MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
3. Kết luận, kiến nghị

Trang
1
1
1
1
1
1
3
3
19
20

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
1


Những năm gần đây, trong các đề thi vào lớp 10 môn toán đều có dạng bài

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh;
- Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá học sinh;
- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề:
+ Phương trình bậc hai một ẩn.
Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương
trình có dạng ax 2  bx  c 0 . Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là
các hệ số và a 0
Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
2


Phương trình bậc hai

ax 2  bx  c 0 ( a 0 )
 b 2  4ac
  b 2  ac
( b 2b)
* Nếu   0 thì phương trình có hai * Nếu    0 thì phương trình có hai

nghiệm phân biệt
 b 
;
2a
* Nếu  0

nghiệm phân biệt



a

+ Một số điều kiện liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai:
  0

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  S  0
P 0

  0

- Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  S  0
P 0


- Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là P < 0 (Khi đó hiển nhiên   0 )
+ Đồ thị hàm số y = a x  b ( a  0)
Đồ thị của hàm số y = a x  b ( a  0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng b, song song với đường thẳng y = ax nếu b  0 , trùng với đường
thẳng y = ax nếu b = 0
+ Đồ thị hàm số y = ax2 ( a  0)
- Đồ thị của hàm số y = ax 2 ( a  0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận
trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó gọi là một Parabol với đỉnh O
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
+ Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số y = a x  b (d) và đồ thị hàm số y = ax2 (P)
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình
ax 2  ax  b  ax 2  ax  b 0 (1)
- Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt;

Bài 1. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2x + m - 2 cắt Parabol y = x 2 tại hai
điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 + x2 – 2x1x2 = 10
Bài 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 6x – m cắt Parabol y = x2 tại hai điểm
phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 – x2 = 2
Bài 3. Tìm giá trị của m để đường thẳng y = 2(m - 2)x + 5 cắt Parabol y = x 2 tại
hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12  x22 =18
Kết quả thu được:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
35
1
2,9
4
11,4
10
28,6
20
57,1

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = 4x + m  x2 - 4x - m = 0 (1)
Ta có:  = 4 + m.
a) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu thì phương
trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó: P  m  0  m  0 (Hiển nhiên   0)
Vậy với m > 0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
b) Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ đều dương
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều dương.
   0
4  m  0
m   4



 4m0
Khi đó  S  0   4  0
m  0
P 0
 m  0


Vậy với  4  m  0 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm có hoành độ đều

dương.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y= -2x + m - 6 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ đều âm.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  2 x  m  6  x 2  2 x  m  6 0 (1)

Dạng 2 này, được chia thành các dạng nhỏ để học sinh dễ dàng tiếp cận kiến
5


thức, các dạng toán ở đây được sắp xếp từ dễ đến khó theo hệ thức chứa hoành độ
giao điểm. Sau mỗi dạng toán có thể có những lưu ý về cách giải hoặc sai lầm học
sinh mắc phải…
Dạng 2.1. Hệ thức chứa sẵn tổng và tích hai nghiệm của phương trình hoành
độ.
Phương pháp giải:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ax2 = ax  b (1)
- Tìm điều kiện của tham số để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2
- Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo hệ thức Vi-ét
- Thay tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm vào hệ thức đã cho rồi giải phương
trình với ẩn là m
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm rồi kết
luận.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = x – 2m và Parabol
(P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn:
a) x1 x 2  x1  x 2  5
b) 3 x1  x 2   5 x1 x2  10 0
2
c)  x1  x 2   3x1 x 2 7
d) ( x1 x 2 ) 2  x1  x 2  8 0
Giải
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  x  2m  x 2  x  2m 0 (1)
Ta có:  1  8m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt

Vậy m = -1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1, x2 thỏa mãn  x1  x 2  2  3x1 x 2 7
d) Ta có: ( x1 x 2 ) 2  x1  x 2  8 0  ( x1 x 2 ) 2  ( x1  x 2 )  8 0
3
2
  2m   1  8 0  4m 2 9  m 
2

6


3
2

Ta thấy m  không thỏa mãn điều kiện (*) nên loại
Vậy m 

3
là giá trị cần tìm.
2

Sai lầm học sinh hay mắc phải
Ở câu (d) học sinh quên mất điều kiện để đường thẳng cắt parabol tại hai
3
2

3
2

điểm phân biệt, nên khi tìm được m  là kết luận. Vậy m  là các giá trị cần

m   2
 x1  x 2  m

Theo định lý Vi-ét, ta có: 
1
 x1 x 2  2
Theo đề bài : x12  x22  4( x1  x 2 )  4 0   x1  x 2  2  2 x1 x 2  4 x1  x 2   4 0
1
2
   m   2.  4( m)  4 0  m 2  4m  3 0 (2)
2
Giải phương trình (2) ta được: m1 1 (TMĐK *); m2 3 (TMĐK *)

Vậy m = 1; m = 3 là các giá trị cần tìm
7


Sai lầm học sinh hay mắc phải:
Từ m 2  2  0  m 2  2  m  2 nên khi tìm được m = 1 (KTMĐ)
VÝ dô 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 4x + m + 1 và
Parabol (P): y = - x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn
1
1 
b)     x1 x 2  4 0

a) x1 2  x 2 2 = 10

 x1 x 2 
d) x13  x 23  5( x12  x 22 ) 16

 x1 x 2 
 x  x1 
  x x x 2  4 0 ( Điều kiện m +1 0  m   1 (**))
  2
 x x x2 
  x1  x 2    x1 x 2   4 x x x 2 0   4  (m  1) 2  4(m  1) 0
 m 2  2m  1 0  (m  1) 2 0  m  1 0  m 1 (TMĐK * và **)
2

Vậy m = 1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là
1
1 
x1, x2 thỏa mãn     x1 x 2  4 0

 x1 x 2 
c) Theo đề bài x13  x 23  28
Ta có: x13  x 23  28   x1  x 2  3  3x1 x 2  x1  x 2   28
 ( 4) 3  3(m  1).( 4)  28  12m 24  m 2 (TMĐK *)

Vậy m = 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
là x1, x2 thỏa mãn x13  x 23  28
d) Theo đề bài: x13  x23  5( x12  x22 ) 16
8


Ta có: x13  x 23  5( x12  x 22 ) 16   x1  x 2  3  3x1 x 2  x1  x2   5  x1  x 2  2  2 x1 x 2  16





hoành độ lần lượt là x1 , x 2 thỏa mãn: x1  x 2 4
Giải:
Cách 1: Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 6 x  m  x 2  6 x  m 0 (1)
Ta có:  9  m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
Khi đó:    0  9  m  0  m  9 (*)
 x1  x 2 6

Theo hệ thức Vi-ét và bài ra ta có:  x1  x 2 4
 x .x m
 1 2

(2)
(3)
(4)

Giải hệ gồm hai phương trình (2) và (3) ta được: x1 5 ; x2 1
Thay x1 5 ; x2 1 vào (4) ta được: m 5.1 5 (TMĐK *)
Vậy m = 5 là giá trị cần tìm
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức x1  x 2 4 về dạng chứa tổng và tích hai nghiệm
như sau:
x1  x 2 4  2 x1  x1  x 2 4  2 x1  x1  x 2  4 (5)
x1  x 2 4  x1  x 2  2 x 2 4  2 x 2  x1  x 2
(6)
Nhân vế với vế (5) và (6) ta được:
4 x1 x2  x1  x 2  4  x1  x 2  4  4 x1 x 2  x1  x 2  2  16

9

(4)

 4 x1  3 x2 1
Thay (4) vào (3) ta được:  3m  2 3  4m  5m  6  9m  12m 2  6  8m 5m  6
m0
�
 12m(m  1) 0 � �
(TMĐK *)
m 1
�
Vậy m   0;1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1, x2 thỏa mãn 4 x1  3x2  1
Cách 2: Ta có thể biến đổi hệ thức 4 x1  3x2  1 về dạng chứa tổng và tích hai

nghiệm như sau:

4 x1  3 x2  1  x1  3x1  3x 2 1  x1 1  3 x1  x 2 
4 x1  3 x2  1  4 x1  4 x 2  x 2 1  x 2 4 x1  x 2   1

(5)
(6)

Nhân vế với vế (5) và (6) ta được:

x1 x 2 1  3 x1  x 2  . 4 x1  x 2   1  x1 x 2 7 x1  x 2   12 x1  x 2  2  1
 5m  6 7(1  m)  12(1  m) 2  1
 12m 2  12m 0
m0
�
 12m(m  1) 0 � �

3
(*)
4

 x1  x 2 5
 x1 x 2  m  7

(2
))
(3)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có : 

Từ (2) suy ra : x2 = 5 - x1
Thay x2 = 5 - x1 vào x12 4 x2  1 (gt) ta được:
x12 4 5  x1   1  x12  4 x1  21 0 (4)
Giải phương trình (4) ta tìm được: x1    7;3
+ Với x1 = -7  x2 = 12  -7.12 = - m +7  m = 91 (TMĐK *)
+ Với x1 = 3  x2 = 2  3.2 = - m +7  m = 1 (TMĐK*)
Vậy với m   91;1 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12 4 x2  1
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12  2 x2  x1 x2  12
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 2 x  m  3  x 2  2 x  m  3 0 (1)
Ta có:  1  m  3 4  m
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x 2 .

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 mx  3  x 2  mx  3 0 (1)
Ta có:   m 2  12
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
m  2 3
2


0

m

12


Khi đó:
(*)
m   2 3
 x1  x2  m
Theo hệ thức Vi- ét, ta có: 
 x1 x2 3
Theo đề bài: x1  x2 2   x1 x2  2  4  x12  2 x1 x2  x22  4
  x1  x2   4 x1 x2  4  m 2  4.3  4  m 2 16
 m = 4 (TMĐK*) hoặc m = - 4 (TMĐK*)
Vậy m = 4 đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2 2
2

Lưu ý: Ta có thể biến đổi hệ thức x1  x2 2 như sau:


Theo đề bài : x1  x2  x1  x2 (Điều kiện: x1  x2 0  2m  4 0  m  2 (**))
2
2
Ta có : x1  x2  x1  x2  x1  x 2  x1  x2 
2
2
2
2
 x1  2 x1 x 2  x 2  x1  2 x1 x 2  x 2  4 x1 x 2 0  x1 x 2 0
 m2 – 9 = 0  m = 3 hoặc m = - 3

Với m = - 3 không thỏa mãn điều kiện (**) nên loại
Vậy với m = 3 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x2  x1  x2
Lưu ý: Vì x1  x2 0 mà x1  x2  x1  x2 nên cần phải có điều kiện x1 +x2 0
Sai lầm học sinh mắc phải trong ví dụ này là thiếu điều kiện x1 +x2 0 nên giá trị
m = -3 cũng là giá trị cần tìm:
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + 3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng d cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1  x 2 4
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2  2 m  1 x  3  x 2  2 m  1 x  3 0 (1)
Ta có:  (m  1) 2  3  0 với mọi m
Vì    0 m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó đường thẳng
(d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2
 x1  x 2 2(m  1)
 x1 x 2  3


Phương pháp giải
Tương tự dạng 2.4
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = ( m – 2)x +3 và
Parabol (P): y = x2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: x12  2018  x1  x 22  2018  x 2
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x 2 (m  2) x  3  x 2   m  2  x  3 0 (1)
Ta có:   m  2 2  12  0 m
Vì   0 m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2.. Khi đó
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2.
 x1  x2  m  2
 x1 x2   3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Theo bài ra ta có: x12  2018  x1  x 22  2018  x 2





x12  2018 

x 22  2018  x1  x 2

x12  2018 

x22  2018 ( x1  x2 ) 2




 2018 x 22  2018 2021

2
1
2 2
1 2
2

2
2

 ( x  2018)( x  2018)  20212
 x x  2018( x12  x 22 )  2018 2 20212
 ( 3)  2018 x12  x 22  2018 2 20212





 x  x 6   x1  x 2  2  2 x1 x 2 6
2
1

2
2
2

2

Ta có:  9m 2  12  0m
Vì   0 với mọi m nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó
đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2.
 x1  x2   3m
 x1.x2   3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Vì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt sao cho tổng tung độ hai
giao điểm bằng – 10 nên ta có: y1  y2  10
Cách 1: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng
y1  y2   10
Ta có:
 (3mx1  3)  (3mx 2  3)  10 (Vì y1 3mx1  3 ; y 2 3mx 2  3 )
2
 3m( x1  x 2 )  4  3m( 3m)  4  9m 2  4  m  
3

Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình của Parabol
y1  y2   10
Ta có:
  x12  ( x22 )   10
( Vì y1  x12 ; y 2  x 22 )
  x1  x 2   2 x1 x 2 10
2

2
2
   3m   2.( 3) 10  9m 2  4  m  
3

2

  m  1  2.( 4) ( 4) 2
2

 m  1 2 2
 m 1  2 2
  m  1 2 8  
 
 m  1  2 2
 m 1  2 2

Cách 2: Tính y1, y2 theo phương trình đường thẳng
Theo bài ra ta có: y1  y 2  y1 y 2

 (m  1) x1  4  ( m  1) x 2  4  (m  1) x1  4 (m  1) x 2  4
(thay y1 (m  1) x1 ; y 2 (m  1) x 2 )
 (m  1)( x1  x 2 )  8 (m  1) 2 x1 x 2  4(m  1)( x1  x 2 )  16
 3(m  1)( x1  x 2 )  ( m  1) 2 x1 x 2  8 0

 m  1 2 2
 m 1  2 2
 
 3(m  1) 2  4(m  1) 2  8 0   m  1 2 8  
 m 1  2 2
 m  1  2 2
Vậy với m 1  2 2 ; m 1  2 2 thì đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2
điểm phân biệt có tung độ lần lượt là y1 ; y 2 thỏa mãn: y1  y 2  y1 y 2
Nhận xét: Khác với ví dụ 1, ở ví dụ 2 ta tính y1 ; y 2 theo phương trình của Parabol


Theo bài ra ta có : x1 .x 2 ( y1  y 2 )  48 0
 x1 .x 2 (2 x1  m  1  2 x 2  m  1)  48 0 (Thay y1 2 x1  m  1; y 2 2 x 2  m  1 )
 x1 x 2 . 2 x1  x 2   2m  2  48 0   2m  2  2.4  2m  2  48 0
 m 2  6m  7 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được: m1 = -1(TMĐK*); m2 = 7 (KTMĐK *)
Vậy m = -1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d): y  x  m  1 cắt Parabol
(P): y  x 2 tại 2 điểm phân biệt có tọa độ  x1 ; y1  và  x 2 ; y 2  thỏa mãn:
x1  x 2  y1  y 2 2m  7

Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x2 = x + m – 1  x 2  x  m  1 0 (1)
Ta có:  1  4(m  1)  4m  3
Để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x1, x2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 .
3
(*)
4
 x1  x2 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 x1.x2   m  1

Khi đó:   0  4m  3  0  m 

Cách 1 : Tính y1, y2 theo phương trình của đường thẳng
Theo đề bài: x1  x2  y1  y 2 2m  7
 x1 x 2  ( x1  m  1)  ( x 2  m  1) 2m  7
(Vì y1  x1  m  1 , y 2  x 2  m  1 )

2

Ta có:  m  4  0 với mọi m


(1)

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 nên đường thẳng
(d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1 ; y1); B(x2 ; y2).
 x1  x2   2m
 x1.x2   4

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài ra, ta có : AB = 4 10

 x2  x1  2   y2  y1  2 4 10   x2  x1  2   y2  y1  2 160
2
2
  x 2  x1     mx 2  2    mx1  2   160 (Vì y1 mx1  2 ; y 2 mx 2  2 )
2
2
2
  x 2  x1    m x 2  x1   160   x 2  x1  1  m 2  160
2
2
   x 2  x1   4 x1 x 2 1  m 2  160     2m   4.  4 1  m 2  160


 (4m 2  16)(1  m 2 ) 160  4m 4  20m 2  144 0
 m 4  5m 2  36 0 (2)


2
 x A .x B  m  8

Do đó: x A  x B  x A x B = 2(m  4)  (m 2  8)  m 2  2m  16 17  (m 2  2m  1)
= 17  (m  1) 2 17 với mọi m
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m  1 0  m 1(TM )
Vậy với m = 1 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
x A  xB  x A xB đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là: 17
1
4

Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d) y = mx – m – 2. Tìm m để
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho x A2 xB  x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
1 2
x mx  m  2  x 2  4mx  4m  8 0 (1)
4
Ta có:  4m 2  4m  8  2m  1 2  7  0 với mọi m


Do đó đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A và B có hoành
độ lần lượt là xA; xB.
 x A  xB   4m
 x A .xB   4m  8

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 

Do đó: x A2 x B  x A x B2  x A x B  x A  x B   4m  8 4m 16m 2  32m




2
4
 2 
 2

=

2

1
  2 2m


19


m 1
0  m 1
2
Khi đó M 2 2  M  2 (Vì M = x A  x B 0 )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy với m = 1 thì để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho biểu thức
M = x A  x B đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 2
Sai lầm học sinh hay mắc phải trong bài này là:
Từ M 2 2  M  2

Bài 7. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y  x  m  1 . Tìm m để (d)
(P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x12  x1 x2  3x 2 7
Bài 8. Cho Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d) y mx  m  3 . Tìm m để (d)

Bài 5. Cho Parabol (P): y =

(d)
cắt
cắt
cắt

(P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
a) biểu thức M = 2 x A2  x B2   x A x B đạt giá trị nhỏ nhất.
b) biểu thức M =  x A  x B    x A x B  2 đạt giá trị lớn nhất
2.4. Hiệu quả của sáng kiến đối với hoạt động giáo dục
Trong năm học 2016 - 2017 và 2017 - 2018 tôi được phân công dạy toán hai
lớp 9. Tôi đã mạnh dạn áp dụng đề tài này. Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy kết quả
học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi bài thi. Đặc
biệt là qua các kì thi vào lớp 10 các em đã tự tin hơn rất nhiều và kết quả thi của
trường tôi luôn được xếp thứ hạng cao trong huyện.
+ Đối với học sinh trung bình, yếu: Các em đã giải thành thạo một số bài toán đơn
giản mà giáo viên yêu cầu, qua đó niềm tin học tập được củng cố. Nhìn chung các
em đã nắm vững được phương pháp giải các dạng toán trong đề tài. Các em không
20


còn lúng túng khi bắt gặp dạng toán này và các sai lầm trong lời giải cũng giảm
hẳn. Đây quả thật là một điều đáng mừng.
+ Đối với các em học sinh khá, giỏi, ngoài nắm vững dạng toán cơ bản trên, các
em còn được cung cấp thêm nhiều dạng toán mà hệ thức phức tạp, đa dạng. Việc

17
48,6
4
11,4
9B
35
7
20
9
25,7
16
45,7
3
8,6
3. KẾT LUẬN
3.1. Kết luận.
Để việc áp dụng đề tài này giảng dạy có hiệu quả thì đối với giáo viên và
học sinh cần:
+ Đối với giáo viên:
- Cần nắm vững khả năng tiếp thu bài của học sinh, từ đó đưa ra những dạng bài
tập, và phương pháp giải toán phù hợp, giúp học sinh làm được dạng bài tập đó,
tạo niềm tin, gây hứng thú học tập, yêu thích học toán.
- Đối với mỗi phương pháp giải toán phải đưa ra được các ví dụ điển hình từ cơ
bản đến nâng cao, hướng dẫn học sinh tìm được cách giải điển hình cho mỗi
phương pháp, song cần chú ý khai thác các cách giải khác. Sau mỗi phương pháp,
mỗi mảng kiến thức giáo viên phải có sự kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm bằng
nhiều hình thức.
- Để làm được điều đó thì người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng,
từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây
dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ,


1.
2.
3.
4.
5.

Thọ Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa toán 9 tập 1, 2
Sách bài tập toán 9 tập hai
Sách nâng cao và phát triển toán 9 tập hai
Sách toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 9
Sách Tài liệu ôn thi vào lớp 10
22


6. Các đề thi vào lớp 10 của một số tỉnh
7. Sổ tay tích lũy của cá nhân
8. Nguồn internet

23


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH

thành nhân tử
Hướng dẫn học sinh giải dạng toán
Phòng GDĐT C
tìm m để phương trình bậc hai có hai
nghiệm thỏa mã điều kiện cho trước

Năm học
đánh giá
xếp loại
2004 -2005
2006 -2007
2008-2009
2011 -2012
2015 - 2016

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

24