PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CÁP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI MÔN : TOÁN

Câu 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức P 

x 1
2 x
25 x


4 x
x 2
x 2

Tìm x để P có giá trị bằng 2
1 1 1
Câu 2. (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực thỏa mãn:    2 và
a b c
1
1 1
a  b  c  abc thì 2  2  2  2.
a b c
Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng:
1 1
1 1
1
1

c) Từ C kẻ CH vuông góc với BN tại H. Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng
Câu 10. (2,0 điểm) Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để
phủ kín 1 tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?


ĐÁP ÁN
Câu 1.
Biểu thức có nghĩa khi x  0; x  4
P









x 1
2 x
25 x



4 x
x 2
x 2


x  2 





x 2



x 2
x 2







x 2

Do đó P  2 



x 2








x 2







3 x
x 2

3 x
 2  3 x  2 x  4  x  4  x  16(tm)
x 2

Câu 2.
2
1 1 1
1 1 1
Từ    2       4
a b c
a b c
1 1 1
1
1 
1 1 1
 1
abc
 2  2  2  2     4  2  2  2  2


n2  n  1

Suy ra 1 

2

n


2

 n  1

n2  n  1

2

2

1 
 1
 1  

 n n 1

2

1
1

 2018
2019
2019
Câu 4. Điều kiện x  1
Đặt t  x  1, DK : t  0  x  t 2  1
Phương trình đã cho trở thành: t 4  t 2  12t  36  0
2
t 4  t  6  0
  t  2  t  3  t 2  t  6   0

t  2(tm)

t 2  t  6  0 .

t  3(ktm)
t 2 x 3
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x  3
Câu 5.
Ta có:
3n 2  2n 2  3n  2n   3n 2  3n    2n 2  2n 
 3n  32  1  2n1  23  2 
 3n.10  2n1.10  10. 3n  2n1  10( dfcm)

Câu 6.
Ta có : x2  xy  2017 x  2018 y  2019  0
 x 2  xy  x  2018 x  2018 y  2018  1

 x  x  y  1  2018  x  y  1  1
  x  2018  x  y  1  1  1.1   1. 1
Nên có 2 trường hợp xảy ra:

2
m  n  p
m  n  p
Vì p là số nguyên tố nên n  2 là số chính phương. Vậy có điều phải chứng minh
Câu 8.
2 1 1
2ac
Vì   nên b 
b a c
ac
2ac
a
ab
c 2  3ac a  3c
a

c



Do đó:
2a  b 2a  2ac
2a 2
2a
ac
2ac
c
cb
c 2  3ac c  3a
a

2ac
2ac
Vậy P  4 với mọi a, b, c thỏa mãn đề bài. Dấu bằng xảy ra khi a  b  c
Vậy GTNN của P là 4 khi a  b  c
Theo bài ra :


Câu 9.

E

A

O

B

M
H

D

C

N

a) Xét OEB và OMC, ta có: OB  OC (vì ABCD là hình vuông).

B1  C1  450 ; BE  CM ( gt )  OEB  OMC (c.g.c)
 OE  OM và O1  O3

Giả sử ABC là tam giác đều có cạnh bằng 3
A
Chia mỗi cạnh tam giác ABC thành ba phần
bằng nhau. Nối các điểm chia bởi các đoạn
thẳng song song với các cạnh. Tam giác ABC
K
được chia thành 9 tam giác đều có cạnh bằng
1 như hình vẽ.
Gọi I, J, K lần lượt là 3 điểm trên các cạnh
J
BC, CA, AB sao cho BI  CJ  AK  1. Ba
đường tròn bán kính 1, tâm tương ứng I, J, K
sẽ phủ kín được tam giác ABC (mỗi hình tròn
sẽ phủ kín được 3 tam giác đều cạnh 1). Như
B
C
I
vậy dùng ba tấm bìa hình tròn bán kính 1 sẽ
phủ kín được tam giác ABC.
*Số tấm bìa ít nhất phải dùng là 3, vì nếu ngược lại sẽ có hai trong ba đỉnh của tam giác
ABC cùng thuộc một hình tròn bán kính 1. Điều này không thể xảy ra do cạnh của tam
giác ABC bằng 3