BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỖ THÀNH SEN

NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN MÔ HÌNH TOÁN HỌC
THÍCH ỨNG VIỆC MÔ PHỎNG CHUYỂN ĐỘNG TÀU
NHIỀU LOẠI THIẾT BỊ ĐẨY
Chuyên ngành : Khoa học Hàng hải
Mã số : 9840106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học : PGS, TS. Trần Cảnh Vinh

TP. HCM - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỖ THÀNH SEN

NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN MÔ HÌNH TOÁN HỌC
THÍCH ỨNG VIỆC MÔ PHỎNG CHUYỂN ĐỘNG TÀU
NHIỀU LOẠI THIẾT BỊ ĐẨY
Chuyên ngành : Khoa học Hàng hải
Mã số : 9840106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT


Tác giả cũng xin cảm ơn Trung tâm Đào tạo và Nguồn nhân lực hàng hải
(UT-STC), Trung tâm Mô phỏng hàng hải Maritime Centres of Excellence
(Simwave), Hà Lan, Hãng sản xuất mô phỏng Kongsberg, Na Uy và các tổ chức
liên quan đã cho phép tiếp cận và hỗ trợ trang các trang thiết bị và mô phỏng
cần thiết giúp nghiên cứu sinh có thể ứng dụng trong nghiên cứu, xây dựng và
đánh giá mô hình toán mô phỏng tàu.
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và bạn bè đã
luôn động viên, khuyến khích, tạo điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian
nghiên cứu để hoàn thành luận án này.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 8 năm 2018
Tác giả luận án

Đỗ Thành Sen


iii

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU ........................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ..................................................................... x
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU .............................................................. xii
MỞ ĐẦU

............................................................................................ 1

1.

Lý do chọn đề tài......................................................................... 1

2.


Tình hình tổng quan về nghiên cứu xác định các thành phần
cụ thể cấu thành phương trình chuyển động tổng quát ................ 6

1.2.1.

Thành phần khối lượng tổng quát, hệ số lực Coriolis của tàu ...... 6

1.2.2.

Thành phần khối lượng tổng quát và hệ số lực Corolis của
lượng nước kèm .......................................................................... 6

1.2.3.

Thành phần lực cản ..................................................................... 7

1.2.4.

Thành phần lực thủy tĩnh ............................................................ 8

1.2.5.

Thành phần lực tác động ............................................................. 9

1.3.

Kết luận chương 1..................................................................... 10

CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN MÔ HÌNH TOÁN

Xác định các thành phần lực cản ............................................... 24

2.3.1.

Hướng tiếp cận vấn đề .............................................................. 24

2.3.2.

Tác động của dòng chảy đến chuyển động tàu. ......................... 26

2.3.3.

Phương pháp thiết lập công thức tính lực cản............................ 26

2.3.4.

Hệ số lực cản ............................................................................ 27

2.3.5.

Phân tích các thành phần vận tốc .............................................. 29

2.3.6.

Tổng hợp vận tốc theo chiều chuyển động ................................ 34

2.3.7.

Thiết lập công thức tính lực cản ................................................ 34


3.2.2.

Xác định các hệ số của phương trình vi phân chuyển động ....... 73

3.2.3.

Mô hình tổng hợp lực................................................................ 75

3.2.4.

Thành phần hệ số thủy động không thứ nguyên ........................ 77

3.2.5.

Phương trình các tham số chuyển động theo thời gian .............. 78

3.2.6.

Thuật toán mô phỏng chuyển động ........................................... 80

3.3.

Xây dựng phần mềm mô phỏng ................................................ 84

3.3.1.

Lập trình mô phỏng chuyển động tàu ........................................ 84

3.3.2.


Đánh giá phương pháp tổng hợp lực và mô hình toán tổng
hợp............................................................................................ 99

4.6.

Kết luận chương 4................................................................... 106

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT................................................................... 107
1.

KẾT LUẬN ............................................................................ 107

2.

ĐỀ XUẤT............................................................................... 108

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 111
PHỤ LỤC 1. TỔNG HỢP CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ
CÔNG BỐ ............................................................................
PHỤ LỤC 2. THUẬT TOÁN MATLAB ..................................................


vi

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ, KÝ HIỆU
Định nghĩa:
Kinetic Energy Động năng
Chân vịt Chân vịt có thể quay 360o quanh trục, hay còn gọi là chân vịt
Azimuth ASD - Azimuth Stern Drive, Z Driver, Z-type.
Voith Schneider Chân vịt Voith Schneider, là chân vịt được tổ hợp bằng nhiều


Chuyển động dọc - dọc trục Ox, u
Chuyển động ngang - dọc trục Oy, v
Chuyển động theo chiều đứng - dọc trục Oz, w
Lắc ngang – xoay quanh trục Ox, ϕ
Bổ dọc – xoay quanh trục Oy, θ
Đảo lái – xoay quanh trục Oz, ѱ
Vận tốc chuyển động dọc trục Ox, surging

Vận tốc:
v Vận tốc tịnh tiến dọc trục Oy, swaying


vii
w
p
q
r
Góc xoay Euler:
ϕ
θ
ѱ
Thông số chung:
A
AL
AP
Ab
D
m
g0

n
D
P, H
EAR
Va
𝑉
𝜂
Z
x ,y ,z
𝜌
𝜔, 𝜔
𝑑2𝑏

Góc xoay trên mặt phẳng oyz của ngoại lực Fi
Góc nghiêng trên mặt phẳng oyz của ngoại lực Fi
Diện tích mặt đĩa chân vịt
Diện tích mặt trải cánh chân vịt
Diện tích triển khai cánh chân vịt
Vận tốc vòng xoay chân vịt
Đường kính chân vịt
Bước chân vịt
Tỉ số diện tích mở rộng cánh chân vịt (Expanded Area Ratio)
Tốc độ tiến của chân vịt (tốc độ không rối)
Vận tốc tàu
Hiệu suất chân vịt
Số cánh chân vịt
Cánh tay đòn trên trục x, y, z của bánh lái thứ i
Tỉ trọng không khí
Tần số sóng
Khoảng cách từ tàu đến bờ

Hệ số lực đẩy chân vịt
Hệ số mô men xoắn chân vịt
Hệ số tiến
Hệ số lực đẩy chân vịt
Hệ số mô men xoắn chân vịt
Hệ số lực đẩy của ống đạo lưu
hệ số lực cản, hệ số lực nâng theo chiều x, y của bánh lái i
Hệ số
Số Wake
Số Renault
Số Froude
Lực theo phương dọc Ox
Lực theo phương ngang Oy
Lực theo phương ngang Oz
Mô men xoay ngang quanh Ox
Mô men xoay dọc quanh Oy
Mô men chuyển hướng quanh Oz
Lực đẩy chân vịt
Mô men xoắn chân vịt
Lực đẩy của ống đạo lưu

Ma trận:
M
MS
MA
C(v)
CS(v)
CA(v)
D(v)
D

fbk
fir
fml
fpl
fph
fgr
fcl

ma trận lực tác động do sóng
ma trận lực tác động do squat
ma trận lực tác động của bờ
ma trận lực tác động giữa các tàu
ma trận lực tác động do dòng chảy
ma trận lực tác động do tàu lai kéo
ma trận lực tác động do tàu lai đẩy
ma trận lực tác động do mắc cạn
ma trận lực tác động do va chạm tàu


x

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1.

Qui trình phát triển và đánh giá mô hình toán ........................................ 3

Hình 2.1.
Hình 2.2.
Hình 2.3.
Hình 2.4.

Áp dụng Lewis forms: Vùng I: không áp dụng, vùng II: khuyết
cáo không áp dụng, vùng III: khuyến cáo áp dụng .............................. 20
Áp dụng Lewis forms: Vùng I: không áp dụng, vùng II: khuyết
cáo không áp dụng, vùng III: khuyến cáo áp dụng ................................21
Thành phần m22 với với cánh tay đòn ZB gây nên mô men quán
tính nước kèm m24 ................................................................................21
Mô tả các lát cắt thân tàu ......................................................................27
Mô tả vận tốc dài tại hai mạn tàu do xoay ngang ..................................30
Mô tả vận tốc dài trên mặt đáy tàu do xoay ngang ................................31
Mô tả vận tốc dài trên hai vách mạn tàu do lắc ngang...........................31
Mô tả vận tốc dài trên mặt đáy tàu do lắc ngang ...................................32
Mô tả vận tốc dài trên hai vách mạn tàu do bổ dọc ...............................33
Mô tả vận tốc dài trên đáy tàu do bổ dọc ..............................................33
Mô tả các thành phần lực tác động lên tàu ............................................43
Mô hình hóa các thành phần lực tác động đến tàu ................................43
Mô tả thành phần ngoại lực thứ k .........................................................44
Mô tả T và Q ........................................................................................47
Đồ thi biểu diễn 𝐾 , 𝐾 theo J..............................................................48
Mô tả mối quan hệ giữa VR, Va và VS ................................................50
Đường cong 𝐶 ∗, 𝐶 ∗ trong 4 miền góc tiến cho P/D cụ thể ...............51
Đường cong C ∗, C ∗ trong 4 miền góc tiến cho P/D cụ thể ...............53
Qui ước các chiều chuyển động của tàu ................................................57
Thông số AS, AW tác động đến Squat ...................................................62
Tác động của bờ đến tàu.......................................................................64
Mô tả tác động qua lại giữa các tàu ......................................................67
Các thông số tính toán tác động giữa hai tàu ........................................67
Thành phần lực của dây buộc tàu và neo .............................................68

Hình 3.1.
Hình 3.2.

Hình 4.14.
Hình 4.15.
Hình 4.16.
Hình 4.17.
Hình 4.18.
Hình 4.19.
Hình 4.20.
Hình 4.21.
Hình 4.22.
Hình 4.23.
Hình 4.24.
Hình 4.25.
Hình 4.26.
Hình 4.27.
Hình 4.28.
Hình 4.29.
Hình 4.30.
Hình 4.31.

Bảng điều khiển các nhóm chân vịt bánh lái trên Matlab ......................85
Cửa sổ hiển thị các chuyển động xoay rolling, pitching và yawing
của tàu..................................................................................................86
Cửa sổ hiển thị chuyển động 6DOF theo thời gian thực........................86
Cửa sổ mô tả đồ thị các thông số chuyển động tàu trên Matlab.............87
Tuyến hình đường sườn tàu Motora .....................................................89
Tuyến hình đường sườn phần ướt tàu Motora mô tả trên Matlab
theo phép biến hình Lewis....................................................................89
Tuyến hình vỏ tàu Motora trên Matlab .................................................90
Tuyến hình phối cảnh 3D của vỏ tàu Motora ........................................90
Tuyến hình phần ướt vỏ tàu Triple-E theo phép biến hình Lewis mô


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1.
Bảng 2.2.
Bảng 2.3.
Bảng 2.4.

Qui ước các tham số chuyển động của tàu ............................................12
Mô tả 4 quadrant của chân vịt ..............................................................49
Các tham số theo phương pháp khai triển Fourier.................................51
Bảng tỉ trọng gió ..................................................................................58

Bảng 3.1.

Thông số chung các mẫu tàu nghiên cứu ..............................................88

Bảng 4.1
Bảng 4.2.
Bảng 4.3.
Bảng 4.4.
Bảng 4.5.
Bảng 4.6.
Bảng 4.7.

Thông số chung các mẫu tàu nghiên cứu ..............................................88
So sánh kết quả xác định mij tàu Motora ...............................................93
So sánh kết quả xác định 𝑚 ...............................................................94
Kết quả tính 𝑚 tàu Triple-E và Genting Dream ..................................94
Bảng thông số điều động Coasting tàu Genting Dream .........................97
Bảng thông số quay trở ........................................................................99

Về ứng dụng:


2

- Kết quả của đề tài có thể áp dụng để phát triển các mô hình tàu mới cho các
hệ thống mô phỏng buồng lái hiện hữu.
- Kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho công tác nghiên cứu ứng dụng về sau.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu chính của đề tài là mô hình toán và thuật toán mô
phỏng chuyển động tàu thủy.
Phạm vi nghiên cứu tập trung các mô hình toán ứng dụng cho các hệ thống
mô phỏng buồng lái tại Việt Nam, đồng thời cũng mở rộng cho các hệ thống mô
phỏng trên thế giới.
4. Phương tiện nghiên cứu
Dùng các phương pháp, số liệu tính toán và thực nghiệm của các công trình
nghiên cứu trước đây làm cơ sở nghiên cứu đánh giá nhằm đưa ra phương pháp
tính toán phù hợp; Dùng máy tính để số hóa, hàm hóa các số liệu, tính toán các
thành phần lực và mô phỏng bằng máy tính. Ứng dụng máy tính sử dụng chủ
yếu trong nghiên cứu là phần mềm Matlab.
Trong thời gian thực hiện đề tài, nghiên cứu sinh cũng đã khai thác và nghiên
cứu trực tiếp hệ mô phỏng K-Sim (phiên bản mới nhất v.2.4) của hãng
Kongsberg tại Horten, Na Uy và tại trung tâm mô phỏng Maritime Centres of
Excellence (Simwave), tại Barendercht, Hà Lan. Kết quả nghiên cứu được kiểm
nghiệm đánh giá trực tiếp trên các hệ mô phỏng này.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết, tài liệu khoa học: phân tích
các tài liệu lý thuyết về động lực học (dynamics), thủy động lực học
(hydrodynamics), thủy tĩnh học (hydrostatics), mô hình toán tàu biển trong và
ngoài nước kết hợp đánh giá các kết quả thực nghiệm khoa học của các công

quả

Yes
Chấp nhận,
hoàn tất
Hình 1.1. Qui trình phát triển và đánh giá mô hình toán


4

6. Ý nghĩa khoa học-thực tiễn và tính mới
- Về lý thuyết : Đề tài góp phần hoàn thiện mô hình toán chuyển động tàu
chi tiết cho các thành phần của hệ phương trình vi phân 6 bậc tự do và mô phỏng
chuyển động thời gian thực.
- Về thực tiễn :
Trên thế giới, có nhiều nhà sản xuất mô phỏng lớn có thể kể đến như
Transas (Nga), Kongberg (Nauy), Imtech, STC-Group, VStep (Hà Lan), JMS
(Nhật Bản) v.v. Các mô hình toán của các hệ thống mô phỏng buồng lái đã được
thiết lập từ những mô hình tàu đơn giản và phát triển lên cho những mô hình tàu
phức tạp. Tuy nhiên, trên thực tế việc phát triển các mô hình toán của tàu trong
mô phỏng đã gặp nhiều giới hạn, chủ yếu là phát triển trên cơ sở 3 hoặc 4 bậc
tự do.
Hiện nay, tại Việt Nam, các hệ thống mô phỏng của Liên danh UT-STC
giữa STC-Group và trường Đại học GTVT TP. HCM, Đại Học Hàng Hải Việt
Nam, Đại Học Nha Trang, Học viện Hải Quân, trường Cao đẳng Hàng hải II,
trường Cao đẳng nghề Giao thông Vận tải Đường thủy II cũng có tình trạng
tương tự. Số lượng mô hình tàu của các hệ thống này còn hạn chế và chủ yếu là
các mẫu tàu chân vịt truyền thống, thiếu công cụ tự xây dựng mô hình tàu cho
người sử dụng.
Nội dung nghiên cứu của đề tài có thể bổ sung lý thuyết cải tiến các mô

tế MARSIM [7]. Để bổ sung thêm chiều chìm và chúi, Ankudinov (1983) đã
trình bày mô hình chuyển động 6 bậc tự do tại hội thảo International Workshop
on Ship and Platform Motions [8]. Hooft & Pieffers (1988) đã thiết lập mô hình
chuyển động 6 bậc tự do đăng trên trên tạp chí Marine Technology [9].
Năm 2002, Thor I. Fossen đã hệ thống hóa mô hình 6 bậc tự do bằng phương
trình trạng thái tổng quát [10], [11] trong đó các hệ số được biểu diễn dưới dạng
ma trận:
𝑀 𝜈̇ + 𝑀 𝜈̇ + 𝐶 (𝑣)𝑣 + 𝐶 (ν)v + 𝐷ν +𝐷 (ν)v + g(η) + 𝑔 = 𝑓

(1.1)

Ở đây: 𝑀 , 𝑀 là ma trận khối lượng tổng quát của tàu và lượng nước kèm;
𝐶 (𝑣), 𝐶 (𝑣) là ma trận hệ số lực Coriolis của tàu và lượng nước kèm;
𝐷, 𝐷𝑛(𝑣) là ma trận hệ số lực cản tuyến tính và phi tuyến ; g(η) là ma trận lực


6

và mô men hồi phục, g là trọng lượng tàu và f là thành phần các lực và mô men
tác động từ bên ngoài.
Để giải phương trình trạng thái (1.1), các hệ số của nó phải được xác định .
1.2.

Tình hình tổng quan về nghiên cứu xác định các thành phần cụ thể
cấu thành phương trình chuyển động tổng quát

1.2.1. Thành phần khối lượng tổng quát, hệ số lực Coriolis của tàu
Các thành phần khối lượng tổng quát Ms và hệ số lực Coriolis Cs của tàu
được xác định theo lý thuyết thủy tĩnh hydrostatics nhìn chung được trình bày
khá đầy đủ trong [11, 12], [13].

xoắn cho tàu chuyển động đều với hướng đi bất kỳ trên sóng phổ biến [20].
Edward M. Lewandowski (2004) tổng hợp phương pháp xác định chi tiết
các giá trị mij đối với tàu mặt nước trong [21]. Alexandr I. Korotkin (2009) trình
bày nhiều phương pháp xác định các thành phần mij trong ấn phẩm [16].
Nhận xét: các công trình nghiên cứu trước đây cho thấy không có một
phương pháp duy nhất có thể xác định đầy đủ các thành phần mij. Do vậy, để
xác định đầy đủ các thành phần mij, cần kết hợp nhiều phương pháp khác nhau.
1.2.3. Thành phần lực cản
Lực cản vỏ tàu bao gồm các thành phần lực cản tuyến tính và lực cản phi
tuyến: 𝐷(𝜐) = 𝐷 + 𝐷 (𝑣).
Thành phần tuyến tính D đại diện cho lực cản thế năng “potential” của chất
lỏng lý tưởng không nhớt. Thành phần này có thể tính toán trên cơ sở lý thuyết
thủy động tương tự tính toán MA.
Thành phần phi tuyến 𝐷 (𝑣) gây ra do tác động của chất lỏng nhớt “viscous
fluid”. Thành phần 𝐷 (𝑣) là chủ yếu và khó dự đoán chính xác thậm chí ngay
cả khi tàu chuyển động thẳng ở tốc độ ổn định [21]. Cho đến nay, lý thuyết thủy
động đơn thuần chưa thể xác định các thành phần hệ số lực cản. Do vậy, để dự
đoán người ta áp dụng các công thức thực nghiệm, bán thực nghiệm hay phương
pháp khảo sát mô hình. Đây là một thách thức trong việc dự toán lực cản hoàn


8

toàn bằng máy tính. Chi tiết có thể tham khảo theo tài liệu [9] được J.P.HOOFT
công bố năm 1994.
Abkowitz (1964) nêu ra trong [13] rằng chưa có lý thuyết hay thực nghiệm
nào xác định được lực cản gây ra do sự kết hợp giữa gia tốc, vận tốc, tác động
qua lại của thành phần cản nhớt, lực quán tính, thế năng của dòng “potential
flow”. Tuy nhiên, tác động này có giá trị nhỏ và nên bỏ qua.
Đến nay, có nhiều nghiên cứu xác định thành phần lực cản riêng lẻ khác

1.2.5. Thành phần lực tác động
Lực tác động đến tàu (f) gồm lực môi trường, lực kích động và ngoại lực.
a) Lực môi trường: bao gồm sóng và gió tác động đến tàu theo hướng,
cường độ và chu kỳ xác định. Có nhiều công trình nghiên cứu độc lập về tác
động của sóng gió có thể kể đến: Thor Fossen, chương 8 của [11]; J.M.J. Journée
và L.J.M. Adegeest [29]; Trần Công Nghị [27]; Edward M. Lewandowski
(2004) [21]; Adrian B. Biran và Rubén López-Pulido, chương 12 của [30].
Các công trình nghiên cứu trước đây đã tính toán tương đối đầy đủ các thành
phần của lực môi trường.
b) Lực kích động: là lực gây ra bởi bánh lái và thiết bị đẩy.
- Lực sinh ra bởi bánh lái: đã được nghiên cứu và trình bày khá chi tiết trong
nhiều công trình nghiên cứu trước đây như: Trần Công Nghị trong [31];
Habil. Nikolai Kornev [32]; Edward M. Lewandowski [21].
- Lực sinh ra do thiết bị đẩy:
Thông số động lực chính của thiết bị đẩy bao gồm lực đẩy T (Thrust) và
momen xoắn Q (Torque). T và Q tỉ lệ với hệ số KT và KQ hay 𝐶 ∗ hay 𝐶 ∗ .
Các hệ số KT và KQ hay C ∗ hay C ∗ đã được trình bày trong nhiều công trình
nghiên cứu khác nhau: Habil. Nikolai Kornev (2013) [32]; J.M.J. Journée và
L.J.M. Adegeest (2003), chương 2 của [29]; John P. Breslin và Poul Andersen
[33]; Øyvind Notland Smogeli (2006) [34].
Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu đều xem xét cho các thiết bị đẩy độc lập
theo các hệ số thực nghiệm. Do vậy, cần có nghiên cứu tổng thể đối với chuyển


10

động nhiều bậc tự do đặc biệt là tác động đầy đủ của các chân vịt, thiết bị đẩy
đặt tại các vị trí khác nhau dưới đáy tàu.
c) Xác định thành phần ngoại lực
Ngoại lực là thành phần lực bên ngoài tác động đến tàu như neo, dây buộc

CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU PHÁT TRIỂN MÔ
HÌNH TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
TÀU
2.1. Cơ sở lý thuyết ban đầu
Phương trình vi phân biểu diễn chuyển động tàu trên 6 bậc tự do (6DOF)
(1.1) được biểu diễn dưới dạng ma trận.
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢
𝑢̇
𝑢̇
𝑋
⎡ 𝑣̇ ⎤
⎡ 𝑣̇ ⎤
⎡𝑌 ⎤
⎡𝑣 ⎤
⎡𝑣 ⎤
⎡𝑣⎤
⎡𝑣 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢𝑤 ⎥
⎢𝑤 ⎥
⎢𝑤 ⎥
⎢𝑤 ⎥
𝑤̇
𝑤̇
𝑍

(2.1)

Roll
p
Surge
u
Heave
w
Hình 2.1. Hệ tọa độ mô tả chuyển động của tàu trên 6 bậc tự do (6DOF)

Trong đó,
𝜐 = [𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑝, 𝑞, 𝑟] là ma trận vận tốc dài trên các trục x, y, z và vận tốc
góc theo các trục p, q, r.
𝜐̇ = [𝑢̇ , 𝑣̇ , 𝑤̇ , 𝑝̇ , 𝑞̇ , 𝑟̇ ] là ma trận gia tốc dài trên các trục x, y, z và gia tốc
góc theo các trục p, q, r.
𝑓 = [𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝐾, 𝑀, 𝑁] là ma trận các thành phần lực tác động trên các trục
x, y, z và mô men tác động theo các trục p, q, r.