“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự
nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà
khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai
trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng. Để thực hiện được nhiệm
vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thì
phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việc
dạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việc
phát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế.
Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổ
chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại. Khi đó
thông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt là
qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và tái
hiện kiến thức. Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vận
dụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán. Qua
đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ
toàn diện cho học sinh.
Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn
Toán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn
riêng biệt. Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự
đam mê khám phá, tìm hiểu. Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn
thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng
cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có
tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Đối với học
sinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán. Phần
lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng thức.
Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập bất

dự thi kì thi cấp tỉnh đều đạt kết quả rất thấp mọi kì vọng các thầy cô về học sinh
dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thành
tích trường không cao so các môn khác. Các em thấy những bài thầy cô có dạy qua
mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô vì thầy cô bỏ tâm huyết công
sức bồi dưỡng cả năm trời không thu lại thành quả. Xuất phát từ nguyên nhân đó
tôi thống kê lại nguyên nhân vì sau các em thất bại hình thành cho mình một con
đường mới trong công tác bồi giỏi. Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôn
tập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiện
nay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà các
SKKN trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếp
thu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức học
sinh không quá khó theo từng dạng đặc biệt dạng gần gủi với các em nên việc tiếp
thu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tập
hơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Lương Thế Vinh
phải đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bất
đẳng thức luôn có đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Cơ sở lý luận của vấn đề.
Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương III đại số 8. Đây là
cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức. Nó còn được vận dụng để giải quyết
một lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức. Giả sử A và B là hai
biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
A  B; A  B; A �B; A �B được gọi là các bất đẳng thức.

Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau
A  B  0; A  B  0; A  B �0; A  B �0

Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.
Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó
là một bất đẳng thức đúng.

Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có
A �۱��
B
A

M

B

M

Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
A �B; C �D � A  C �B  D
A �B; C �D � A  D �B  C

Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho các số thực A, B bất kì, ta luôn có
A  B;
�M
A  B;
�M

0
0

A.M
A.M

B.M
B.M


bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương
trình THCS.
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập
cơ bản liên quan đến bất đẳng thức. Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp
8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ. Mỗi
dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức
áp dụng. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những
sai sót trong trình bày, trong diễn đạt … là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 3 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc
để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa.
II. Thực trạng vấn đề.
Sau hơn mười năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và
học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiều
thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công. Trong
những năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9. Từ năm học 2015 – 2016,
tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vào
dạy các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019. Qua thời
gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng
bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 4 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

đạt kết quả tốt. Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng
trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi
đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này
của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức. Vì thế, năng lực tư duy
logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán
học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do
vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em
là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và
trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết
cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù
được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử
dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này
là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực
tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG.
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy
nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, …Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật
thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết
quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên
những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học

A 2k �0 với  A và k là số tự nhiên
A �0

với A

A  B �A  B
A  B �A  B

x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
Dạng 1:

x1  x2  ......xn n
� x1 x2 ...........xn
n

Dạng 2:

x1  x2  ......xn �n

Dạng 3:

�x1  x2  ......xn �
�
� �x1 x2 ...........xn
n
�
�

n



a2  b2  c2 �ab  bc  ca



 



 





2



3 a2  b2  c2 � a  b  c �3 ab  bc  ca



3 a4  b4  c4 � ab  bc  ca

Giáo viên: Đoàn Công Nam

2





� (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

Bài giải: Ta luôn có :

1
3
3(ab  bc  ca) �(a  b  c) 2 � ab  bc  ca �3 �  (ab  bc  ca ) �
2
2

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1  b 2 �2b nên
a
ab 2
ab 2
ab
a
�a 
 a  (1)
2
2
1 b
1 b
2b

2

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 2. Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:
a 1 b 1 c 1


�3
1  b2 1  c 2 1  a 2
bc �
ca

) (a b c ) 2
Ta có: 3(ab 

9

a  b  c  ab  bc  ac
2

0

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: 1  b 2 �2b nên

a 1
b 2 (a  1)
b 2 (a  1)
ab  b

a

bc  c
c 1
ac  a
�b  1 
(2) ;
�c  1 
(3)
2
2
1 c
2
1 a
2

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta cũng có:
a 1 b 1 c 1
a  b  c  ab  bc  ca


�3 
�3
2
2
2
1 b 1 c 1 a
2

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu để
chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài


Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 8 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



 



a2  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a2
2
2
2
2
a b  b c  c a

�0
2

a2  b2  c2  ab  bc  ca 


2



2

2

 a  1  b  1  c  1 �0
2
2
2
Suy ra: a  b  c  3 �2 a  b  c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  b  c  1.
12
12
4
4
10
10
6
6
Bài 2. Chứng minh rằng:  x  y   x  y  � x  y   x  y 

( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức


4
4
10
10
6
6
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y. Vậy  x  y   x  y  � x  y   x  y 

2

a2  b2  c2 �a  b  c �
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
��
�
3
� 3
�

Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức



 



2




a2  b2  c2 �a  b  c �
��
�
3
� 3
�

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 9 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  b  c.
Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra
để từ đó có hướng đi hợp lí.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:





a2  b2  c2  d2  e2 �a b  c  d  e


� a  kb  a  kc  a  kd  a  ke �0

Trong trường hợp trên ta có thể chọn k  2 , tức là ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
2
2
2
2
2
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức : a  b  c  d  e  a  b  c  d  e













4 a2  b2  c2  d2  e2  4 ab  ac  ad  ae



4
a2  4ab  4b2  a2  4ac  4c2  a2  4ad  4d2  a2  4ae  4e2


2
2
2
2
Suy ra: a  b  c  d  e �a  b  c  d  e

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
a  2b  2c  2d  2e.
Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn
có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.
Bài 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:



abc � a  b  c  b  c  a  c  a  b

a) a2  b2  c2  2 ab  bc  ca
b)

Lời giải
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 10 -




“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9








a2 �a2  b  c  a  b  c a  b  c  0
2
2
2
2
2
2
Chứng minh tương tự ta được b �b  (c  a)  0; c �c  (a  b)  0

Nhân vế các bất đẳng thức ta được











2
�

�
��
�
2
a b



Mà ta lại có a  b  c  0; b  c  a  0; c  a  b  0
Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc � a  b  c .  b  c  a .  c  a  b
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b  c .
Nhận xét: Bất đẳng thức abc � a  b  c  b  c  a   c  a  b không chỉ đúng
với a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực
dương bất kì. Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur.
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
a
b
c
3


�
b c c a a b 2

Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có
rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương
pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau
a

1


.
b c c a
b c c a







Thứ hai ta để ý đến biến đổi

a
a b c
 1
. Do đó ta cộng vào hai vế của
b c
b c

bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về

�1
1
1 �


��9 , đến đây ta có thể đơn giản hóa
�b  c c  a a  b �
bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ x  b  c; y  c  a; z  a  b .

1
c
1
 
 
 �0
b c 2 c a 2 a b 2
a b a c b c b a c a c b
�





�0
b c b c c a c a a b a b
�a  b a  b � �b  c b  c � �c  a c  a �
��



� �
� �
��0
�b  c c  a � �c  a a  b � �a  b b  c �

 a  b   b  c   c  b
�
 b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c
2

 �b 1 c  c 1 a  a 1 b ��9

Đặt x  b  c; y  c  a; z  a  b , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
�

�

�

�

 x  y  z �x1  y1  1z ��9 � xy  xy  yz  xz  xz  xz �6

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 12 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



xy
�x y
� �y z
� �x z
�


y z x
z x y
x yz
;b
; c
2
2
2

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
y z x z x y x y z


�3
x
y
z



xy
�x y
� �y z
� �x z
�
� �   2� �   2� �   2��0 �
2xy
�y x
� �z y


thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2012-2013)
Bài giải:
2P = (a – b – 2)2 + (a – 1)2 + (b + 1)2 + 2.2010 ≥ 2.2010
 P ≥ 2010.

ab20
�
a 1
�
�
a 1  0
��
Dấu “=“ xảy ra khi có đồng thời: �
b  1
�
�
b

1

0
�
Vậy minP = 2010  a = 1 và b = –1
Bài 8. Tìm x (x > 0) để biểu thức y 

x

2

1
20122
20122
 4024  x 
. Vì 4024 không đổi nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của x 
y
x
x
2
2012
. Ta thấy hai số x và
đều dương và có tích bằng 20122 không đổi nên tổng của
x
2
2012
chúng x 
sẽ nhỏ nhất khi chúng bằng nhau, tức là:
x

hay

20122
x
hay x2 = 20122, x = 2012 (Không lấy giá trị âm).
x

Vậy với x = 2012 thì y đạt giá trị lớn nhất và giá trị đó là
y

2012

Cho 6 số bất kỳ a, b, c, x, y, z ta luôn có BĐT:
(ax  by  cz ) 2 �(a 2  b 2  c 2 )( x 2  y 2  z 2 ) (1)

Dấu “=” xảy ra khi a  tx, b  ty, c  tz (với t là hằng số).
Từ đó ta có kết quả sau: ( x  y  z )2 �(12  12  12 )( x 2  y 2  z 2 )  9
Hay x  y  z �3 (*) . Dấu bằng xảy ra khi: x=y=z=1
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 14 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Áp dụng BĐT (1) và kết quả (*) cho 6 số x, y, z, x  y , y  z , z  x ta có:
( x x  y  y y  z  z z  x ) 2 �2( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) �18

Hay: x x  y  y y  z  z z  x �3 2.
Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  1 .
III.5. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc về các bài toán bất đẳng thức.
Bài 1. Cho a �2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của S  a 

1
a

Giải
Sai lầm thường gặp của học sinh: S  a 


�
�
� a
� 1� �
� a�
�

  2  1   = 4.
a, ��
�
�
� 1 �
� a� �
 2
�
a; � (3)
�1  1
�

a
�
�
�
�
�a 2
�

�
�
�a;

tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Bài

2.

Cho

�
a, b, c  0
�
.
�
a  b  c �3
�
2
�

Tìm

giá

trị

nhỏ

nhất

của


Sơ đồ điểm rơi: a  b  c 

1
2

�
a bc 1
�
�
2
�

�1  1  1  2
�
 a b c 
�

1  2 �  4
2 

Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau :

a bc  1
2

�
 a  b  c  
�
�
2

điểm rơi cho bất đăng thức Bunnhiacôpski thì bài toán sẽ nhanh gọn hơn, đẹp hơn.

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 16 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng một kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC ,
chiều của dấu của dấu bất đẳng thức không chỉ phụ thuộc vào chiều đánh giá mà nó
còn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm ở mẫu số hay ở tử số.
Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S

a
b
c
d
bc d c  d a a bd a bc








abc

�2
�
d
�a  b  c

a
bc d
.
bcd
a
b
cd a
.
cd a
b
c
a b  d
.
abd
c
d
a bc
.
abc
d

2
2

a bcd
�
bcd a
�
Min S = 8  �
 a + b + c + d = 3(a + b + c + d)  1 = 3  vô lí.
c  d ab
�
�
d  abc
�

Phân tích và tìm tòi lời giải: Để tìm MinS ta cần chú ý S là một biểu thức đối
xứng với a,b,c,d > 0 do đó MinS nếu có thường đạt tại điểm rơi tự do là “ là a = b =
c = d > 0.( nói là điểm rơi tự do vì a,b,c,d không mang một giá trị cụ thể). Vậy ta
4
40
cho trước a = b = c = d dự đoán Min S   12  . Từ đó suy ra các đánh giá
3
3
của BĐT bộ phận phải có điều kiện dấu bằng xảy ra là tập con của điều kiện dự
đoán: a = b = c = d > 0 .
Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a = b = c = d > 0 ta có:

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 17 -


Cách 1: Sử dụng BĐT Côsi ta có :
�

a

bcd �
8 bcd
 � .
�
�
9a � a,b,c,d 9
9a

S

� �b  c  d 
a ,b,c,d �

�8 8

a
b
c
d
b c  d c d a a b d a bc
.
.
.
.
.

2
2
2
2
2
2 2 2
Bài 1. Chứng minh rằng:  a  b   b  c   c  a  �8a b c a, b, c

Phân tích và tìm tòi lời giải: Chỉ nhân các vế của BĐT cùng chiều ( kết quả
được BĐT cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không không âm.
Cần chú ý rằng: x2 + y2 �2 x 2 y 2 = 2|xy| vì x, y không biết âm hay
dương.
Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay BĐT Côsi như bài toán nói trên
mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng BĐT
Côsi.
Trong bài toán trên dấu “ �”  đánh giá từ TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 gợi
ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, 3 cặp số.
Sai lầm thường gặp của học sinh:
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 18 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

Sử dụng:  x, y thì x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 �0  x2 + y2 �2xy. Do đó:
�

�
�2
b  c 2 �2 bc �0 
�
�2
c  a 2 �2 ca �0
�
�

a

2

 b2   b2  c2   c2  a 2  �8| a 2b2c2 |  8a2b2c2 a, b, c (đúng)

Bài 2. Chứng minh rằng: (1 + a + b)(a + b + ab) �9ab  a, b �0.
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9 = 3.3 gợi ý sử dụng bất đẳng thức Côsi cho
ba số, 2 cặp. Mỗi biến a, b được xuất hiện ba lần, vậy khi sử dụng Côsi cho ba số sẽ
khử được căn thức cho các biến đó.
Giải
Ta có: (1 + a + b)(a + b + ab) �33 1.a.b. 3.3 a.b.ab  9ab .
Bài 3. Chứng minh rằng: 3a3 + 7b3 �9ab2  a, b �0
Phân tích và tìm tòi lời giải: 9ab2 = 9.a.b.b  gợi ý đến việc tách hạng tử
7b3 thành hai hạng tử chứa b3 để khi áp dụng BĐT Côsi ta có b 2. Khi đã có định
hướng như trên thì việc tách các hệ số không có gì khó khăn.
Giải
Côsi

Ta có: 3a3 + 7b3 � 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3 � 33 33 a3b6 = 9ab2
�

� 1 ��
1
1 �� 1 � b
c
d Côsi
��
1
1


1

=


�3
�
��
�
1 a � 1 b �
� � 1 c � � 1 d � 1 b 1 c 1 d

3

bcd
 1 b   1 c   1 d 

Vậy:
�1
bcd

abcd
�
�
�81
�
 1 a  1 b 1 c  1 d
1 a  1 b 1 c  1 d
dca
�1
�
3
�
0
3
�
1 c
1 d  1 c   1 a 
�
�
abc
� 1 �3 3
�0
�
1 d
1

a
1

b






1
 abcd �
81
Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 1:
Cho:
�x1 , x2 , x3 ,............., xn  0
�
1
1
1
�1


 ......... 
�n  1
�
1  x1 1  x2 1  x3
1  xn
�

CMR : x1 x2 x3...........xn �

1

 n  1


.
.
a
b
c
a
b
c

Côsi

� 2 bc . 2 ca . 2 ab  8 (đpcm)
a

b

c

Từ bài tập, hướng dẫn HS nhận dạng qua bài toán tổng quát 2:
Cho:
�
�x1 , x2 , x3 ,..............., xn  0
�
�x1  x2  x3  ........  xn  1

�1
� �1
�1
�

�2
�
�3
� �

Bài 6.
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 20 -




“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”

CMR:

3 ��
1
��
� a  b  c ���
1
�
��1  a
�
3 �
�

3
3
�
� �

3

Côsi
   1 c �
� �

�
�

 1 a   1 b   1 c 

(1)

1   ab  bc  ca    a  b  c   abc �
Ta có:  1  a   1  b   1  c   �
�
�
Côsi



 

� 1  33 a 2b2c2  33 abc  abc  1  3 abc


Cho x1, x2, x3,..., xn �0. CMR:
�
�
1
�
�

n ��
��
��

� �
�
� �
�
� �

2
x1  x2  ....  xn � 1
��
1 x1   1 x2  ...... 1 xn  �1 n x1x2.....xn
� 
n
�
��






�

�

�

�

 a  b  c �a1  b1  1c ��9
b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a  b  c �3. Chứng ming rằng:
1
2009

�670
2
2
a  b  c ab  bc  ca
2

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
a  b  c �3 abc;

1 1 1
1
  �3
3
a b c
abc

1
1
1
2
2


�2
�a  b  c  2ab  2bc  2ca �9
2
2
�a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca �



1

1



9

�1
2
Suy ra a2  b2  c2  ab  bc  ca �
 a  b  c

Do đó ta được




1



 5

3 1 2

2 3



 ... 

 2n  1 

1



n  n1

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010
Lời giải
Với n �3 , ta có

 2n  1 


1 �
� 
�
2� n
n  1�

Do đó ta được
Sn 

1� 1
1
1
1
1 � 1�
1 � 1
1


 ... 

1
�
� �
�
2�
2
2
3
n
n  1� 2�



 a  b  c  a b  b2c  c2a  ab2  bc2  ca2
3

3

3

2

Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có
a3  ab2 �2a2b;b3  bc2 �2b2c;�
�
c3  ca2 �2c2a

Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 23 -


“Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9
tại trường THCS Lương Thế Vinh”



 


a b c 
2

Hay

2

2



9  a2  b2  c2



2 a2  b2  c2



 �4

Đặt t  a2  b2  c2 .
Từ giả thiết a  b  c  3 � a2  b2  c2 �3 , do đó ta được t �3
Bất đẳng thức trên trở thành
t

9 t
�4 � 2t2  9  t �8t � t  3 2t  3 �0
2t



2 3 2 4 3
2010 2009 45

Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010
Lời giải
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với



1



k1

k



2 k 12 k
k. k  1





� 2k  1  2 k k  1  0 �






1

1

L 

2 1 3 2 4 3
2010 2009
�1
� 1
1 � �1
1 �
1 �
 2� 

� 2� 
� L  2�
�
2� � 2
3�
2010 �
�1
� 2009
�
1 � � 1 � 88
 2�
1

sinh có điểm cao trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Giải pháp (5) giúp học sinh
nhận thấy sai lầm mắc phải hình thành kinh nghiệm cho bản thân. Giải pháp (6) cho
Giáo viên: Đoàn Công Nam

Trường THCS Lương Thế Vinh

Trang - 25 -