MỤC LỤC
Trang

1. MỞ ĐẦU....................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu...............................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...........................................4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................5
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề....................................................................................................5
2.3.1. Nội dung hướng dẫn học sinh...............................................................5
2.3.2. Bài tập củng cố....................................................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường............................................................14
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ......................................................................16
3.1. Kết luận..................................................................................................16
3.2. Kiến nghị................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................17

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tính xác suất của một phép thử là một câu hỏi thường xuất hiện trong đề
thi THPT Quốc Gia cũng như thi chọn Học sinh giỏi trong những năm gần đây.
Trong chương trình Toán THPT Xác Suất được đưa vào học ở lớp 11.
Kiến thức xác suất hoàn toán mới đối với học sinh, nhưng kiến thức xác suất bắt

1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Một số bài toán về xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11.
Hướng dẫn học sinh lớp 11 thực hiện giải bài toán xác suất bằng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng.
2


1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những đặc trưng từ
đó hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp giải.
Thực nghiệm sư phạm: Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử
dụng hai lớp 11 ở trường THPT Như Xuân. Đây là hai lớp tương đương nhau về
học lực môn toán và tất cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán. Trong
đó, lớp 11B4 là lớp chưa áp dụng sáng kiến (lớp đối chứng), lớp 11B3 là lớp áp
dụng sáng kiến (lớp thực nghiệm). Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từ
tháng 10/2018 đến tháng 12/2018.
Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Định nghĩa cổ điểm của xác suất: Giả sử A là biến cố liên quan đến một
phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
n  A
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là p  A 
n 

n  A

d [3]
2
2

4


2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Trong năm học 2018 – 2019, khi dạy cho học sinh lớp 11B4 nhưng chưa
áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã hướng dẫn học sinh phương pháp sử
dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải bài toán xác suất. Tuy nhiên, trong quá trình
cho học sinh làm bài, tôi phát hiện ra học sinh thường vướng mắc một số vấn đề
sau:
- Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy.
- Chưa nắm kỹ các điều kiện vận dụng phương pháp.
- Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải.
- Chưa được làm nhiều dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng.
Từ thực trạng trên, khi dạy cho học sinh lớp 11B3, tôi đã khắc phục bằng cách:
- Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể thông qua các
định lý và tính chất.
- Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các ví dụ được
chọn lọc cẩn thận, điển hình.
- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và
sau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa.
Sau đây là các biện pháp tiến hành cụ thể.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ
DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1. NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH
Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa trong mặt phẳng


 3,2  ,  3,3 ,  3,4  ,  4,1 ,  4,2  ,  4,3 ,  5,1 ,  5,2  ,  6,1 

n  B   21
p B 

n  B  21 7


n    36 12

c) C    1,1 ,  1,2  ,  2,1 ,  3,1 ,  2,2   1,3 

 4,1 ,  3,2  ,  2,3 ,  1,4  ,  4,2  ,  2,4  ,  3,3 

n  C   13
p C 

n  C  13

n    36

Cách 2:
Gọi x là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ nhất
x Σ�
�;1 x 6
Gọi y là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ hai
y Σ�
�;1 y 6
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm


n  C  13

n    36

Nhận xét : Với cách 1 người giải phải liệt kê từng kết quả của không gian
mẫu và kết quả thuận lợi của biến cố từ đó mới tính được xác suất. Với cách 2
việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên
mặt phẳng tọa độ, mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố tương ứng với mỗi điểm
nguyên thuộc miền nghiệm tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính
được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các
điểm A  2;0  , B  2;2  , C  4;2  , D  4;0  . Một con châu chấu nhảy trong hình
chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt
phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là cả hoành độ và tung độ đều
nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M  x; y  mà x  y  2 . [4]
Giải:
A: “Con châu chấu đáp xuống các điểm
M  x; y  mà x  y  2 ”
Gọi x là hoành độ điểm mà con châu
chấu đáp xuống x ��;  2 �x �4
Gọi y là tung độ điểm mà con châu
�;0 x 2
chấu đáp xuống y Σ�

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên M  x; y 
n     7.3  21
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền
nghiệm x  y  2
n  A  1  2  3  3  9

n  A  1  3  5  3  1  13
p  A 

n  A  13

n    81

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình vuông có 4 đỉnh tọa
độ M  4;  4  , N  4;  4  , P  4;4  , Q  4;4  , mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A
tương ứng với mỗi điểm thuộc miền nghiệm x 2  y 2 �4 ta có hình ảnh trực
quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M  0;10  ,
N  100;10  và P  100;0  . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A  x; y  ,  x, y ��
nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm
A  x; y  �S . Tính xác suất để x  y �90 . [4]

Giải:
B: “Điểm A  x; y  �S
thỏa mãn x  y �90 ”
Gọi x là hoành độ điểm A với
x Σ�
�;0 x 100
8


�;0 x 10
Gọi y là tung độ điểm A với y Σ�
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên A  x; y 
n     101.11  1111


Khi đó xác suất để số của A chọn nhỏ hơn số của B chọn là :
n  A  2036090 2065
p  A 


.
n    3981468 4038
Cách 2:
A: “Số bạn A chọn bé hơn số bạn B
chọn”
�;1 x 1972
Gọi x là số bạn A chọn x Σ�
�;1 y 2019
Gọi y là số bạn B chọn y Σ�

9


Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên M  x; y 
n     1972.2019  3981468
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền
nghiệm x  y  0
n  A  1  2  3  ...  1972  (2019  1972  1).1972  2036090
p  A 

n  A  2036090 2065


n    3981468 4038

.
n    4950 2475

Cách 2:
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với
một điểm M  x; y 
�;1 x 100; 1 y 100; x y 
 x, y Σ���

10


Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong
ABC và thuộc hai cạnh AB và BC trừ A và C.
n     1  2  3  ...  99  4950
Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong
AEF và thuộc hai cạnh AE trừ hai điểm A và E.
n  A   1  3  5  ...  67  1156
p  A 

n  A  1156 578


n    4950 2475

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong ABC và trên cạnh AB, BC. Mỗi kết
quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt
phẳng tọa độ trong AEF và trên cạnh AE, ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng
tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.

trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ O  0;0  M  60;0  , N  60;60 

11


và P  0;60  , mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm trên
mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình lục giác có tọa độ đỉnh O  0;0 
E  10;0  , F  60;50  , N  60;60  , K  50;60  và Q  0;10  để từ đó suy ra
n    , n  A  là các diện tích hình tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng
tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 8. Trên đoạn thẳng OA ta chọn ngẫu nhiên hai điểm B và C có đọ
dài tương ứng là OB  x; OC  y  y �x  . Tính xác suất sao cho độ dài của đoạn
BC bé hơn độ dài của đoạn OB
Giải:
A: “độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài
của đoạn OB”:
Giả sử đoạn OA có độ dài bằng l
Với mỗi cách chọn hai điểm B, C có độ dài
tương ứng OB  x; OC  y  y �x  sẽ cho ta
tương ứng một điểm M  x; y  trên mặt phẳng
Oxy
0 �x �l
�
�
0 �y �l suy ra miền biểu diễn điểm
Vì �
�x �y
�
M  x; y  là OEF
Để độ dài đoạn BC bé hơn độ dài đoạn OB thì y  x  x � y  2 x

� l
�y  2
�x   y  x   l  x
�
�
l
�
�x   l  y   y  x � �y  x  suy ra miền thuận lợi cho A là IKH
2
�
�
y

x

l

y

x




�
� l
x
�
� 2
S

ngẫu nhiên để đến nơi hẹn theo quy định mà không gặp nhau.
Bài 4. Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 1972, bạn B chọn ngẫu
nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để số bạn A chọn nhân 2 rồi
cộng với số bạn B chọn lớn hơn 2019.
Bài 5. Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2000 bạn B chọn ngẫu
nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để tổng bình phương số bạn
A chọn với số bạn B chọn lớn hơn 10000.
Bài 6. Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 2 thẻ.
Tính xác suất của biến cố A: “Tổng bình phương số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 90”:
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT
ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ
TRƯỜNG
Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm bản thân tôi tiến hành
thực nghiệm trên các lớp dạy học cụ thể. Quá trình thực nghiệm được tiến hành
tại lớp 11B3 và lớp đối chứng 11B4 hai lớp có trình độ tương đương nhau ở
trường THPT Như Xuân.
Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy như những giờ học bình thường.
Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình
giảng dạy của nhà trường. Việc thực nghiệm được thực hiện và sau đó tiến hành
kiểm tra đánh giá kết quả.
Kết quả kiểm tra:
Điểm 1
2
3 4
5 6
7 8
9 10 Số bài
Lớp
Lớp 11B3
0

Đối với bản thân, khi sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy hiệu
quả tiết dạy tốt hơn, tạo sự tự tin và hứng thú khi giảng bài. Giúp tôi truyền đạt
một cách cô đọng nhưng đầy đủ, chính xác và trọn vẹn nội dung cần giảng dạy
trong khoảng thời gian ngắn.
Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chuyên đánh giá tốt, thiết
thực và được đồng ý triển khai vận dụng cho những năm học tới trong toàn
trường nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán trong Nhà trường nói
riêng và địa phương nói chung.
Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm này còn là một tài liệu tham khảo hữu
ích cho giáo viên và học sinh 11 trong quá trình ôn thi, đặc biệt là ôn thi THPT
Quốc Gia và Học sinh giỏi. Nó đã hệ thống tương đối hoàn chỉnh nội dung
phương pháp tọa độ trong giải bài toán xác suât.
Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại hiệu quả tích cực và
thiết thực cho người học và người dạy. Đáp ứng đúng con đường đổi mới
phương pháp dạy và học, nâng cao hiệu quả giáo dục trong giai đoạn hiện nay.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
Qua việc nghiên cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi
rút ra một số bài học kinh nghiệm sau:
- Trong giảng dạy cần phải thường xuyên tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm để
đưa ra những giải pháp nâng cao hiệu quả dạy và học. Đặc biệt là những vấn đề
khó, dễ nhầm lẫn đối với học sinh.
- Nội dung giảng dạy của giáo viên cần được viết dưới dạng Sáng kiến
kinh nghiệm hoặc tập hợp thành tài liệu và cung cấp cho học sinh. Qua đó, phát
huy được khả năng tự học của học sinh.

15



1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Nguyễn Văn
Đoành – Trần Đức Huyên (2006). Hình Học 10 NXB Giáo Dục.
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường –
Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2013). Đại Số 10 NXB Giáo Dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Đào Ngọc Nam- Lê
Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2016). Đại Số và Giải Tích 11 NXB Giáo Dục.
4. Nguồn khác: Internet.

16