TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI
VECTƠ
GIÁ TRỊ VÀ
LƯỢNG
GIÁC CỦA
MỘT GĨC
ỨNG
DỤNG

7
BÀI
1.

0
0
BẤT KỲ TỪ 0 ĐẾN 180

1. Định nghĩa
a ( 00 �a �1800 )

ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn
�
M ( x0 ; y0 ) .
đơn vị sao cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ
y
Khi đó ta có định nghĩa:
1
�sin của góc a là y0, kí hiệu sin a = y0 ;
Với mỗi góc

�cosin của góc a là x0, kí hiệu cosa = x0 ;

1

O

x0
.
y0

2. Tính chất
�
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM = a
0
�
thì xON = 180 - a. Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0. Do đó y
sin a = sin( 1800 - a )
cosa = - cos( 1800 - a )

y0

N

tan a = - tan( 1800 - a )

M

cot a = - cot( 1800 - a ) .

x

a

2

3
2

1

0

cosa

1

3
2

2
2

1
2

0

- 1

1


tana

Trong bảng kí hiệu " P" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính
chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn:
sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 =

3
2

cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = -

2
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
r
r
r
uur r
Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a
uur r
r
0
0
�
và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0 đến 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a
r r
r r

a, b = b, a .

( )

O

( ) ( )

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
0
0
Câu 1. Giá trị cos45 + sin45 bằng bao nhiêu?

A. 1.

B.
0

2.

C.

3.

0

Câu 2. Giá trị của tan30 + cot30 bằng bao nhiêu?

4


D. 0.


tan150O = C.

1
3

.

O
D. cot150 = 3.

o
o
o
o
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 .

A. P = 3.

B.

P=

3
.
2


C. sin60 + cos150 = 0.
D. sin120 + cos30 = 0.
Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
O
O
A. sin0 + cos0 = 0.

O

O
O
B. sin90 + cos90 = 1.

sin60O + cos60O =

O

C. sin180 + cos180 =- 1.
D.
Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
O
O
A. cos45 = sin45 .

3 +1
.
2

O
O

D.
Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là
đúng?

A.

� =
sin BAH

3
� = 1.
cosBAH
.
3
2 B.

C.

� =
sin ABC

3
.
2

� = 1.
sin AHC
2
D.



3
.
4

B. P = 0.

1
P= .
2
C.

D. P = 1.

3


Câu 14. Cho hai góc a và b với a + b = 180�. Tính giá trị của biểu thức
P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P =- 1.

D. P = 2.

P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C )
Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính
.

+ sin2 75�
+ cos2 110�.
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin 15�
A. S = 0.
B. S = 1.
C. S = 2.
D. S = 4.
Câu 19. Cho hai góc a và b với a + b = 90�. Tính giá trị của biểu thức
P = sin a cosb + sin b cosa .

A. P = 0.

C. P =- 1.
D. P = 2.
Câu 20. Cho hai góc a và b với a + b = 90�. Tính giá trị của biểu thức
P = cosa cosb - sin b sin a .
A. P = 0.

B. P = 1.

B. P = 1.
C. P =- 1.
D. P = 2.
Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 21. Cho a là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin a < 0.
B. cosa > 0.
C. tan a < 0.
D. cot a > 0.

C. cos90�

15�
< sin90�
30�
.
B. sin90�

.
D. cos150�> cos120�

Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
2
2
Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos a + sin a = 1?

4


A.

cos2

a
a 1
+ sin2 = .
2
2 2

B.

3 bằng bao nhiêu ?
Câu 27. Cho biết
Giá trị của
105
107
109
111
P=
.
P=
.
P=
.
P=
.
25
25
25
25
A.
B.
C.
D.
cos2

a
a 1
+ sin2 = .
4
4 4

2cot
a + tan a bằng bao nhiêu ?
3 Giá trị của
Câu 29. Cho biết
19
19
25
25
P =.
P= .
P= .
P =.
13
13
13
13
A.
B.
C.
D.
2
Câu 30. Cho biết cot a = 5. Giá trị của P = 2cos a + 5sin a cosa +1 bằng bao
nhiêu ?
10
100
50
101
P= .
P=
.

0
0
Câu 32. Cho biết 2cosa + 2sin a = 2 , 0 < a < 90 . Tính giá trị của cot a.

A.

cot a =

5
.
4

cot a =

3
.
4

cot a =

2
.
4

B.
C.
D.
sin
a
+

sin a cosa =

a2 - 11
.
2

D.
1
cosa + sin a = .
2
2
3 Giá trị của P = tan a + cot a bằng bao
Câu 34. Cho biết
nhiêu ?
5
7
9
11
P= .
P= .
P= .
P= .
4
4
4
4
A.
B.
C.
D.

19
.
5

P=

D.

21
.
5

P=

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP. Góc nào sau
O
đây bằng 120 ?
uuuu
r uuur
uuur uuur
uuuu
r uur
uuuur uuur
MN , NP
MO,ON .
MN ,OP .
MN , MP .
A.
B.

3 3
.
2

3
P= .
2
B.

C.

)

P =-

(

3
.
2

Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính
0
A. 30 .

(

)

)

sai?
uuu
r uuu
r
uuu
r uuur
AB, BC = 1300.
BC, AC = 400.
A.
B.
uuu
r uur
uuur uur
AB, CB = 500.
AC, CB = 400.
C.
D.
uuur uur
cos AC,CB .
Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2AC. Tính
uuur uur
uuur uur
1
1
cos AC,CB = .
cos AC,CB = - .
2
2
A.
B.

)

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

(

o
A. 180 .

o

D. 120 .
uuur uuu
r
uuu
r uur
AB, BC + BC,CA .

) (

)

o
D. 240 .

o
Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100 và có trực tâm H . Tính tổng
uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur
HA, HB + HB, HC + HC, HA .

(

) (

o
A. 360 .


2
A.
uuur uuu
r
cos AC, BA = 0.
C.

(

)

(

)

B.
D.

Cõu 45. Cho hỡnh vuụng

uuur uuu
r
cos AC, BA =-

(

)

uuur uuu
r

0
C. 315 .

0
D. 225 .

TCH VO HệễNG CUA HAI
VECTễ

1. nh ngha

r
r
r
r
r
Cho hai vect a v b u khỏc vect 0. Tớch vụ hng ca a v b l mt
rr
ab
s, kớ hiu l . , c xỏc nh bi cụng thc sau:

rr r r
r r
ab
. = a . b cos a, b .

( )

Trng hp
rr

r
phng vụ hng ca vect a.
Ta cú:

r2 r r
r2
a = a . a .cos00 = a .
2. Cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng
Ngi ta chng minh c cỏc tớnh cht sau õy ca tớch vụ hng:
r r r
Vi ba vect a, b, c bt kỡ v mi s k ta cú:
rr rr
. = ba
. (tớnh cht giao hoỏn);
ab
r r r
rr rr
a b+ c = ab
. + a.c

(tớnh cht phõn phi);
r r
rr
r r
ka .b = k ab
. = a. kb

;
r2
r2

r2

rr

r2

2

2

a- b) = a - 2ab
. +b ;
�(
r r r r
r
r
a + b)( a- b) = a - b .
(
�
2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
rr

Trên mặt phẳng tọa độ
rr
. là:
tích vô hướng ab

Nhận xét. Hai vectơ

Độ dài của vectơ
được tính theo công thức:

r
a = a12 + a22 .

b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu
r
r
b = ( b1;b2 )
đều khác 0 thì ta có

r
a = ( a1;a2 )

và

rr
r r
ab
.
ab
1 1 + a2b2
cos a;b = r r =
.
2
a1 + a22 . b12 + b22
a. b



r r

rr
rr
ab
. =- a. b
.
0.
.
- 1.
A.
.
B. ab=
C. ab=
D.
.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc a giữa hai vectơ a và b

8


khi

rr


0
0
C. a = 60 .
D. a = 120 .
r
r
r
r 2r
r
u = a- 3b
r
a = b =1
5
Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn
và hai vectơ
và
r
r
r r r
v = a+ b vuông góc với nhau. Xác định góc a giữa hai vectơ a và b.
0
A. a = 90 .

0
0
0
B. a = 180 .
C. a = 60 .
D. a = 45 .

a +b - a- b �
.
a
.b = �
a +b - a- b �
.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
4
C.
D.
uuu
r uuur
Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.AC.

uuu
r uuur
uuu
r uuur
a2 3
a2
uuu

r
AB
.
BC
=
.
AB
.
BC
=
.
AB
.
BC
= .
2
2
2
2
A. AB.BC = a . B.
C.
D.

Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào
sau đây là sai?
uuu
r uuu
r a2
uuur uuur 1 2
uuur uur

B.
C.
D.
uuu
r uuu
r
Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC.
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r a2 2
a2 2
uuu
r uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
AB
.
BC
=
.
AB

2
2
2
A. BA.BC = b .
B. BA.BC = c .
C. BA.BC = b + c . D. BA.BC = b - c .

(

)

9


uur uur
Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2 cm, BC = 3 cm, CA = 5 cm. Tính CA.CB.
uur uur
uur uur
uur uur
uur uur
A. CA.CB = 13.
B. CA.CB = 15.
C. CA.CB = 17.
D. CA.CB = 19.
uuur uuur uuu
r
P = AB + AC .BC.
BC
=
a

uuuu
r uuu
r
BC. Tính AM .BC.
P=

c2 + b2
.
2

uuuu
r uuu
r b2 - c2
AM .BC =
.
2
A.
uuuu
r uuu
r c2 + b2 + a2
AM .BC =
.
3
C.

P=

uuuu
r uuu
r c2 + b2

sai?
uuuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuuur uuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r uuur
MN NP + PQ = MN .NP + MN .PQ
A.
. B. MP.MN = - MN .MP .
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r
MN
PQ
MN
+
PQ
= MN 2 - PQ2
C. MN .PQ = PQ.MN .
D.
.

(

)(

)

(

)

2
2
C. P =- 3a .
D. P = 2a .
uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
P = AB + AC . BC + BD + BA .
Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính

A. P = - 1.

2
B. P = 3a .

(

)(


D. AE.AB = 5a .
Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng

A. P = 2 2a.

10


AM =

AC
4 . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính

AC sao cho
uuur uuuu
r
MB.MN .
uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
A. MB.MN = - 4. B. MB.MN = 0.

uuur uuuu
r
uuur uuuu
r
C. MB.MN = 4.
D. MB.MN = 16.
uuu

C. AB.AC = 28.
D. AB.AC = 32.
�
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 12 cm , góc ABC nhọn
uuu
r uuu
r
cos AB, BC .
54 cm2.
và diện tích bằng
Tính

(

uuu
r uuu
r
2 7
cos AB, BC =
.
16
A.
uuu
r uuur
5 7
cos AB, BC =
.
16
C.



)

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung
uuur uuur
điểm của cạnh AD. Tính BK .AC.
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
2
2
A. BK .AC = 0.
B. BK .AC =- a 2. C. BK .AC = a 2. D. BK .AC = 2a .
Vấn đề 2. QUỸ TÍCH

uuur uuur uuur
MA MB + MC = 0

(

)

Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn
là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.

r
2
điểm N thỏa mãn AN .AB = 2a là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa
uuur uuur
mãn MA.MB = - 16 là:
A. một điểm.
B. đường thẳng.
C. đoạn thẳng.
D. đường tròn.
Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ

11


A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC )
Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định
thì
 Trung điểm I của đoạn

�xA + xB yA + yB �
�
AB ��
�I �
;
.

��uuu
.
r uur
�
�HB.CA = 0
�
 Trực tâm







�AE 2 = BE 2
E ��
� EA = EB = EC � �
.
� 2
�
AE = CE 2
�
Tâm đường tròn ngoại tiếp
uuur uuu
r
�AK .BC = 0
�
A ��
��
uuur

uuu
r uuur
�AB.AC = 0
�
A ��
��
.
�AB = AC
ABC
�
 Tam giác
vuông cân tại
S=

(

)

A ( 3;- 1) , B( 2;10) , C ( - 4;2) .
Oxy,
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba điểm
uuu
r uuur
Tính tích vô hướng AB.AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu

Oxy,
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i - 7 j.
rr
..
Tính tích vô hướng ab
rr
rr
rr
rr
.
- 30.
.
3.
.
30.
.
43.
A. ab=
B. ab=
C. ab=
D. ab=
r
r
a= ( - 3;2)
b= ( - 1;- 7) .
Oxy,
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và

r
c= ( - 1;3) .

C.

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ
r
c= ( 2;3) .
r r r
P = a. b+ c .
Tính
A. P = 0.
B. P = 18.

(

Oxy,

r
c= ( 1;- 3) .
cho ba vectơ

r
c= ( 1;3) .
D.
r
r
a = ( 1;2) , b = ( 4;3)

và


C. P = 20.

B.

r r
cos a, b = -

2
.
2

( )

r r
1
cos a, b = .
2
D.

( )

( )

Oxy,
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ
r
Tính cosin của góc giữa hai vectơ a
r r
5

r r
1
cos a, b = .
2
D.
r
r
a= ( 4;3)
b= ( 1;7)
Oxy,
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
. Tính
r
r
góc a giữa hai vectơ a và b.

( )

( )

( )

( )

O
A. a = 90 .

O

C. a = 90 .

O
A. a = 30 .

O
B. a = 45 .

O
C. a = 60 .

O
D. a = 135 .
r
r
a= ( 2;5)
b= ( 3;- 7)
Oxy,
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.
r
r
Tính góc a giữa hai vectơ a và b.

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ
r
không vuông góc với vectơ a ?
ur

uu
r
v4 = ( - 1;3) .

A ( 1;2) , B( - 1;1)

và

C ( 5;- 1)

.

13


uuur
uuu
r
Tính cosin của góc giữa hai vectơ AB và AC.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3
1
cos AB, AC =
.
cos AB, AC =- .
2
2


A ( 6;0) , B ( 3;1)
Oxy,
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( - 1;- 1)
. Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
O
O
O
O
A. 15 .
B. 60 .
C. 120 .
D. 135 .
A ( - 8;0) , B( 0;4) , C ( 2;0)
Oxy,
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ
cho bốn điểm
D ( - 3;- 5) .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
�
�
�
A. Hai góc BAD và BCD phụ nhau. B. Góc BCD là góc nhọn.
uuu
r uuur
uur uuu
r
cos AB, AD = cos CB,CD .

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và v = ki r
r
Tìm k để vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau.

(

)

(

và

và

)

r
4 j.

r
4 j.

5
k= .
8
A.
B.
C.

u
r
ru
r
ru
r
. = 4 và bd
. =- 2 .
vectơ d biết ad
u
r �
u
r
u
r �
u
r � 5 6�
�
� 5 6�
�
5 6�
5 6�
�
�
�
d =�
; �
.
d
=

�
7
7
7
7
A.
B.
C.
D.
r
r
u = ( 4;1) , v = ( 1;4)
Oxy,
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ
cho ba vectơ
và
r r
r
r
a = u + mv
. với m��. Tìm m để a vuông góc với trục hoành.
A. m= 4.
B. m=- 4.
C. m=- 2.
D. m= 2.

k=

37
.

r r r
r
r r
m để vectơ a = mu
. + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450.
1
1
1
m= - .
m= - .
m= .
m=
4.
2
4
2
A.
B.
C.
D.
Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ
M ( 1;- 2)
N ( - 3;4) .
và
A. MN = 4.

B. MN = 6.

Oxy,

r r
a =- i j
r
O;i ; j
5 5 . Độ dài của vectơ a
Câu 53. Trong hệ tọa độ
, cho vectơ
bằng
1
6
7
.
.
.
5
5
1.
A.
B.
C.
D. 5
r
r
u = ( 3;4)
v = ( - 8;6)
Oxy,
Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai vectơ
và
.

�
� 2�
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
AB = CD .
A. AB cùng phương với CD.
B.
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
C. AB ^ CD.
D. AB = CD.
A ( 7;- 3) , B( 8;4) , C ( 1;5)
Oxy,
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ
cho bốn điểm
và
D ( 0;- 2)
. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur uur

C ( 1;- 1)
. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn.
C. Tam giác ABC cân tại B .

D. Tam giác ABC vuông cân tại A .

A ( 10;5) , B( 3;2)
Oxy,
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và
C ( 6;- 5)
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông cân tại B . D. Tam giác ABC có góc A tù.
A ( - 2;- 1) , B( 1;- 1)
Oxy,
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( - 2;2)
và
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC vuông cân tại A .
C. Tam giác ABC vuông tại B .
D. Tam giác ABC vuông cân tại C .
Vấn đề 5. TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC


A ( 1;2)
B( - 3;1) .
Oxy,
Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm tọa
độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.
A.

C ( 0;6) .

B.

C ( 5;0) .

C.

C ( 3;1) .

D.

C ( 0;- 6) .

A ( �4;0) , B ( �
5;0)
C ( 3;0) .
cho ba điểm
và

và
Tìm
M
,
N
,
P
tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm
thẳng hàng.

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ

A.

P ( 0;4) .

B.

P ( 0;�
4) .

Oxy,

C.
Oxy,

P( �
4;0) .

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ

A ( 1;3)
B( 4;2) .
Oxy,
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm tọa
C
C
B
.
A
độ điểm
thuộc trục hoành sao cho
cách đều hai điểm
và
�5 �
�
�
�
�
�
�
�
5 �
3
3 �
C�
- ;0�
.

Oxy,
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
Tìm điểm
0
�
M thuộc trục hoàng sao cho AMB = 90 ?
M ( 0;1) .
M ( 6;0) .
M ( 1;6) .
M ( 0;6) .
A.
B.
C.
D.
A ( 1;- 1)
B( 3;2) .
Oxy,
Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ
cho hai điểm
và
Tìm M
2
2
thuộc trục tung sao cho MA + MB nhỏ nhất.
� 1�
M�
0;- �
.
�

� 1�
M�
0; �
.
�
�
�
�
�
2�
C.

A ( 1;3) , B ( - 2;4) , C ( 5;3) .
� 10�
G�
2; �
.
�
�
�
�
�
3�
A.

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho.
�
�
8 10�
4 10�

Oxy,
mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có

Câu 71. Trong
C ( 2;- 2) .
Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.
�
�1 �
�
� 1�
� 1�
�
1 �
I�
;1�
.
I�
- ;1�
.
I�
1; �
.
I�
1;- �
.
�
�
�
�

Oxy,
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
và
C ( - 3;- 8) .
Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
A '( 1;- 4) .
A '( - 1;4) .
A '( 1;4) .
A '( 4;1) .
A.
B.
C.
D.
A ( 2;4) , B( - 3;1) ,
Oxy,
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ
cho tam giác ABC có
C ( 3;- 1) .
Tìm tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.

17




3 1
A '
;
.



3 1
A '
;-
.




5 5
D.
A ( - 3;- 2) , B( 3;6)

Oxy , cho ba im
Cõu 75. Trong mt phng ta
v
C ( 11;0) .
Tỡm ta im D t giỏc ABCD l hỡnh vuụng.
D ( 5;- 8) .
D ( 8;5) .
D ( - 5;8) .
D ( - 8;5) .
A.
B.
C.
D.
A ( 2;4)
B ( 1;1) .
Oxy,

B.

D ( 2;- 3) .

C.

D ( 2;- 3) , D ( 0;1) .

D ( - 2;- 3) .

D.

A ( 1;2) , B( - 1;3) , C ( - 2;- 1)
Oxy,
Cõu 78. Trong mt phng ta
cho bn im
D ( 0;- 2) .
v
Mnh no sau õy ỳng ?
A. ABCD l hỡnh vuụng.
B. ABCD l hỡnh ch nht.
C. ABCD l hỡnh thoi.
D. ABCD l hỡnh bỡnh hnh.
A ( 1;3)
B ( 4;2)
Oxy,
Cõu 79. Trong mt phng ta
cho tam giỏc OAB vi
v
.

(

)

E = - 2+ 3 2;4 + 2 .

D.

(

E = - 2+ 3 2;4-

)

2.

A ( 2;0) , B( 0;2)
C ( 0;7) .
Oxy,
Cõu 80. Trong mt phng ta
cho ba im
v
Tỡm ta nh th t D ca hỡnh thang cõn ABCD.
A.

D ( 7;0) .

B.

BAỉI


C


a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A;
b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB;
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC.
Hệ quả

cos A =

b2 + c2 - a2
c2 + a2 - b2
a2 + b2 - c2
; cos B =
; cosC =
.
2bc
2ca
2ab

2. Định lí sin
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Ta có
a
b
c
=
=

;
2
4
mc
mb
a2 + b2 c2
mc2 =
.
a
B
C
2
4

4. Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có
● ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB ;
● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;
a + b+ c
p=
2
●
là nửa chu vi tam giác;
S
●
là diện tích tam giác.
Khi đó ta có:
1
1

C. 60�

.
D. 90�

�
Câu 2. Tam giác ABC có AB = 2, AC = 1 và A = 60�. Tính độ dài cạnh BC .

A. BC = 1.

B. BC = 2.
C. BC = 2.
D. BC = 3.
Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 ,
�
cạnh AB = 9 và ACB = 60�. Tính độ dài cạnh cạnh BC .
A. BC = 3+ 3 6. B. BC = 3 6 - 3.

C. BC = 3 7.

D.

BC =

3+ 3 33
.
2

� = 45�
AB = 2, AC = 3 và C


5 6
.
2

C. AC = 5 2.
D. AC = 10.
�
Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có BAD = 60�. Tính độ dài cạnh
AC .
A.

A. AC = 3.

B. AC = 5 3.

B. AC = 2.

C. AC = 2 3.

D. AC = 2.

AB = 4, BC = 6, AC = 2 7
Câu 7. Tam giác ABC có
. Điểm M thuộc đoạn BC
sao cho MC = 2MB . Tính độ dài cạnh AM .
A. AM = 4 2.

B. AM = 3.


Câu 10. Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm
�
�
�
MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y
cho các góc MPE , EPF , FPQ bằng nhau. Đặt
.
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
2
2
2
A. ME = EF = FQ.
B. ME = q + x - xq.

20


2
2
2
2
2
2
C. MF = q + y - yq.
D. MQ = q + m - 2qm.
�
Câu 11. Cho góc xOy = 30�. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox
Oy
và
sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

.
.
A. 30�
B. 45�
C. 60�
D. 90�
B.

3.

Câu 14. Tam giác ABC vuông tại A , có AB = c, AC = b . Gọi l a là độ dài đoạn
�
phân giác trong góc BAC . Tính l a theo b và c .
A.

la=

2bc
.
b+ c

B.

la=

2( b+ c)
bc

.


�
và B có thể nhìn thấy điểm C . Ta đo được khoảng cách AB = 40m , CAB = 45
0
�
và CBA = 70 .
Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng
cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 53 m .

21


B. 30 m .
C. 41,5 m .
D. 41 m .

Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (hình vẽ).
0
�
Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 45 .
Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 17,5m .
B. 17m .
C. 16,5m .
D. 16m .
Câu 18. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn
hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo
0 �
0
�

A. 40m .

B. 114m .
C. 105m .
D. 110m .
Câu 21. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của
ngọn núi. Biết rằng độ cao AB = 70m , phương nhìn AC tạo với phương nằm
0
0
ngang góc 30 , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30' .
Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần
nhất với giá trị nào sau đây?
A. 135m .
B. 234m .

C. 165m .

D. 195m .
Vấn đề 2. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Câu 22. Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm . Độ dài đường
trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác bằng:
A. 4cm .

B. 3cm .
C. 7cm .
D. 5cm .
Câu 23. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a . Tính độ dài đường
trung tuyến BM của tam giác đã cho.



AC =

D.

AM =

13
2 cm.

15
cm
2
. Gọi D là điểm

A. AD = 6 cm.

B. AD = 9 cm.
C. AD = 12 cm.
D. AD = 12 2 cm.
Câu 26. Tam giác ABC có AB = 3, BC = 8 . Gọi M là trung điểm của BC . Biết
� =
cos AMB

5 13
26 và AM > 3 . Tính độ dài cạnh AC .

A. AC = 13 .

B. AC = 7 .

B. 24 2 .

a 3
A. 2 .

a 3
B. 3 .

C. 2a 3 .
D. 3a 3 .
Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n .
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào đúng:
A.

m2 + n2 = 3( a2 + b2 )
2( m + n ) = a + b

.

B.

m2 + n2 = 2( a2 + b2 )

.

3( m + n ) = a + b
D.
.
Câu 31**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Các cạnh a, b, c liên hệ với
2

0
0
C. 60 .
D. 90 .
Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến ma, mb, mc thỏa mãn
5ma2 = mb2 + mc2
. Khi đó tam giác này là tam giác gì?

A. Tam giác cân.
C. Tam giác vuông.

B. Tam giác đều.
D. Tam giác vuông cân.
Câu 33**. Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b . Gọi ma, mb, mc là độ dài ba
đường trung tuyến, G trọng tâm. Xét các khẳng định sau:
1 2
3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( I ) . ma + mb + mc = 4( a + b + c ) .
( II ) . GA +GB +GC = 3( a + b + c ) .
Trong các khẳng định đã cho có

3.

D. R = 10 3 .

�
Câu 35. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6 và A = 60�. Tính bán kính R của

24


đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R = 3 .

B. R = 3 3 .
C. R = 3 .
D. R = 6 .
Câu 36. Tam giác ABC có BC = 21cm, CA = 17cm, AB = 10cm . Tính bán kính R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
85
85
7
7
R = cm
R = cm
R = cm
R = cm
8
2
4
2


R=

a 3
4 .

D.
12
AB 3
AH = cm
=
5
Câu 38. Tam giác ABC vuông tại A có đường cao
và AC 4 .
Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
A. R = 2,5cm .
B. R = 1,5cm .
C. R = 2cm .
D. R = 3,5cm .
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB = 3 3, BC = 6 3 và CA = 9 . Gọi D là trung
điểm BC . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
9
9
R=
R=
6.
2.
A.
B. R = 3 .
C. R = 3 3 .

2cosa
.

2

a + b + 2abcosa
2cosa
.

D.

Vấn đề 4. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
�
Câu 41. Tam giác ABC có AB = 3, AC = 6, BAC = 60�. Tính diện tích tam giác
ABC .

9 3
2 .

9
SD ABC =
S
=
9
2.
B.
C. DABC
.
D.
�