BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ
VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9 46 01 03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS Lê Văn Hiện
TS. Trịnh Tuấn Anh

Phản biện 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học
Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Đức Thuận, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Phản biện 3: PGS.TS Cung Thế Anh, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2019
Có thể tìm hiểu luận án tại:

phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học,
cần tiếp tục được nghiên cứu và phát triển. Đó cũng là lí do và là động lực chính
chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân
có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái.

1


2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
2.1. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô
tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ
Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành công
trong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng, khái niệm
ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời gian ngắn) mang
ý nghĩa thực tiễn quan trọng. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn định
trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt
là trong các mô hình điều khiển cơ học. Một hệ động lực gọi là ổn định trong thời
gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cận
của trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một
ngưỡng cho trước trên một khoảng thời gian xác định trước. Như vậy, khác với tính
ổn định theo Lyapunov (LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu
của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng. Hơn
nữa, LS và FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể
không ổn định theo Lyapunov và ngược lại. Trong Chương 2 của luận án chúng tôi
nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối
biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây
n

x′i (t)


hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số
biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây
n

x′i (t)

= −ai (t)xi (t) +

bij (t)fj (xj (t))
j=1
n

(2)
cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), i ∈ [n], t > 0.

+
j=1

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng tôi
phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập các
điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng trong cả hai
trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏa mãn điều
kiện chính quy, ai (t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ai (t) > 0
và inf t≥0 ai (t) = 0.

2.3. Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một
mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến
Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động lực các
mô hình thực tiễn. Ví dụ, Nicholson sử dụng phương trình vi phân
N ′ (t) = −αN(t) + βN(t − τ )e−γN (t−τ ) ,


βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t))

′

N (t) = −D(t, N(t)) +

(4)

k=1

với tỉ lệ tử vong phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) = a(t)−b(t)e−N . Dựa trên
một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết chúng
tôi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đều của mô hình Nicholson (4). Trên cơ sở
tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục
của nghiệm tuần hoàn dương duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4).
Áp dụng kết quả tổng quát cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu
được một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng
dương của mô hình tương ứng.

3. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình vi
phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý thuyết ổn
định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểu Lyapunov. Đặc
biệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh mới để thiết lập các
điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao cũng
như các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn dương đối với các lớp phương
trình vi phân được nghiên cứu trong luận án.

4. Kết quả đạt được của luận án

mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi tuyến.

5


Chương 1
SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích ma
trận, phương trình vi phân, lý thuyết ổn định theo Lyapunov, ổn định trong thời gian
hữu hạn và tính tiêu hao của một số lớp hệ phương trình vi phân có trễ.

1.1. M-ma trận
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của M-ma trận.

1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov
Xét bài toán Cauchy cho phương trình vi phân hàm sau đây
x′ (t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,

(1.1)

xt0 = φ,

ở đó f : D = [t0 , ∞) × C → Rn và φ ∈ C = C([−r, 0], Rn ) là hàm ban đầu. Giả sử
f (t, 0) = 0 và hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞) và φ ∈ C ,

bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0 , ∞).
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov)
nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ R+ , tồn tại δ(t0 , ǫ) > 0 sao cho φ

C


Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C → R+ thỏa mãn
u( φ(0) ) ≤ V (t, φ) ≤ v( φ C ), ∀φ ∈ C,

(1.3)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa
V ′ (t, φ) ≤ −w( φ(0) ).

(1.4)

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì nghiệm
x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lims→∞ u(s) = ∞ thì nghiệm
x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn
1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn
tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điều
khiển cơ học. Một hệ là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng
của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng
cho trước trên một đoạn thời gian xác định trước. Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ
phương trình vi phân thường sau đây
x′ (t) = f (t, x(t)),

x(t0 ) = x0 ,

(1.5)

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ.

t−κ(t)

x(t) = φ(t),

t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn ) là hàm ban đầu, A, D, G ∈ Rn×n
là các ma trận cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện
0 ≤ τ1 ≤ τ (t) ≤ τ2 ,

τ ′ (t) ≤ µ ≤ 1,

0 ≤ κ1 ≤ κ(t) ≤ κ2 ,

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1 , τ2 , κ1 , κ2 là các cận
trên của trễ, h = max{τ2 , κ2 }.
Định nghĩa 1.3.3. Cho trước số các số dương T, r1 , r2 , với r1 < r2 . Hệ (1.6) được gọi
là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rn ), φ
x(t, φ)

∞

∞

≤ r1 , ta có

< r2 với mọi t ∈ [0, T ].

Định lí 1.3.1. Cho các số dương T, r1 , r2 , r1 < r2 . Hệ (1.6) là ổn định hữu hạn đối
với (r1 , r2 , T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi , i = 1, 2, 3, 4, và các ma trận đối xứng xác

⊤
ατ1 e⊤ Qe và Π = κ e⊤ Re −
A⊤ P e1 − αe⊤
2
2
2 1
1
1 P e1 , Π1 = e1 Qe1 − (1 − µ)e
2

1 ⊤
κ2 e3 Re3 .

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính tiêu hao của một số
lớp phương trình vi phân có trễ. Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây
x′ (t) = F (t, x(t), x(t − τ1 (t)), . . . , x(t − τm (t))),
x(t) = φ(t),

t ∈ [0, ∞),

(1.8)

t ∈ [−τ, 0],

ở đó τk (.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 ≤ τk (t) ≤ τ với mọi t ≥ 0, k ∈ [m], với
τ > 0 là một hằng số. Hàm F : [0, ∞) × Rn × (C([−τ, ∞), Rn ))m → Rn liên tục và thỏa
8



n
i=1 ai bi

hàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ), bài toán (1.8) có
nghiệm duy nhất x(t, φ) trên [−τ, ∞).
Định nghĩa 1.4.1. Hệ (1.8) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập bị
chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn tại t∗ = t∗ (B) có tính chất
với mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn ) mà φ(t) ∈ B với mọi t ∈ [−τ, 0] thì nghiệm
x(t, φ) ∈ B với mọi t ≥ t∗ (B). Tập B như vậy được gọi là một tập hấp thụ của (1.8).

1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên
Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Halanay). Giả sử hàm u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞, ∞), thỏa mãn
u′ (t) ≤ γ(t) + α0 u(t) + β0

sup
t−τ ≤s≤t

u(s), t ≥ t0 , u(t) = θ(t), t ≤ t0 ,

(1.10)

ở đó θ ∈ BC((−∞, t0 ], R+ ) là hàm liên tục bị chặn. Khi đó, nếu α0 + β0 < 0 thì tồn tại
một hằng số λ > 0 sao cho
u(t) ≤

ở đó γ∗ = supt≥t0 γ(t) và θ

γ∗
+ θ
−(α0 + β0 )

Do đó, hệ (1.8) tiêu hao toàn cục với tập hấp thụ B = B 0,

−γ∗ /(α0 + β0 ) + ǫ , ở

đó ǫ là một số dương cho trước tùy ý. Hơn nữa, đánh giá (1.11) đảm bảo tính hút mũ
của B.
Định lí 1.4.2. Giả sử u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞, ∞), và
u′ (t) ≤ γ(t) + α(t)u(t) + β(t)

sup

u(s) (t ≥ t0 ),

u(t) = θ(t) (t ≤ t0 ),

(1.12)

t−τ (t)≤s≤t

ở đó θ ∈ BC((−∞, t0 ], R+ ), α(t), β(t), γ(t) là các hàm liên tục, β(t) ≥ 0, γ(t) ≥ 0 và
τ (t) ≥ 0 thỏa mãn t − τ (t) → ∞ khi t → ∞. Khi đó, nếu tồn tại σ > 0 sao cho
α(t) + β(t) ≤ −σ < 0, t ≥ t0 ,
9

(1.13)


γ∗
+ θ ∞ , t ∈ [t0 , ∞). Nếu giả thiết thêm rằng tồn tại một số 0 < δ < 1
σ

+β v

(1.15)

2

với α, β, γ là các hằng số. Để đơn giản ta có thể xét t0 = 1. Bằng phép đổi biến
y(t) = x(et ), phương trình (1.15) được chuyển về dạng phương trình vi phân với trễ

hằng sau đây


y ′ (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t > 0,
y(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

ở đó τ = − ln(q) > 0 và

(1.16)

(1.17)

f (t, y(t), y(t − τ )) = et g(y(t), y(t − τ )).

Từ (1.15) và (1.17) ta có
2 u, f (t, u, v) ≤ et γ + α u

2

+β v


ǫ > 0 cho trước.

1.5. Một số kết quả bổ trợ
Mục này giới thiệu một số bổ đề kĩ thuật sử dụng trong chứng minh kết quả
chính ở các chương sau.
10


Chương 2
TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN
VÀ TRỄ TỈ LỆ
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong khoảng thời gian
hữu hạn đối với lớp hệ phương trình trình vi phân mô tả mạng nơron Hopfield với
hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên lý so sánh, chúng
tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận để đảm bảo mọi
quỹ đạo nghiệm của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một khoảng thời
gian hữu hạn. Nội dung được trình bày trong chương này dựa trên bài báo [1] trong
Danh mục công trình công bố của luận án.

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ
Xét lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến
thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng
n

x′i (t)

bij (t)fj (xj (t))

= −ai (t)xi (t) +

+
≤ li1
,
x−y

−
li2
≤

gi (x) − gi (y)
+
≤ li2
, ∀x, y ∈ R, x = y.
x−y
11

(2.2)


Nhận xét 2.1.1. Xét hàm F : R+ × Rn × Rn×n → Rn xác định bởi F (t, u, v) =
(Fi (t, u, v)) với u = (ui ) ∈ Rn , v = (vij ) ∈ Rn×n và
n

n

cij (t)gj (vij ) + Ii (t).

bij (t)fj (uj ) +

Fi (t, u, v) = −ai (t)ui +

C(t) = (cij (t)) thoả mãn các điều kiện sau
ai (t) ≥ di > 0, |bij (t)| ≤ bij , |cij (t)| ≤ cij , ∀t ≥ 0, i, j ∈ [n],

(2.3)

ở đó ai , bij và cij là các hằng số biết trước.
+
−
+
−
Kí hiệu Lfi = max{li1
, −li1
}, Lgi = max{li2
, −li2
}, i ∈ [n], Lf = diag{Lf1 , Lf2 , . . . , Lfn },

Lg = diag{Lg1 , Lg2 , . . . , Lgn } và A = diag{a1 , a2 , . . . , an }, B = (bij ),

C = (cij ), M =

BLf + CLg − A.

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây.
Định lí 2.2.1. Giả sử các giả thiết (A2.1) và (A2.2) được thỏa mãn. Cho trước các
số thực 0 < r1 < r2 và thời gian T > 0, hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1 , r2 , T )
nếu tồn tại một số dương γ và một vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn các điều kiện sau
(M − γI) ξ ≺ 0,
r2
C(ξ) < e−γT ,
r1

∞

với mọi t ∈ [0, ∞).
Nhận xét 2.3.1. Xét một quỹ đạo nghiệm cố định x∗ (t) của (2.1). Đánh giá (2.5) chỉ
ra rằng một quỹ đạo nghiệm bất kì x(t) của (2.1) sẽ có dáng điệu tương tự x∗ (t) khi
thời gian đủ lớn. Do đó, bó các quỹ đạo nghiệm của (2.1) cũng sẽ có dáng điệu tương
tự x∗ (t) khi t dần ra vô hạn. Trong lý thuyết hệ thống và điều khiển mạng, đặc tính
này thường được gọi là tính đồng bộ nghiệm.
Nhận xét 2.3.2. Hằng số σ0 trong chứng minh của Định lí 2.3.1 xác định tốc độ
đồng bộ kiểu lũy thừa đối với nghiệm của (2.1). Tốc độ đồng bộ σmax được cho bởi
thuật toán sau:
• Xác định vectơ ξ ∈ Rn , ξ ≻ 0, thỏa mãn Mξ ≺ 0;
• Tính

n

η = (−Mξ)l = min

i∈[n]

ξj bij Lfj + cij Lgj

ai ξi −

;

(2.6)

j=1


n

x′i (t)

bij (t)fj (xj (t))

= −ai (t)xi (t) +
j=1
n

(3.1)
cij (t)gj (xj (qij t)) + Ii (t), t > 0, i ∈ [n],

+
j=1

trong hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ ức chế nơron) thỏa mãn điều
kiện chính quy ai (t) ≥ ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ai (t) > 0 và
inf t≥0 ai (t) = 0. Như đã trình bày sơ bộ ở Chương 1, cách tiếp cận dựa trên phương

pháp đổi biến hay sử dụng các biến thể của bất đẳng thức Halanay không còn phù
hợp với mô hình (3.1) bởi cấu trúc tự nhiên của nó. Vì vậy, để phân tích tính tiêu
hao của các hệ phương trình vi phân dạng (3.1), chúng tôi phát triển một số kĩ thuật
so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại
của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng. Nội dung của chương này được trình bày dựa
trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố.

3.1. Thiết lập sơ bộ
Xét hệ (3.1), ở đó x(t) = (xi (t)) ∈ Rn là vectơ trạng thái của các nơron, ai (t) ∈ R+ ,
i ∈ [n], là các hệ số tự phản hồi hay tốc độ tự ức chế của các nơron, bij (t) ∈ R và


là khoảng cách từ điểm x ∈ Rn đến Ω.

Định nghĩa 3.1.2. Tập compact Ω ⊂ Rn được gọi là hút mũ suy rộng đối với (3.1) nếu
tồn tại một hàm κ( x0

∞)

≥ 0, một hàm không giảm σ(t) ≥ 0, lim supt→∞ σ(t) = ∞,

sao cho nghiệm bất kì x(t) = x(t, x0 ) của (3.1) thỏa mãn
ρ(x(t), Ω) ≤ κ( x0

−σ(t)
,
∞ )e

(3.4)

t ≥ 0.

Nếu σ(t) = αt, ở đó α > 0 là hằng số, thì Ω được gọi là một tập hút mũ của (3.1).
Định nghĩa 3.1.3. Hệ (3.1) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập bị
chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn , tồn tại t∗ = t∗ (B) có tính chất
với mọi vectơ ban đầu x0 ∈ B , quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t, x0 ) chứa trong B với
mọi t ≥ t∗ (B). Tập B như vậy được gọi là một tập hấp thụ của hệ (3.1).
Nhận xét 3.1.1. Nếu tồn tại một tập hút mũ suy rộng Ω và hàm κ(.) cho ở (3.4)
không giảm thì hệ (3.1) tiêu hao toàn cục. Thật vậy, nếu Ω là tập hút mũ suy rộng
của (3.1) thì với một tập bị chặn bất kì B ⊂ Rn , đặt r(B) = supx0 ∈B x0


Kí hiệu D = diag(a1 , a2 , . . . , an ) và M = D − BLf − CLg , ở đó B = (bij ), C = (cij ),
Lf = diag(Lf1 , Lf2 , . . . , Lfn ) và Lg = diag(Lg1 , Lg2 , . . . , Lgn ).

Định lí 3.2.1. Giả sử các giả thiết (A3.1)-(A3.3) được thỏa mãn. Khi đó, nếu M là
một M-ma trận không suy biến thì ta có các khẳng định sau:
(1) Tập Ω xác định bởi
x ∈ Rn : x

Ω=

≤

∞

γ
(Mχ)+

là một tập hút mũ suy rộng của hệ (3.1), ở đó χ ∈ Rn+ thỏa mãn χ
n
j=1 (bij |fj (0)| + cij |gj (0)|) + I i

Mχ ≻ 0 và γ = maxi∈[n]

∞

= 1,

;

(2) Hệ (3.1) tiêu hao toàn cục.

σ∗

là tập hút mũ suy rộng của (3.1) và hệ (3.1) tiêu hao toàn cục, ở đó
n

n
∗

σ = min

i∈[n]

ai − Lfi

bji −
j=1

Lgi

cji .
j=1

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến
Trong mục này chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính tiêu hao toàn cục
của hệ (3.1) trong trường hợp các hệ số phản hồi ai (t) không thỏa mãn điều kiện về
tính dương đều (chính quy).
Giả thiết (A3.4): Tồn tại một hàm ϕ(t) > 0 và các số dương aˆi , i ∈ [n], sao cho
t

t

|Ii (t)|
≤ Iˆi , ∀i, j ∈ [n], t ≥ 0.
ai (t)

(3.8)

Nhận xét 3.2.1. Các giả thiết (A3.4) và (A3.5) hiển nhiên thỏa mãn với ˆbij = bij a−1
i ,
cˆij = cij a−1
i , i, j ∈ [n], và ϕ(t) =

1
1+t

nếu các giả thiết (A3.2) và (A3.3) được thỏa mãn

(trường hợp hệ số phản hồi chính quy). Vì vậy, (A3.4) và (A3.5) là các điều kiện mở
rộng của các giả thiết (A3.2) và (A3.3).
16


Chúng tôi kí hiệu các ma trận sau đây
B = (ˆbij ),

C = (ˆ
cij ),

H = En − (BLf + CLg ),

ở đó, để phân biệt, chúng tôi kí hiệu En là ma trận đơn vị trong Rn×n .

x(t) − x∗ (t)

∞

≤

1
x(0) − x∗ (0)
η+

ở đó η ∈ Rn là một vectơ thỏa mãn η

∞

−λ0
∞e

t
0 ϕ(s)ds

, t ≥ 0,

(3.9)

= 1 và Hη ≻ 0.

Trong phần cuối của mục này chúng tôi xét bất đẳng thức kiểu Halanay với trễ
tỉ lệ dạng

n

t→∞

(3.11b)

0

n

|bj (t)| − µ0 a(t) ≤ 0, |d(t)| ≤ µ1 a(t), t ≥ t0 .

(3.11c)

j=1

Khi đó, u(t) hội tụ dạng mũ suy rộng đến ngưỡng
17

µ1
. Cụ thể hơn, tồn tại một số
1 − µ0


dương λ˜ sao cho u(t) thỏa mãn đánh giá
u(t) ≤

µ1
µ1
˜
+ max u(0) −
, 0 e−λ

(4.1)

k=1

với tốc độ suy giảm dân số phi tuyến (nonlinear density-dependent mortality term)
D(t, N) = a(t) −b(t)e−N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức

vi-tích phân, trước hết chúng tôi thiết lập các điều kiện bền vững (permanence) và
tiêu hao đều của mô hình Nicholson (4.1). Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều,
chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương
duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4.1). Áp dụng kết quả tổng quát
cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về sự
tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương của mô hình tương
ứng. Nội dung chương này dựa trên bài báo [3] trong danh mục công trình công bố.

4.1. Kết quả sơ bộ
Xét mô hình Nicholson có trễ dạng
p

βk (t)N(t − τk (t))e−γk (t)N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ,

′

N (t) = −D(t, N(t)) +

(4.2)

k=1

(4.3)


k=1

> 0,

p

(C4.4)

p

βk+ max
k=1

βk (t)
= σ,
γk (t)
1
a −
e

1 1 − γk− r∗
,
γk− r∗
e2
e

t→∞

1−

a+

.

Điều kiện
(A4.1), (C4.1)

Kết quả
Tính bền vững đều C0+ , lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≥ ln(θ)

(A4.1), (C4.1a), (C4.2)

Tính tiêu hao đều trong C0+ , lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ ln

(A4.1), (C4.3)
(A4.1), (A4.2), (C4.3)
và (C4.4)

ln ab + ≤ lim inf t→∞ N (t, t0 , ϕ) ≤ lim supt→∞ N (t, t0 , ϕ)
Tồn tại duy nhất nghiệm ω-tuần hoàn dương N ∗ (t)
và tính hút toàn cục của N ∗ (t) trong C0+ .
−

b+
a− (1− σ
e)
+
≤ ln b̺

Diễn giải ý nghĩa sinh học, ta thấy rằng khi dân số suy thoái thì tỉ lệ tiêu vong

β+
) thì dân số có thể sẽ
γk−

ổn định quanh một quỹ đạo tuần hoàn trong môi trường phát triển tuần hoàn (hệ số
tuần hoàn) hoặc quanh một điểm cân bằng dương (với mô hình bất biến).

4.2. Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững
4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục
Trong mục này chúng tôi chỉ ra rằng các nghiệm của (4.2)-(4.4) xuất phát từ
tập chấp nhận được C0+ là các nghiệm dương và tồn tại toàn cục.
20


Định lí 4.2.1. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn và b(t) ≥ a(t) với mọi t ∈
[0, ∞). Khi đó, với bất kì ϕ ∈ C0+ , nghiệm N(t, t0 , ϕ) của bài toán (4.2)-(4.4) thỏa mãn
N(t, t0 , ϕ) > 0, t ∈ [t0 , η(ϕ)), và xác định toàn cục, tức là, η(ϕ) = ∞.

Nhận xét 4.2.1. Để đảm tính dương của nghiệm của (4.2)-(4.4) với các điều kiện
đầu trong C0+ , điều kiện b(t) ≥ a(t) không thể bỏ được. Để cho một phản ví dụ, ta xét
n = 1 và giả sử rằng
sup
t≥0

t

b(t)
= δ ∈ [0, 1),
a(t)



b(t)
≥ eℓm > 1.
a(t)

(4.5)

Khi đó, với bất kì ϕ ∈ C0+ , ta có
lim inf N(t, t0 , ϕ) ≥ ℓm > 0.
t→∞

Nhận xét 4.2.2. Một trường hợp đặc biệt của (4.5), với các hàm bị chặn a(.), b(.),
nếu b− > a+ thì hằng số ℓm trrong (4.5) có thể cho bởi
ℓm = ln

b−
a+

.

Kết quả sau đây chỉ ra tính tiêu hao đều của hệ (4.2)-(4.4) trong C0+ theo nghĩa
tồn tại một hằng số ℓM > 0 sao cho lim supt→∞ N(t, t0 , ϕ) ≤ ℓM .
Định lí 4.2.3. Giả sử giả thiết (A4.1) và các điều kiện sau được thỏa mãn
(4.6)

b+ ≥ b(t) ≥ a(t) ≥ a− > 0, t ∈ [0, ∞),
1
lim sup
t→+∞ a(t)




Hệ quả 4.2.4. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn, ở đó a, b, βk và γk là các hàm
bị chặn, γk− > 0. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
̺

1
a −
e

p

βk+

> 0,

(4.8a)

b− − a+ > 0,

(4.8b)

−

k=1

γk−

thì với mọi ϕ ∈ C0+ ta có
ln

, r = ln

b+
̺

, νk = max

1 1 − γk− r∗
,
e2 eγk− r∗

.

> 1 và do đó r∗ > 0. Thêm nữa, do điều kiện r∗
0,

22

(4.12)


Định lí 4.3.2. Với các giả thiết (A4.1), (A4.2), giả sử các điều kiện (4.8a), (4.8b) và
(4.12) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có một nghiệm ω -tuần hoàn dương duy
nhất N ∗ (t) hút toàn cục trong C0+ .

4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục
Trong mục này chúng tôi áp dụng kết quả tổng quát trình bày ở các mục trước
cho mô hình Nicholson mô tả bởi
p

βk N(t − τk (t))e−γk N (t−τk (t)) , t ≥ t0 ≥ 0,

′

N (t) = −D(N(t)) +

(4.13)

k=1

ở đó βk ≥ 0, γk > 0 là các hệ số biết trước,

p
k=1 βk

> 0. Hàm tốc độ suy giảm dân số

a−

1
e

p
βk
k=1 γk

.

(4.15)

Định lí 4.4.2. Giả sử rằng
q

βk
k=1

ở đó
νˆk = max

νˆk +

1
eγk

< a < b,

(4.16)