x  0
5. x  27   x  3 x – 9  0

12.
13.

3

x 1
x
x 1
x
7x  3


x  3 x  3 9  x2

96
2 x  1 3x  1


x  16 x  4 x  4
2x
x
4

 1
2x 1 2x  1
(2 x  1)(2 x  1)
x2 1
2
  2
x  2 x x  2x
x
x
2x  4

 2


19.  x2  1  3x – 2   0
20.  x – 2 x  1  0

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


5)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
21.

2x 1
2
x3

4. DẠNG 4. HÌNH HỌC
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB  6cm, AC  8cm, đường cao AH , phân giác
BD cắt nhau tại I .
a) Chứng minh: ABH ” CBA
c) Chứng minh: AB.BI  BD.HB
d) Tính diện tích BHI
b) Tính AD, DC
Bài 23. Cho góc xOy. Trên Ox lấy 2 điểm A và B sao cho OA  3cm, OB  8cm. Trên Oy
lấy 2 điểm C và D sao cho OC  4cm, OD  6cm.
a) Chứng minh: OAD ” OCB
b) Gọi I là giao điểm của AD và BC . Chứng minh: IA.ID  IB.IC
c) Tính tỉ số diện tích của IAB và ICD
Bài 24. Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng:
a) AE. AB  AD. AC



6)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
d) EK  BE  DK và khi E chuyển động trên BC thì chu vi tam giác ECK không
thay đổi
Bài 29. Cho tam giác đều ABC. Gọi O là trung điểm của BC . Tại O dựng góc xOy  600
Tia Ox cắt cạnh AB tại M , tia Oy cắt cạnh AC tại N . Chứng minh:
a) BOM ” CNO
c) BOM ” ONM và OM là phân giác của BMN

b) BC 2  4BM .CN
d) ON 2  CN.MN

Bài 30. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Gọi M , N lần lượt là hình chiếu
của H trên AB, AC.
a)
b)
c)
d)

Chứng minh AMH ” AHB và AM .AB  AH 2
Chứng minh AM . AB  AN . AC
Cho AH  6cm, BC  9cm. Tính diện tích tam giác AMN
Gọi P là điểm đối xứng với H qua AB, đường thẳng qua B và vuông góc với BC
cắt AP tại I . Chứng minh MN , AH , CI đồng quy.

Bài 31. Cho tam giác ABC  AB  AC  có đường phân giác AD. Hạ BH , CK vuông góc
với AD. Chứng minh rằng:

b) Chứng minh: ADE  ECF
c) Chứng minh CE.CA  BA.BF  BC 2

Đề cương Toán 8 trường THCS Nghĩa Tân - Hà Nội


7)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
d) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K bất kì, đường thẳng d tùy ý đi qua K cắt các
đoạn FC và FB lần lượt tại M và N . Chứng minh

BK CK

không phụ thuộc vị
BN CM

trí điểm K và đường thẳng d.
Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH .
a) Chứng minh ∆ ABH đồng dạng với ∆ CAH , từ đó suy ra AH 2  BH .CH
b) Cho BH  4cm, BC  13cm. Tính AH , AB
c) Gọi E là điểm tùy ý trên cạnh AB, đường thẳng qua H và vuông góc với HE cắt
cạnh AC tại F . Chứng minh: AE.CH  AH .FC
d) Tìm vị trí của điểm E trên cạnh AB để tam giác EHF có diện tích nhỏ nhất.
5. DẠNG 5. CÁC BÀI TOÁN KHÁC
Bài 29. Tìm GTLN hoặc GTNN của các biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)

x2
m( x  1)  x
 2 có nghiệm nhỏ hơn 1.
b) Phương trình
x 1

a) Phương trình

Bài 31. Chứng minh với mọi x phương trình x  1  2 – x  4x2  12x –10 vô nghiệm.
Bài 32. Tìm các giá trị nguyên của x để A 

10 x 2  7 x  5
có giá trị nguyên.
2x  5

Bài 33. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1 1


2
2
2
b) a  b  c  ab  bc  ca với ∀a,b,c
1
c) a2 + b2 ≥ với a  b  1
2
2
2
d) a  5b – 4ab  2a – 6b  2  0 a, b


3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

1 1 1
 
a b c

Bài 36. Cho x  1; y  1 và x  y  6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S  3x  4 y 
B. HƯỚNG DẪN GIẢI
1. DẠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1. Thiếu
Bài 2: Thiếu
Bài 3.1
x  5 x  1  7 x  14
 9  3x
a. B   2


: 2
 x  4x  5 1  x x  5  x 1

 9  3x   x  5 2   x  1 x  1   x  1 x  1

.
 x  5 x  1

 7  x  2 
9  3x  x 2  10 x  25  x 2  1  x  1 x  1



9)33

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Thay x = 4 vào biểu thức B , ta có : B 
Vậy x = 4 thì B 

4 1 5

42 2

5
.
2

c. Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên :
B nhận giá trị nguyên 

x 1

x2



x23
3
 1

x2
x2

B  0

 1  x  2; x  1 thì B < 0.
2
:B
x2
2
2
x 1
2 x2
M
:B
:

.
x2
x  2 x  2 x  2 x 1
2
M
x 1

f. Tìm GTLN của biểu thức M biết M 

Để biểu thức M đạt GTLN thì  x  1 có giá trị dương nhỏ nhất  x  0
g. Với x > 2, tìm GTNN của B
9
a.

 2  x 4 x2
2  x  x 2  3x

.

.

 x  2   x  3  x  2   x  3 x  3
x  5  2
 x  7 (tmđk) hoặc x  3 ( không thỏa mãn
 x  5  2

b. Biết x – 5  2  x  5  2  
ĐKXĐ).

Thay x  7 vào biểu thức P , ta có : P 
c. P  0 

4 x2
 0, mà 4 x 2  0 x 
x 3

4.72
 49 .
73

 x 3  0  x  3.

Kết hợp ĐKXĐ : x  0; x   2; x  3 , ta có P  0  x  3 .
d. Tìm x thỏa mãn P = - 8
4 x2
P = 8 
 8

 4  x  3 
 4  x  3 
 24
x 3
x 3
x 3
x 3

Với x  3  x  3  0 .Áp dụng BĐT Cô si với hai số không âm : 4  x  3 và

36
, ta có:
x3


11)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
36
36
 2 4  x  3 .
 2.2.6  24
x 3
x 3
36
 4  x  3 
 24  24  24  48
x 3
 P  48

M



 x  3 x  2 



 x  3 x  4 
x2  4  5  x  3
x 2  x  12


 x  3 x  2   x  3 x  2   x  3 x  2 



x4
x2

b. Tìm x biết M  3 :
x4
 3
x2
 x  4  3x  6
 4 x  10
5
 x  (tmđk)
2


Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
x  3

(thỏa mãn ĐKXĐ).
x  1

d. Tìm giá trị của tham số m để phương trình M = m có nghiệm duy nhất.
x4
m
x2
 x  4  mx  2m

M m

  m  1 x  4  2m (*)

Để phương trình M = m có nghiệm duy nhất  m  1  0  m  1 .
Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất là : x 
Bài 5.
a, Rút gọn P
Có:
P

x 2  2 x  4  ( x 2  8)  4( x  2)
 x  2  x2  2x  4



2 x  4
 x  2  x2  2x  4

2

 2

2

 2.(2)  4



1
2

4  2m
.
m 1


13)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
3
2
8
P

2
2
37

Vậy P < 0 x  2
d, Tính GTNN của P
Có P 
=> P 

2
2
2


2
x  2 x  4  x  1  3 3
2

2
 x  1 (t/m)
3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P 

2
khi x  1
3

Bài 6.
Tính giá trị của biểu thức B khi 4 x 2  1

a)

1

 x  1 x  1 ; 2 x  1 2 x  1

A



2x 1
 x  1 x  1
A.B 

Vậy

x
x 1

x  2


14)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
c) Tìm giá trị x để M < 1
x
1
x 1
1

0
x 1

b)ĐKXĐ: x  2; x  1
x2  2x x  2 x  2
16
.(


)
x  1 x  2 x  2 4  x2
x( x  2) ( x  2) 2  ( x  2) 2  16
P
.
x 1
( x  2).( x  2)

P  A.B 

x( x  2) x 2  4 x  4  x 2  4 x  4  16
.
x 1
( x  2).( x  2)
x( x  2)
8 x  16
x 8( x  2)
P
.

.
x  1 ( x  2).( x  2) x  1 x  2
8x
P

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x+2(km/h)
Vận tốc ngược dòng là x – 2 (km/h)
Quãng đường xuôi dòng là 5(x + 2) (km)
Quãng đường ngược dòng là 7(x – 2) (km)
Vì quãng đường xuôi dòng và ngược dòng bằng nhau nên ta có phương trình:
5( x  2)  7( x  2)
 5 x  10  7 x  14
 5 x  7 x  14  10

 2 x  24

 x  12(T / m)

Vậy Quãng đường từ A đến B là 5(12+2) = 70 (km)
Bài 9:
Đổi 10 phút =

1
h
6

Gọi x (km) là khoảng cách từ A đến B. (x > 0).
Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là
Thời gian người đi xe máy đi từ B về A là

x
h
45

x


16)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Vì tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút (tính cả thời gian 20 phút nghỉ tại
B) nên ta có phương trình:

t AB  t B  t BA 

35
x 1 x 35

 

 x  75
6
30 3 25 6

Chú ý: Bài này cần sửa đề thành tổng thời gian từ khi đi từ A đến lúc quay về A là 5h 50 phút chứ
nếu chỉ ghi là thời gian cả đi và về là 5h50 phút, học sinh sẽ nhầm là t AB  t BA 

35
.
6

Bài 11:
Gọi thời gian kể từ khi xe khách khởi hành đến khi hai xe gặp nhau là x (h), (x > 0,5)
Ta có quãng đường xe khách đi được là 50 x (km)
Thời gian xe con đi từ B đến khi gặp xe khách là x - 0,5 (h)

30 40 5

Vậy quãng đường từ Hà Nội đến Đền Hùng là 72 km
Bài 13:
Sản phẩm

Năng suất

Thời gian


17)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Kế hoạch

x

60

x
60

Thực tế

x  40

80


4 x  3 x  40 
 2  x  120  480  x  600 (thỏa mãn)
240
Vậy số sản phẩm mà anh công nhân phải làm theo kế hoạch là: 600 sản phẩm.


Bài 14:
Số vải

Năng suất

Thời gian

Kế hoạch

x

28

x
28

Thực tế

x 5

28  4  24

x5
24

24
28
Vậy số vải mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: 371 m


Bài 15, Bài 16. Chưa giải
Bài 17.
Nửa chu vi của hình chữ nhật là 48: 2  24  m .
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (đơn vị : m ). Điều kiện 0  x  24.
Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 24  x  m .
Sau khi tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chiều rộng mới là:
4  24  x   m và chiều dài mới là: 3x  m .

Theo bài ra, chu vi của khu vườn 162m , nên ta có phương trình:
4  24  x   3x  .2  162

Hay 96  4 x  3x  81  x  15.
Ta thấy giá trị x  15 thỏa mãn điều kiện đặt ra.
Do đó chiều dài của hình chữ là 15m , chiều rộng của nó là 9m .
Vậy diện tích khu vườn ban đầu 15.9  135  m2  .
Bài 18.
Gọi số sản phẩm mà tổ I được giao là x  x  N *  .
Thì số sản phẩm được giao của tổ II là 600  x .
Vì tổ I sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 18% nên số sản phản vượt mức là 18%x  0,18x .
Vì tổ II sản xuất vượt mức so với kế hoạch là 21% nên số sản phản vượt mức là
21%  600  x   126  0, 21x .

Theo bài ra ta có phương trình: 0,18x  126  0, 21x  120  0,03x  6  x  200 (thoả mãn).
Vậy số sản phẩm của tổ I được giao là 200 (sản phẩm).
Vậy số sản phẩm của tổ II được giao là 400 (sản phẩm).

3

2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2
 x  3
4. 2  x  3  x 2  3x  0  2  x  3  x  x  3  0   x  3 2  x   0  
x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 3;2
5. x 3 27   x  3 x  9   0   x  3  x 2  3x  9    x  3 x  9   0
  x  3  x 2  3 x  9  x  9   0   x  3   x 2  2 x   0
x  0
 x  x  3 x  2   0   x  3
 x  2

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 0; 3;2
3  x  5  4  2 x  3 2 x  1
x  5 2x  3 2x  1





4
3
12
12
12
12

3


 1 ĐKXĐ: x  1; x  2
x  1 x  2  x  1 x  2 

  x  2 x  2  3 x  1  3   x  1 x  2
 x 2  4  3x  3  3  x 2  x  2  4 x  2  x 

1
 t/m DK 
2

1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=  

2

9.

x3 x2

 2 ĐKXĐ: x  1; x  0
x 1
x

 x  x  3   x  1 x  2  2x  x  1  x2  3x  x2  x  2  2x2  2x  0x  2

Vậy phương trình vô nghiệm.
x 1


Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
12.

2x
x
4
1

1
; DKXD:x  
2x  1 2x  1
2
 2 x  1 2 x  1

 2 x  2 x  1  x  2 x  1   2 x  1 2 x  1  4  4 x 2  2 x  2 x 2  x  4 x 2  1  4
 x  1(t/m)
x 1  0
 2 x  x  3  0   x  1 (2 x  3)  0  

 x   3  t/m 
2 x  3  0

2
2

3
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1;  



Vậy tập nghiệm của phương trình là: S= 1; 4
x 7 x  5 4x
15 x 10  7 x  5 24 x 240


 8 



2
3
5
30
30
30
30
190
 15 x  70 x  50  24 x  240  79 x  190  x 
79

15.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x | x 


190 

79 

16. 3x  3  5 x  1  2  3x  5x  5  2  3  2x  0  x  0

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   x | x 


59 

2 

x 1
 1; DKXD: x  3
x3
x 1 x  3
x 1 x  3
2


0
0
 0  x  3  0  x  3(t / m)
x3 x3
x3
x3

18.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  3
19.  x 2  1  3x  2   0

Vì x2  0 x  x2  1  1 x
Vậy để :  x 2  1  3x  2   0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  1; x  2
2x  1
2 x  1 2  x  3
2x  1  2x  6
 2;DKXD: x  3 

0
0
x3
x3
x3
x3
5

 0  x  3  0  x  3 (t / m)
x3

21.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S  x | x  3
4. DẠNG 4. HÌNH HỌC
Bài 22.


23)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS
a) Chứng minh: ABH ∽CBA



 (tính chất đường phân giác trong tam giác)
DA AB 6 3

 DC 

5
DA
3
5
3

8
3

Mà DC  DA  AC  DA  DA  8  DA  8  DA  3 cm
 DC  AC  DA  8  3  5 cm

c) Chứng minh: AB.BI  BD.HB
Ta có BD là tia phân giác của B
 CBD  ABD hay HBI  ABD

Xét ABD và HBI ta có :
HBI  ABD  cmt 

  ABD ∽ HBI  g  g 
BAD  BHI  90 




1
AB. AD  .6.3  9 cm 2
2
2
2

2

S
 AB   6  25
Lại có : ABD ∽ HBI  cmt   ABD  

 
SHBI  HB   3,6 
9

Bài 23, 24. 25: Chưa giải


25)3
3

Sản phẩm được thực hiện bởi tập thể giáo viên nhóm TOÁN THCS

Bài 26.
C
M

A



IM IB

IA ID

IM
IB

(cmt) và AIM  DIB ( đối đỉnh)
IA ID

Suy ra IMA ∽ IBD  c.g.c   MAI  BDI
Xét DBA và DCK có: DAB  DKC  900 ; D chung nên DBA ∽ DCK  g.g 


DA DB

DK DC