MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU.............................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài...........................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......................................................4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm......................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................4
2.3 Giải pháp của đề tài........................................................................................5
2.4. Hiệu quả của đề tài.....................................................................................11
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...........................................................................12
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................13

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Nâng cao, để giảm tải, ở
phần giới hạn của dãy số, sách giáo khoa chỉ đưa vào Bài đọc thêm (trang 152
và trang 154) định lí kẹp về giới hạn của dãy số và định lí về điều kiện để một
dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn. Do chỉ được giới thiệu ở phần đọc
thêm nên kết quả của các định lí này đã không được sử dụng một cách xứng
đáng với tầm quan trọng của nó trong việc thực hành giải toán tìm giới hạn của
dãy số.
Ở các năm học trước, trong quá trình giảng dạy các học sinh khá, giỏi
khối lớp 11, tôi nhận thấy các em luôn có nhu cầu được tìm hiểu và giải những
bài toán về giới hạn của dãy số ở mức độ khó. Đặc biệt, trong 2 năm gần đây khi
Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh cho học sinh lớp 11
thì trong đề thi đã xuất hiện bài toán về dãy số ở mức độ 3 (mức độ Vận dụng)



- Kĩ năng vận dụng kiến thức về đánh giá các bất đẳng thức để chỉ ra tính
bị chặn của dãy số.
- Kĩ năng chứng minh bằng quy nạp toán học để chỉ ra một dãy số là tăng
hoặc giảm.
- Kĩ năng sử dụng các đánh giá làm trội để áp dụng định lí kẹp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu một số dạng bài tập về dãy số như: tìm giới hạn
của dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn, tìm điều kiện để dãy số có giới
hạn... dựa trên việc vận dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng
hoặc giảm có giới hạn hữu hạn làm cơ sở khoa học.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Đại số và Giải tích nâng
cao của lớp 11 trung học phổ thông về dãy số và giới hạn của dãy số. Tuy
nhiên không phải mọi bài toán về dãy số mà phạm vi của nó là các bài toán có
thể đưa về việc chứng minh dãy số là đơn điệu và bị chặn để áp dụng được các
định lí trên.
Đối tượng áp dụng: học sinh các lớp 11B1, 11B2 và 5 học sinh đội tuyển
HSG môn Toán của trường THPT Hậu Lộc 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chủ yếu được sử dụng trong đề tài là:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: dựa trên các kiến
thức về dãy số, về định lí kẹp, định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu
hạn.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: trên cơ sở
tìm tòi trong các đề minh họa thi HSG tỉnh của các trường THPT gửi Sở
GD&ĐT, chọn lọc, xây dựng hệ thống những ví dụ cụ thể với cách giải cụ thể,
trực tiếp nhằm hướng dẫn cho học sinh từng bước làm được các bài tập về dãy
số nhờ việc sử dụng các định lí.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Trong các buổi học tôi cùng với

b. Nếu un �0, n thì L �0 và lim un  L .
Định lí 2. Giả sử lim un  L, lim vn  M và c là một hằng số. Khi đó
lim  un  vn   L  M , lim  u n  vn   L  M
lim  un .vn   L.M , lim  cun   cL
u
L
lim n  , (M �0)
vn M
1
Định lí 3: Nếu lim un  � thì lim  0 .
un
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế là trong Sách giáo khoa các ban ở phần kiến thức về dãy số cũng
chỉ đưa ra một số ví dụ đơn giản về tìm giới hạn của dãy số, mà chủ yếu là các
dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. Tuy nhiên trong các đề thi học
sinh giỏi lớp 11 và trong ma trận đề học sinh giỏi lớp 11 do Sở GD&ĐT Thanh
Hóa công bố thì câu dãy số là câu ở mức độ 3 (mức Vận dụng), khá khó. Để làm
được câu hỏi này không thể chỉ dùng các kiến thức như đã trình bày trong các
bài học hoặc các ví dụ minh họa của Sách giáo khoa.
Sau đây là một số câu dãy số trong các đề thi HSG lớp 11 mà học sinh
thường gặp:
4


a. Về dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số phải dùng định lí kẹp:
Câu 1.(Câu III.2 đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019).
u1  2
�
�
Cho dãy số  un  xác định bởi: �

u1  b
�
Cho dãy số (un ) xác định bởi : �
.
un 1  un2  (1  2a )un  a 2 , n �1
�
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy
tìm giới hạn đó.
Nhận xét: không chỉ dãy số được cho bằng biểu thức quy nạp mà trong biểu
thức còn chứa cả tham số, là một thứ mà học sinh rất ngại khi va chạm vì trông
chúng “có vẻ” tổng quát.
Từ 2 ví dụ trên thấy rằng: nếu chỉ dựa vào kiến thức Sách giáo khoa thì
không thể nào giải quyết được.
Tuy nhiên sau khi áp dụng các định lí đã nêu vào việc tìm lời giải thì học
sinh thấy rằng những dạng bài tập như vậy cũng không phải là quá khó khăn,
các em vẫn có thể tự mình thực hiện được ở các bài tương tự.
2.3 Giải pháp của đề tài
Để hướng dẫn học sinh giải quyết những dạng bài tập như các dạng trên
tôi cùng với học sinh thực hiện qua các thao tác tư duy như sau:
Hoạt động 1: Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số:
Ví dụ 1. (Đề chọn đội tuyển HSG lớp 11 trường THPT Nông Cống 1).
u1  2018
�
�
Cho dãy số  un  được xác định bởi �
.
n 2  4n  3
u

u

un
1
, n �� , từ kết quả trên được vn1  vn
n  2n
2
u 2018
1
�  vn  là cấp số nhân có công bội q  và số hạng đầu v1  1 
3
3
2
2
2018 1
4036 n  2n
, n �� .
� vn 
. n1 � un 
.
n
3 2
3
2
* Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số:
Câu hỏi 3 : Hãy nhận định xem dãy số tìm được dần đến số nào?
Trả lời: Thay một số giá trị của n bằng 1, 10, 100, … nhận thấy dãy số tiến dần
về số 0.
Câu hỏi 4: Hãy sử dụng định lí kẹp để chỉ ra rằng dãy số đó dần đến 0?
Trả lời: Sử dụng đánh giá bằng khai triển nhị thức Niu-tơn:
n(n  1)(n  2)
n

� 2�
�
1 �
1 �
�
�
� n�
� n�
Vậy theo kết quả định lí kẹp ta được lim un  0 .
Nhận xét: Qua các hoạt động trên, ta thấy bằng cách sử dụng các kiến thức đã
được học như: cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội và đặc
biệt là sử dụng định lí kẹp để tìm được giới hạn của dãy số.
*Một số bài tập luyện tập
Bài 1. (Đề Kiểm tra đội tuyển THPT Hàm Rồng – lần 4)
u1  1
�
�
2  n  1 .un1
2n
Cho dãy số  un  xác định bởi �
. Tìm công
un 

2
�
n
 n2  n  1  1
�
3
thức số hạng tổng quát un theo n và tính lim  n .un  .

,

n
�
1
�n1
un
�
* Chứng minh dãy số (un ) đã cho là dãy đơn điệu (tăng hoặc giảm)
- Câu hỏi 1: Nhận xét xem dãy số (un ) là dãy tăng hay giảm?
Trả lời: Thay vài giá trị của n  1,2,3,... vào dãy số ta có
3
4
5
u2  , u3  , u4  ,... nhận xét trực quan thấy dãy số giảm.
2
3
4
- Câu hỏi 2: Hãy chứng minh một cách tổng quát dãy số là giảm với việc chứng
minh: với mọi n ta có: un  un1 .
Trả lời: - Xét hiệu :
1
(un2  2un  1)
(un  1) 2
un1  un  2   un 

 0 � un1  un , n ��* , hay
un
un
un

dụng định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn của dãy
7


số. Tuy nhiên đối với ví dụ này các em cũng có thể tìm và chứng minh bằng quy
n 1
, n ��* .
nạp công thức hiện của (un ) là un 
n
- Sau khi thực hiện ví dụ 1.1, giúp học sinh bước đầu hiểu được cách sử dụng
định lí này một cách trực tiếp, tôi hướng dẫn học sinh một cách tiếp cận gián
tiếp qua ví dụ sau :
Ví dụ 2.1: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Hà Trung – Bỉm Sơn lần 2).
u1  1
�
�
Cho dãy số (un ) xác định như sau: �
.
un2
u

u

, n ��*
�n1
n
2018
�
�u u
u �

u
1 �
  ...  n  2018 � 
1
� 2018 �
�.
u2 u3
un1
�u1 un1 �
� un1 �
Từ giả thiết dễ thấy un1  un �1, n �N * hay dãy (un ) là dãy tăng.
Giả sử dãy (un ) bị chặn trên thì nó sẽ có giới hạn hữu hạn là a, suy ra:
�
un2 �
a2
a  lim un1  lim �
un 
� a  0 , vô lí vì un �1, n ��* .
� a 
2018
� 2018 �
Vậy dãy (un ) không bị chặn trên, hay lim un1  �, do đó:
�

�u u
� 1 �
u �
lim � 1  2  ...  n � 2018 �
1
� 2018 .

n
ui
Ta lập dãy số (Sn) với Sn  �
. Tìm limSn .
i 1 ui 1  1
Kết quả: limSn = 2019.
8


* Một số bài tập luyện tập :
Bài 3. Cho dãy số (un ) được xác định như sau:
u1  1
�
un1
�
u2  2
. Đặt a  lim
. Tính a.
�
un
�
un 2  un  2un 1 , n ��*
�
Bài 4. Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) được xác định bởi:
�x1  x2  1
�
�
2 2
2
*.


u

,

n
�
�
*
�n1
n
2n
�
1
a/ Chứng minh rằng: un1  un  n1 , n ��*
2
b/ Từ đó suy ra dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Hoạt động 3:
Ví dụ 3: (Đề thi Olympic 30/4)
u1  b
�
Cho dãy số (un ) xác định bởi : �
.
un 1  un2  (1  2a)un  a 2 , n �1
�
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy
tìm giới hạn đó.
* Chứng minh dãy số (un ) là dãy tăng.
Câu hỏi 1 : Em có thể nhận xét xem dãy số đã cho là tăng hay giảm ?
Trả lời:

ngược lại có đúng không?
Trả lời: (hướng dẫn cho học sinh chứng minh bằng phép quy nạp toán học)
- Ngược lại, giả sử : a  1 �b �a thì bằng quy nạp ta chứng minh được
un �a, n �1 .
Vậy dãy (un ) có giới hạn khi và chỉ khi a  1 �b �a .
Khi đó lim un  a .
Nhận xét: Trong ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lí về điều kiện để dãy số
tăng hoặc giảm có giới hạn theo kiểu “điều kiện cần và đủ”. Các em cần lưu ý là
phải làm đầy đủ cả hai điều kiện. Đồng thời trong ví dụ trên chúng ta cũng đã sử
dụng phương pháp chứng minh bằng quy nạp Toán học, đây là một phương pháp
thường dùng khi làm những bài tập về dãy số.
* Một số bài tập luyện tập:
u1  a
�
�
2un  3
Bài 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
.
u

u

ln
,

n
�
1
n


Số học
sinh

Tỉ lệ học sinh hiểu bài, hứng thú học và vận dụng được
Trước khi thực hiện đề tài
Sau khi thực hiện đề tài
10


11B1
11B2

43
42

20%
15%

75%
70%

- Đặc biệt, trong năm học 2018-2019 tôi dạy bồi dưỡng đội tuyển HSG
lớp 11 của trường, mới đầu khi tiếp xúc với những bài toán dạng này các em rất
ngại, nhưng sau khi áp dụng bài dạy này trong thời gian 2 tiết và kiểm tra lại bài
tập của các em vào buổi học tiếp theo tôi thấy cả 5 em đều thực hiện đầy đủ và
chính xác các bài tập được giao và các đề ôn tập tiếp theo nếu có bài dạng này
các em đều giải quyết được. Kết quả đáng mừng hơn nữa là trong đề thi chính
thức cả 5 em đều làm chính xác câu III.2 (kết quả chung: 3 giải Nhì và 2 giải
Ba).
- Đối với cá nhân tôi, sau khi tìm tòi, soạn bài và thực hiện bài học cùng

của các thầy giáo, cô giáo để những kinh nghiệm trên đây của tôi hoàn thiện
hơn. Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi
viết, không sao chép nội dung của người
khác.

NGUYỄN TRUNG KIÊN

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục và Đào
tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
2. Sách Bài tập Đại số và Giải tích Nâng cao lớp 11, Bộ Giáo dục và Đào
tạo, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
12


3. Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30 – 4, Võ Giang Giai
– Nguyễn Ngọc Thu. NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2006.
4. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.
5. Các đề thi Học sinh giỏi các tỉnh môn Toán.
6. Các đề thi chọn đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.
7. Các đề thi Giao lưu đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.

13