Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
phân tích đa thức thành nhân tử.
(Thực hiện trong 6 tiết)
A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn
thức và đa thức khác.
Bài toán 1.
Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành
nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành
nhân tử ?
2x
2
+ 5x 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x
2
+ 5x 3 = x(2x + 5 -
x
3
) (2)
2x
2
+ 5x 3 = 2(x
2
+
2
5
x -
2
3
) (3)
2x

- Lấy ƯCLN của các hệ số.
- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
1
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
Chú ý:
- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số
hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x
2
+ 12xy.
b) 5x(y + 1) 2(y + 1).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y).
Giải
a) 3x
2
+ 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y)
= 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)

+ 27y
3
= (2x + 3y)(4x
2
6xy + 9y
2
)
c) 9x
2
(x - y)
2
= [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y).
Ví dụ 2
a, (x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a
3
+ b
3
= 3(x z)(x- y)(z y)
b, (x
2
+y
2
)

3
3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
2
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
d, x
3
+ y
3
z
3
+ 3xyz
= (x + y)
3
z
3
3xy( x + y z) = .....
Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử
chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.
Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm

c) 8x
3
+ 4x
2
y
3
y
2
= (8x
3
- y
3
) + (4x
2
y
2
)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
) + (2x

y)( 2x +y)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
+ 2x +y).
Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp

b ab
2
+ b
3
= a
2
(a b) b
2
(a - b) = (a - b)(a
2
- b
2
) = (a - b)
2
(a +
b).
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
= ab
2
(c
3
+64) = ab
2
(c
3

Khi phân tích đa thức : ax
2
+ bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax
2
+ bx + c = a x
2
+ b
1
x + b
2
x + c
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
3
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
Với b = b
1
+ b
2
và b
1
.b
2
= a.c
Cách 2: Tách ax
2
+ bx + c = X
2
- B
2

2
2x 3
b) x
2
10x + 16
Giải
a)x
2
2x 3 = x
2
2x + 1 4 = (x- 1)
2
2
2
= (x 3)(x+1)
b)x
2
10x + 16 = x
2
10x + 25 9 = (x 5)
2
3
2
= (x 8)(x 2)
Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) y
4
+ 64.
b) x(y

+16y
2
+ 64 - 16y
2
= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2

= (y
2
+ 8 - 4y)

(y
2
+ 8

+ 4y).

b) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x

-z
2
) - z( y
2
x
2
)
= (y
2
- x
2
) ( x z) + (x
2
z
2
)(x y)
= (y x)( x z) (y +x x z)
c) a
2
b
2
(b a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)

2
B , (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x 3) -5
C , ( x
2
2x + 2)
4
20x
2
(x
2
2x + 2)
2
+ 64 x
4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x 12
F , (x
2
+ x)(x
2

2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F. (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) 2. (*)
Đặt(x
2
+ x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) 2 = y
2
+ y - 1 1
= (y
2
- 1) + (y 1)
= (y

+ 1)(y 1) + (y 1)
= (y 1)(y

+ 2). (**)
Thay trở lại vào (**) ta có : (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Vậy(x
2
+ x)(x
2

+xy +xz +yz)+ y
2
z
2
(Đặt t = x
2
+xy+xz)
= 4t (t + yz) + y
2
z
2
= (2t + yz)
2
Ví dụ 3: Giải phơng trình
a. (2x
2
+ x)
2
4(2x
2
+ x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) 24 = 0
HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích
a. (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1 2x
2
+ x = 1 (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3 2x
2
+ x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0