UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2018-2019
Môn:TOÁN 9
Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1. (4,0 điểm)
a) Thu gọn biểu thức A 
b) Cho x 

2 3 6 84
2 3 4

2
1
2 1 1



1

. Tính giá trị của biểu thức B  1  2 x  x 2  x3  x 4 

2018

2 1 1

c) Cho x  3 3  2 2  3 3  2 2 và y  3 17  12 2  3 17  12 2. Tính giá tri của biểu

KM
cạnh BC. Tính diện tích của tam giác ABC , biết OM  HK 
và AM  30cm.
4


ĐÁP ÁN
Bài 1.





2  3  4  2. 2  3  4
2 3 6 84

1 2
2 3 4
2 3 4

a)Ta có: A 
b)

2

ta có: x 

1
2 1 1



3

c) Ta có:
x3 



3

 17  12 2 
3



 1 2 2  2  2 2  4



2018

  1

2018

1

  3  2 2  3.x  3  2 2  6  3x
17  22 2   17  12 2  3 y  17  12 2  34  3 y


9
a
k
k
a
a
a
1
10

k

 10

a
1  5 5
9


Từ 
  k     ;2; ;5;10 
a  3 2

10 :  k  1    

a
 
Suy ra b 



a  2


a
2
k

5

2


1 5
7


 b  (ktm)...hoac...k  3(tm )  ab  24
+Nếu k    
a 2 b  4
2

b  4

b  4
a  1
a. k  5  1 
1
 k  6(tm)  ab  12
+Nếu k   5  
a

Giả sử (*) đúng khi n  k , nghĩa là B  1.2.3.....k.1    .....   
k
 2 3
Cần chứng minh (*) đúng khi n  k  1, nghĩa là
1 
 1 1
B  1.2.3.....(k  1).1    ...... 

k 1
 2 3
1 
1
 1 1
 1 1
Ta có: 1.2.3...(k  1).1    ... 
  1.2.3...1    ....  . k  1  1.2.3.....k
k 1
k
 2 3
 2 3



1
 1 1
1.2.3....
1




 2
1
1 
 1

 .....   . k  1 k  2 ....2k cũng là số tự nhiên
nhiên nên 
2k 
 k 1 k  2
Áp dụng các chứng minh ta có:
1   1
1
1 
 1
1.2....1009.1   .... 

 .... 
 và 
 .1010.1011....2018 cũng là các số
1009   1010 1011
2018 
 2
tự nhiên
1011 3
Ta có: 
 1010.1011.....1342....2018 2019
1324 673
1 
 1
 1.2....1009.1   ..... 

2

2

2

 a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   4  ab  bc  ca  mà ab  bc  ca  9


Nên  a  b  c   36  a  b  c  6(do...a, b, c  0)
2

b) Ta có a 2  b2  c2   a  b    b  c    c  a    c  a  b   4ab
2

2

2

2

Không mất tính tổng quát , giả sử c  a  b. Khi đó ta có:
(1)
c  a  b  2b
2
 c  a  b   4ab  4b2  
(2)
c  a  b  2b

1  c  a  b  0  c  a  b

A
H
M

I

K

N
E

D
C

B

AN
 AM
 AN
a

1

1

 MB
x  a  x
AM AN
 NC
x 

2
a) Áp dụng định lý Pytago ta có:
MN 2  MH 2  HN 2  AM 2  AH 2   AN  AH 

2

 AM 2  AN 2  2 AN . AH  AM 2  AN 2  AM . AN  x 2  y 2  xy   x  y   3xy
2

Vậy MN 2  x 2  y 2  xy   x  y   3xy
2

b) Theo đề, ta có:

(1)


AM AN
AB
AC

1
1
1  1
MB NC
MB
NC
a
a



2
2
2
DK .MN AH . AN a 2 3 a 3
x 3y
 DK . AK 



. a  x  y  
2
4
12
12
4
3 2
3
a 3
DK .MN

.  a  a  a  x  y   3xy  
. ax  ay  3xy  
. a  x  y  
12
12
12
2
DI .MN DK .MN


GM MD
Gọi G là giao điểm của AM và OH. Ta chứng minh được AGH

MGO( g.g )

AG HG AH


 2  AH  2OM
GM GO OM
Dễ dàng chứng minh được tứ giác IMKH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)
 HO  KM  HO  4OM  3OG  4OM
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OGM , ta có:


16
AM 2
2
OM  OG  GM  OM  OM 
 5OM  AM  OM  6cm
9
9
Khi đó OH  24cm, AH  12cm, AK  18cm.
2

2

2

2