http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 0 0 ĐẾN 1800
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
y
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi

M(x;y)

Q

góc a (0 £ a £ 180 ), ta xác định điểm M trên trên đường
0

0

·
nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho a = xOM
. Giả sử
điểm M có tọa độ (x; y) .

O

P

Khi đó:

+
+
+

1800
+
-

• Góc bù nhau
sin(180 0 - a ) = sin a

cos(90 0 - a ) = sin a

cos(1800 - a ) = - cos a

tan(90 0 - a ) = cot a

tan(180 0 - a ) = - tan a

cot(90 0 - a ) = tan a
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

cot(180 0 - a ) = - cot a

)

x


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải


3
2

2
2

1
2

0

0

3
3

1

3



-

3

- 1

3


1
2

-

1500

1800

1
2

2
2

-

0

3
2

uuur uur
AB2 + EF 2 = AB + EF

(

-



Suy ra sin 2 a + cos2 a = OQ + OP = OQ2 + OP 2
+ Nếu a = 00 , a = 900 hoặc a = 1800 thì dễ dàng thấy sin2 a + cos2 a = 1
+ Nếu a ¹ 00 , a ¹ 900 và a ¹ 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có

sin2 a + cos2 a = OQ2 + OP2 = OQ2 + QM2 = OM2 = 1
Vậy ta có sin2 a + cos2 a = 1

sin 2 a
cos 2 a + sin 2 a
1
=
=
suy ra được 5)
2
2
cos a
cos a
cos2 a
cos2 a sin 2 a + cos2 a
1
=
=
Tương tự 1 + cot 2 a = 1 +
suy ra được 6)
2
2
sin a
sin a
sin 2 a

C. B = 1

D. B = 0

b) B = 3 - sin2 900 + 2cos2 600 - 3tan2 450
A. B = 2

B. B = 3

c) C = sin2 450 - 2sin2 500 + 3cos2 450 - 2sin2 400 + 4 tan 550.tan 350
A. C = 3

B. C = 4

C. C = 2

D. C = 1

Lời giải:
a) A = a 2 .1 + b2 .0 + c 2 .(- 1) = a 2 - c 2
2

2
æ 2ö
æ1 ö
çç ÷
÷
ç
÷=1
3

èç 2 ø
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin2 30 + sin2 150 + sin2 750 + sin2 870
A.2

B.3

C.4

D.1


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b) B = cos00 + cos 200 + cos 400 + ... + cos1600 + cos1800
A.2

B.3

C.4

D.0

C.4

D.0

c) C = tan 50 tan100 tan150...tan800 tan850
A.1

B.3


2
- 2 3
2

D. A = 1 +

2
2

3


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b) B = 4a2 sin 2 450 - 3( a tan 450 )2 + (2 a cos 450 )2
A. B = a2

B. B = 3a2

1 2
a
2

C. B = 4a2

D. B =

C. C = - 3

D. C = - 5

2

C. E =

91
2

D. E =

9
2

f) F = cos3 10 + cos3 20 + cos3 30 + ... + cos3 1790 + cos3 1800
A. F = 0
Bài 2.1: a) A =

B. F = - 1

C. F = 1

D. F = - 2

2
1
3
3
2
5 2
+ 2. - 5.
+ 4.

+1
2


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
1
91
E = 114444
+ 14+2 4444
... + 413 + + 1 =
2
2
44 sô

f) F = (cos3 10 + cos3 1790 )+ ... + (cos3 890 + cos3 910 )+ cos 3 900 + cos 3 1800

F = cos3 900 + cos3 1800 = 0 - 1 = - 1
Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
P = 4 tan (x + 4 ).sin x.cot (4 x + 26 )+
0

A.3

0

8 tan 2 (30 - x)
1 + tan (5 x + 3
2

B.4

 DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ
thuộc x, đơn giản biểu thức.
1. Phương pháp giải.
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
• Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x.cos2 x
b)

1 + cot x tan x + 1
=
1 - cot x tan x - 1

c)

cos x + sin x
= tan 3 x + tan 2 x + tan x + 1
cos3 x

Lời giải


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
a) sin4 x + cos4 x = sin4 x + cos4 x + 2sin2 x cos2 x - 2sin2 x cos2 x
2

= (sin 2 x + cos 2 x) - 2 sin 2 x cos 2 x
= 1 - 2 sin 2 x cos 2 x

= tan3 x + tan2 x + tan x + 1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
B
B
cos 3
2 +
2 - cos (A + C ) .tan B = 2
æA + C ö
æA + C ö
sin B
÷
÷
cos çç
sin çç
÷
÷
÷
÷
çè 2 ø
èç 2 ø
sin 3

Lời giải:
Vì A + B + C = 1800 nên

B
B
cos3
cos (1800 - B)
2

2 - - cos B .tan B = sin 2 B + cos 2 B + 1 = 2 = VP
=
B
B
sin B
2
2
sin
cos
2
2
sin 3

Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A = sin(900 - x) + cos(1800 - x) + sin 2 x(1 + tan 2 x) - tan 2 x


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
A.0

B.1

1
1
1
.
+
sin x 1 + cos x 1 - cos x



2

1
2
1
2
.
- 2=
.
2
sin x 1 - cos x
sin x sin 2 x
æ 1
ö
= 2 çç 2 - 1÷
÷= 2 cot 2 x
çèsin x ÷
ø

=

2

Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x.
P=

sin 4 x + 6 cos 2 x + 3 cos 4 x +

cos 4 x + 6 sin 2 x + 3 sin 4 x


sin 2 x) + 6 sin 2 x + 3sin 4 x

4 sin 4 x + 4 sin 2 x + 1
2

2

x + 1)

= 2 cos 2 x + 1 + 2 sin 2 x + 1
= 3
Vậy P không phụ thuộc vào x .
3. Bài tập luyên tập.
Bài 2.3. Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
a) tan2 x - sin2 x = tan2 x.sin2 x
b) sin6 x + cos6 x = 1- 3sin2 x.cos2 x
c)

tan 3 x
1
cot 3 x
+
= tan 3 x + cot 3 x
2
2
sin x sin x cos x cos x

1
1
1
= cot 2 b - cot 2 a =
= VP
2
2
2
tan b tan a
sin b sin 2 a

Bài 2.4. Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A =

1
- tan 2 (1800 - x)- cos2 (1800 - x)
cos2 x

A. A = sin2 x
b) B =

B.0

cos 2 x - sin 2 x
- cos 2 x
2
2
cot x - tan x

C.1

1 - sin a
1 + sin a

1
cos a

B. D =

3
cos a

C. D =

2
cos a

D. D =

Lời giải:
Bài 2.4: a) A = tan2 x + 1- tan2 x - cos2 x = sin2 x
b) B = =

cos 2 x - sin 2 x
- cos 2 x
1
1
- 1+1
sin 2 x
cos 2 x


4
+ 2=
2
cos a
cos 2 a

2
cos a

Bài 2.5.Rút gọn biểu thức. (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2
A.1

B.2

C.3

D.4

a
cos a


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
b) 2(sin 6 a + cos6 a ) - 3(sin 4 a + cos 4 a )
A.-1

B.2

C.3

A.1

B.2

2
3

Lời giải:
Bài 2.5: a) (tan a + cot a )2 - (tan a - cot a )2 = 4
b) 2(sin 6 a + cos6 a ) - 3(sin 4 a + cos 4 a )

= 2 (1 - 3sin 2 x.cos2 x)- 3 (1 - 2 sin 2 x.cos 2 x) = - 1
3

c) cot 2 300 (sin8 a - cos8 a ) + 4 cos 600 (cos6 a - sin 6 a ) - sin 6 (900 - a ) (tan 2 a - 1)
= 3 (sin 2 a - cos 2 a )(sin 4 a + cos 4 a )
- 2 (sin 2 a - cos 2 a )(sin 4 a + sin 2 a cos 2 a + cos 4 a )
3

3

3

- (sin 2 a - cos 2 a ) = (sin 2 a - cos 2 a ) - (sin 2 a - cos 2 a ) = 0

d) (sin 4 x + cos 4 x - 1)(tan 2 x + cot 2 x + 2) = - 2
sin 4 x + 3 cos 4 x - 1
2
=
e)


C. B = - 1

D. B = 2

B
B
cos
2 2 - cos (A + C ) .tan B
b B=
A+ C
A+ C
sin B
cos
sin
2
2
sin

A. B = 3

B. B = 1

Lời giải:
Bài 2.6: a) A = 1 b) B = 1
 DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện.
1. Phương pháp giải.
• Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
• Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ


C.Cả A, B đều đúng

B. cot a = -

2
5

D.Cả A, B đều sai

c) Cho tan g = - 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại.


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

1
3

A. cos a = -

C. cot a = -

B. tan a =

1

2 2
3

D.Cả A, B, C đều đúng

cos a
cot a =
=
sin a

-

1 - cos 2 a =

1-

4
5
=
và
9
3

2
3=- 2
5
5
3

c) Vì tan g = - 2 2 < 0 Þ cos a < 0 mặt khác tan 2 a + 1 =
cos a = -

1
=tan 2 + 1


Ví dụ 2: a) Cho cos a =

tan a + 3 cot a
3
với 00 < a < 900 . Tính A =
.
tan a + cot a
4


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

A. A = -

17
8

b) Cho tan a =

A. B =

3

(

B. A =

2 . Tính B =

)


C. B =

3

(

)

2- 1

1+ 8 2

Lời giải:

1
1
+2
2
tan a + 3 cos 2 a
tan
a
a) Ta có A =
=
=
= 1 + 2 cos 2 a
1
1
tan 2 a + 1
tan a +


3
=

(

)

2- 1

3+ 8 2

Ví dụ 3: Biết sin x + cos x = m
a) Tìm sin 4 x - cos4 x

A. A =

3 + 2 m2 - m4
3 3 + 2 m2 - m4
B. A =
12
2

C. A =

3 + 2 m2 - m4
D. A =
2

b) Chứng minh rằng m £

Đặt A = sin 4 x - cos4 x . Ta có

A = (sin2 x + cos2 x)(sin2 x - cos2 x) = (sin x + cos x)(sin x - cos x)
2

2

Þ A 2 = (sin x + cos x) (sin x - cos x) = (1 + 2 sin x cos x)(1 - 2 sin x cos x)

æ m2 - 1öæ
m2 - 1ö
3 + 2 m2 - m4
÷
÷
ç
ç
÷
÷
Þ A = çç1 +
=
ç1 ÷
÷
÷çç
÷
çè
2 øè
2 ø
4
2


, tan a = , cot a =
5
4
3

B. cos a =

4
3
4
, tan a = - , cot a = 5
4
3

C. cos a =

1
3
4
, tan a = , cot a =
5
4
3


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

2
3
2


1
2

2

D. sin a =

1
2

, tan a = 2, cot a = -

5
1

C. sin a =

, tan a = - 2, cot a =

5

, tan a = 2, cot a =

1
2

2

A. sin a =

6
1
, tan a = 3
2

6
1
, tan a = 2
2

, cos a = -

d) tan a + cot a < 0 và sin a =

6
1
, tan a = 3
2
1
.
5


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

1

A. cot a = - 2 6 , tan a = -

2 6

2 6
5

, cos a = -

2 6
5

Lời giải:
Bài 2.7: a) cos a =

2

1- cos2 a =

b) sin a =

c) sin a =

1- sin 2 a =

1
3

5

, cos a = -

4
3


Bài 2.8. a) Cho cos a =

A. A = -

19
3

2 6
5

cot a + 3 tan a
2
. Tính A =
2 cot a + tan a
3
B. A =

19
3

C. A =

1
3

D. A =

29
3


26 - 2
9

D. B =

26
9

2 sin a + 3 cos a
;
sin a + cos a
B. C =

7
3

C. C = 1

D. C = -

d) Cho cot a = 5 . Tính D = 2cos2 a + 5sin a cos a + 1
A. D =

101
27

B. D =

101

2 tan a + 3 7
=
tan a + 1
3

D
1
= 2 cot 2 a + 5cot a +
Þ (cot 2 a + 1)D = 3cot 2 a + 5cot a + 1
2
2
sin a
sin a

Suy ra D =

101
26

Bài 2.9: Biết tan x + cot x = m .
a) Tìm tan2 x + cot 2 x

11
26

7
3


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

D.

m4 - 4 m2 - 2

(m

2

- 2)

m4 - 4 m2 + 2

(m

2

- 2)(m4 - 4m2 + 1)
m4 - 4 m2 + 2

c) Chứng minh m ³ 2
Lời giải:
Bài 2.9: a) tan2 x + cot 2 x=m2 - 2
2

2

b) tan 4 x + cot 4 x= (tan 2 x + cot 2 x) - 2 = (m2 - 2) - 2 = m4 - 4m2 + 2
2
2
4

29
125

D.

Lời giải:
2

Bài 2.10: (sin a + cos a ) = 1 +

24
7
Þ sin a + cos a = (do cos a > 0 )
25
5

Þ sin 3 a + cos3 a = (sin a + cos a )(sin 2 a - sin a cos a + cos2 a ) =

91
125

9
125


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải
Bài 2.11: Cho tan a - cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = tan2 a + cot 2 a
A. 11


4

A. A =

3
. Tính A = sin4 x + 3cos4 x .
4

7
2

B. A =

b) Cho 3sin 4 x - cos4 x =

B. B = 0

c) Cho 4 sin4 x + 3cos4 x =

57
7
, C= 28
4

C. B = 2

D. A = -

7
4

A. C =

c) ± 33 13

b) ± 13

Bài 2.11: ĐS: a) 11

57
7
b) B = 1 ; c) hoặc C =
28
4

7
7
, C=
28
4

D. C =

5
7
, C=
28
4


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải