A-đặt vấn đề
I). Đặt vấn đề.
Kiến thức về phơng trình trong chơng trình THCS thể hiện ở 2 giai đoạn: Giai đoạn
ẩn tàng từ cấp I đến lớp 7; giai đoạn tờng minh bắt đầu từ lớp 8 đến cuối lớp 9. Đó là
những hiểu biết cơ bản nhất về phơng trình Đại số ở THCS nhằm đáp ứng yêu cầu liên
hệ với những môn học khác và yêu cầu tính toán trong thực tế cuộc sống.
Đặc biệt đối với phơng trình bậc hai (dạng ax
2
+ bx + c = 0) và nghiệm của nó
việc giới thiệu về nghiệm của phơng trình bậc hai đợc tiến hành trong quá trình xây
dựng công thức nghiệm tổng quát và đã đợc tiến hành qua xét các ví dụ cụ thể, song
tính phức tạp của nó vẫn là điều mà khi giảng dạy mỗi giáo viên cần đặc biệt quan tâm
chú ý để xác định đúng mức độ yêu cầu; giúp những học sinh trung bình nắm vững nội
dung kiến thức cơ bản; những học sinh khá giỏi phát huy năng lực học tập tích cực chủ
động của bản thân.
II). Thực tế giảng dạy - học tập ở tr ờng THCS hiện nay .
Nhiệm vụ chuyên môn cơ bản chính là nâng cao chất lợng giảng dạy, chất lợng
học tập của học sinh. Để làm tốt nhiệm vụ yêu cầu trên cần thực đổi mới phơng pháp
dạy học cụ thể Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh
,,
.Giúp các em độc lập tích cực học tập; giải quyết các yêu cầu về kiến thức kỹ năng
liên hệ thực tế, kết hợp ôn bài cũ học bài mới với những nội dung liên quan.
Bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng phơng pháp trên trong phần dạy về phơng trình
bậc hai - nghiệm của phơng trình bậc hai.
Song điều kiện hạn chế về thời gian trên lớp cũng nh năng lực học tập của học sinh
ở một trờng THCS bình thòng nên việc nêu vấn đề và giải quyết đề cần có sự nỗ lực
cao của giáo viên và học sinh. Bản thân các em thờng chỉ áp dụng đơn điệu những vấn
đề lý thuyết đã có sẵn nên kĩ năng giải quyết bài tập dới các cách diễn đạt của đề bài
khác nhau còn rất hạn chế.
III). Lí do chọn đề tài.
Việc giới thiệu công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm cũng nh một số tr-

4. ý nghĩa hình học của việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai.
V). Các kỹ năng cần rèn luyện.
1.Kỹ năng chứng minh phơng trình bậc hai có một nghiệm, có hai nghiệm hay
không có nghiệm hay vô số nghiệm.
2.Kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của một phơng trình bậc hai để chứng
minh hệ hai phơng trình có hay vô nghiệm, hoặc tìm điều kiện của tham số để hệ có
nghiệm hay vô nghiệm.
3.Kỹ năng lập mối kiên hệ giữa 2 nghiệm trong 1 phơng trình, giữa hai nghiệm
trong hai phơng trình theo tham số cho trớc, hoặc tìm điều kiện của tham số để nghiệm
của phơng trình thoả mãn một điều kiện nào đó
4.Kỹ năng so sánh nghiệm của phơng trình với một số nào đó ( với số 0; với số
thực

nào đó ).
5.Kỹ năng xác định sự tơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c
= 0 (P) và đồ thị của hàm số bậc nhất g(x) = mx + n (d) (a

0, m

0). Kỹ năng tìm
điều kiện của tham số để xác định các vị trí tơng đối của (P) và (d).
VI) ý nghĩa.
Đồng thời với việc nêu những vấn đề nói trên là những phơng pháp giải quyết phù
hợp với từng loại cùng các bài tập cụ thể, phù hợp với từng nội dung vấn đề. Điều này
sẽ đáp ứng yêu cầu giải quyết phần lớn nội dung bài tập ở sgk Đại số 9 cho học sinh
một cách chủ động, tích cực, độc lập. Học sinh trên cơ sở nắm chắc đợc mấu chốt của
từng loại vấn đề từ đó phát triển áp dụng linh hoạt cho nhiều dạng bài khác nhau với
nhiều cách đặt vấn đề của đề bài khác nhau.

> 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x
1
=
a
b
2
+
, x
2
=
a
b
2
+
.
b. Công thức nghiệm thu gọn: trờng hợp b = 2b
Đặt
'

= b
2
- 4ac. (
'

và

cùng dấu,

= 4
'

Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
x
1
+ x
2
=
a
b

= S
x
1
.x
2
=
a
c
= P
b. Định lí đảo: Nếu 2 số x
1
, x
2


3. Cần biết thêm về biểu thức ax
2
+ bx + c ( a

0 ).
Tên gọi: Tam thức bậc hai ; kí hiệu f(x) = ax
2
+ bx + c ( a

0 ) các giá trị x
i
mà
f(x
i
) = 0 khi và chỉ khi x
i
là nghiệm của tam thức.
a. Tách ra một bình phơng đủ trong tam thức bậc hai.
ax
2
+ bx + c = a







+=

(*)
b. Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số.
- Nếu

< 0 thì theo (*) f(x) không phân tích đợc thành các thừa số bậc
nhất.
- Nếu

0 thì f(x) = a(x x
1
)(x x
2
) (**)
Với x
1
, x
2
là nghiệm của tam thức.
c. Dấu của tam thức bậc hai.
Dựa vào (*) và (**) ở trên ta có kết luận sau:
- Nếu

< 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x.
- Nếu

= 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x
a
b
2



-1. Pt (1) là Pt bậc 2 , xét
'

= (a + b)
2
(a + 1)(b 1). Đặt a + 1
= m, b 1 = n ta có : (a + b) = m + n khi đó ta có:
'

= (m + n)
2
mn = m
2
+
mn + n
2
= (m +
2
n
)
2
+
0
4
3
2

n
Vậy

Giải
* Xét tích ac = - (m
2
4m + 5) = -(m 2 )
2
1 < 0
Vậy (2) có nghiệm với mọi m.
Ví dụ 2
2
: Tìm điều kiện của phơng của m để phơng trình sau đây có nghiệm;
m
2
x
2
mx 2 = 0 (3)
Giải:
Với m

0 ta có: ac = -2m
2
< 0 (3) có nghiệm.
Với m = 0 (3) trở thành : 0x = 2 (3) vô nghiệm.
- Nhận xét:
* Nếu ac

0 mà a

0 thì ta cũng có




af(

) = a
2
x
2
+ abx + ac = (ax +
2
b
)
2
(
4
2
b
-
ac) = (ax +
2
b
)
2
-
4

.
Do đó: af(

)



)f(

)

0 thì (5) có
nghiệm.
Thật vậy: f(

)f(

)

0

a
2
f(

)f(

)

0. Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f(

) ; f(

) nhỏ hơn bằng 0. Theo c
1
thì (5) có nghiệm.

+
a
c
a
b
chứng minh
rằng Pt có nghiệm.
Giải
- Nếu ac < 0 hiển nhiên Pt có nghiệm
- Nếu ac > 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng
044
4
24424
22
2
2
=+
acbacb
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
a
c


-2m 5 > 0

m < -2,5 mà m nguyên âm
nên m = -3 ; -4 ; -5 ; -6 ;
Bài tập về nhà
Bài 1 Chứng minh rằng Pt sau có nghiệm với mọi a, b, c.
a) x(x a) + x(x b) + (x a)(x c) = 0
b) (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) =0
Bài 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các Pt sau có nghiệm.
ax
2
+ 2bx + c = 0
bx
2
+ 2cx +a = 0
cx
2
+ 2ax + b = 0
Bài 3 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng Pt sau có
nghiệm: (a
2
+ b
2
- c
2
)x
2
- 4abx + (a
2

myx
yx
Giải
Từ (6
1
)
4
37 y
x
+
=
thế vào (6
2
) ta đợc Pt:
49y
2
+ 42y + (49 8m) = 0 (6
3
)
Từ (6
1
) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (6
3
)
có nghiệm
Giải: (6
3
)
'


4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thoả mãn điều kiện:
Giải
+) Đặt x
2
= y thì (7) trở thành my
2
10my + m + 8 = 0 (7). cần tìm m để (7) có
2 nghiệm dơng phân biệt
đ/k: m

0 ,
'

> 0 ; P =
0
8
>
+
m
m
; S =

=
1
y
; x
4
=
2
y
. Ta có x
4
- x
3
= x
3
- x
2
= x
2
- x
1

2
y
-
1
y
=
1
y
- (-

= 9,
m =1 . Vậy với m = 1 thì Pt (7) thoả mãn điều kiện đầu bài.
Bài tập áp dụng
Bài 1: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm



=+
=+
)8(
)8(13
2
22
1
ayx
yx

Giải
Từ (8
1
) ta có : y = -3x + 1. Thế vào (8
2
) , ta có : x
2
+ (-3x + 1)
2
= a hay 10x
2
6x
+ 1 a = 0 (8

2
+ (m
2
+ m 3)x m
2
+ 3 = 0.
Giải
6
Ta có : x
3
(m + 1)x
2
+ (m
2
+ m 3)x m
2
+ 3 = (x 1)(x
2
mx + m
2

3)
Pt trở thành (x 1)(x
2
mx + m
2
3) = 0 . Để Pt có 3 nghiệm phân biệt thì
Pt (x
2
mx + m

=
myx
yx
22
2
72
Bài 3. a. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm.
b. Tìm m để hệ có nghiệm.





=+
=+
.1
2
22
2
yx
m
y
mx
II. Vấn đề 2. Quan hệ giữa các nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai và giữa hai ph -
ơng trình bậc hai.
1. Quan hệ giữa hai nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai .
(sử dụng định lí Viét và ứng dụng của nó)
a. Ví dụ 1. Cho Pt: x
2
2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (9)

3

m
hay m

3 hoặc m

3.
m
<
3 hoặc m
>
3 Pt (9) có 2 nghiệm phân biệt: x
1
= m + 1 -
9
2

m
, x
2
= m + 1
+
9
2

m
Với m = -3 => x = -2 , m =3 => x = 4
.Với -3
3


1) (10)
Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải :
7
-Phơmg trình có nghiệm với
'

= (m 4)
2
- 2(m 1)(m 5)

0
Hay : m
2
8m + 16 m
2
+ 6m 5

0

m


2
11

1
x
2
4(x
1
+ x
2
) + 1 = 0.
đây là hệ thức độc lập với m giữa x
1
, x
2
của phơng trình với m


2
11
.
*Nhận xét: Để giải bài toán này trớc hết cần tìm điều kiện để phơng trình có
nghiệm. Sau đó tính S và P, nếu S và P không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức phải
tìm , nếu S và P có chứa tham số thì ta tìm cách khử tham số từ S và P rồi suy ra hệ
thức phải tìm.
c. Ví dụ 3. Cho Pt: x
2
+ 5x + 2 = 0. Có 2 nghiệm x
1
; x
2
. Không giải Pt; hãy tính
x

1
x
2
= 2. Nên x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
x
2
= (-5)
2
2.2 =
21.
. x
1
3
+ x
2
3
= (x

2
x
2
2
(x
1
2
+ x
2
2
) = -20.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x
2
+ (m 2)x + m + 5 = 0 có 2
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn hệ thức x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Giải
- Điều kiện để phơng trình có nghiệm:

= (m 2)

+ x
2
)
2
2x
1
x
2
10 = 0 => (m 2)
2
2(m +
5) 10 = 0.
Phơng trình với ẩn m có nghiệm m
1
= -2, m
2
= 8.
Với m = 8 ,

< 0 nên giá trị này bị loại.
Với m = -2.

> 0 nên m
1
= -2 là giá trị cần tìm.
Bài 2. Tìm các hệ số p và q của phơng trình x
2
+ px + q = 0 sao cho 2 nghiệm x
1
, x

2
= q.
8