MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU.................................................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài...............................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................................................3
1.4. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...........................................................................4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.........................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..........................................4
2.3 Giải pháp của đề tài...........................................................................................................5
2.4. Hiệu quả của đề tài.........................................................................................................10
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...............................................................................................11
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................................12

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Nâng cao, để giảm tải, ở
phần giới hạn của dãy số, sách giáo khoa chỉ đưa vào Bài đọc thêm (trang 152
và trang 154) định lí kẹp về giới hạn của dãy số và định lí về điều kiện để một
dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn. Do chỉ được giới thiệu ở phần đọc
thêm nên kết quả của các định lí này đã không được sử dụng một cách xứng
đáng với tầm quan trọng của nó trong việc thực hành giải toán tìm giới hạn của
dãy số.
Ở các năm học trước, trong quá trình giảng dạy các học sinh khá, giỏi
khối lớp 11, tôi nhận thấy các em luôn có nhu cầu được tìm hiểu và giải những
bài toán về giới hạn của dãy số ở mức độ khó. Đặc biệt, trong 2 năm gần đây khi
Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh cho học sinh lớp 11
thì trong đề thi đã xuất hiện bài toán về dãy số ở mức độ 3 (mức độ Vận dụng)



- Kĩ năng vận dụng kiến thức về đánh giá các bất đẳng thức để chỉ ra tính
bị chặn của dãy số.
- Kĩ năng chứng minh bằng quy nạp toán học để chỉ ra một dãy số là tăng
hoặc giảm.
- Kĩ năng sử dụng các đánh giá làm trội để áp dụng định lí kẹp.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu một số dạng bài tập về dãy số như: tìm giới hạn
của dãy số, chứng minh dãy số có giới hạn, tìm điều kiện để dãy số có giới
hạn... dựa trên việc vận dụng định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy số tăng
hoặc giảm có giới hạn hữu hạn làm cơ sở khoa học.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Đại số và Giải tích nâng
cao của lớp 11 trung học phổ thông về dãy số và giới hạn của dãy số. Tuy
nhiên không phải mọi bài toán về dãy số mà phạm vi của nó là các bài toán có
thể đưa về việc chứng minh dãy số là đơn điệu và bị chặn để áp dụng được các
định lí trên.
Đối tượng áp dụng: học sinh các lớp 11B1, 11B2 và 5 học sinh đội tuyển
HSG môn Toán của trường THPT Hậu Lộc 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chủ yếu được sử dụng trong đề tài là:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: dựa trên các kiến
thức về dãy số, về định lí kẹp, định lí về điều kiện để dãy số có giới hạn hữu
hạn.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: trên cơ sở
tìm tòi trong các đề minh họa thi HSG tỉnh của các trường THPT gửi Sở
GD&ĐT, chọn lọc, xây dựng hệ thống những ví dụ cụ thể với cách giải cụ thể,
trực tiếp nhằm hướng dẫn cho học sinh từng bước làm được các bài tập về dãy
số nhờ việc sử dụng các định lí.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Trong các buổi học tôi cùng với

b. Nếu un ≥ 0, ∀n thì L ≥ 0 và lim un = L .
Định lí 2. Giả sử lim un = L, lim vn = M và c là một hằng số. Khi đó
lim ( un + vn ) = L + M , lim ( un − vn ) = L − M
lim ( un .vn ) = L.M , lim ( cun ) = cL
u
L
lim n = , (M ≠ 0)
vn M
1
Định lí 3: Nếu lim un = +∞ thì lim = 0 .
un
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế là trong Sách giáo khoa các ban ở phần kiến thức về dãy số cũng
chỉ đưa ra một số ví dụ đơn giản về tìm giới hạn của dãy số, mà chủ yếu là các
dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát. Tuy nhiên trong các đề thi học
sinh giỏi lớp 11 và trong ma trận đề học sinh giỏi lớp 11 do Sở GD&ĐT Thanh
Hóa công bố thì câu dãy số là câu ở mức độ 3 (mức Vận dụng), khá khó. Để làm
được câu hỏi này không thể chỉ dùng các kiến thức như đã trình bày trong các
bài học hoặc các ví dụ minh họa của Sách giáo khoa.
Sau đây là một số câu dãy số trong các đề thi HSG lớp 11 mà học sinh
thường gặp:
4


a. Về dạng bài toán tìm giới hạn của dãy số phải dùng định lí kẹp:
Câu 1.(Câu III.2 đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019).
u1 = 2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi: 
n
* .

.
2
2
un +1 = un + (1 − 2a)un + a , ∀n ≥ 1
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy
tìm giới hạn đó.
Nhận xét: không chỉ dãy số được cho bằng biểu thức quy nạp mà trong biểu
thức còn chứa cả tham số, là một thứ mà học sinh rất ngại khi va chạm vì trông
chúng “có vẻ” tổng quát.
Từ 2 ví dụ trên thấy rằng: nếu chỉ dựa vào kiến thức Sách giáo khoa thì
không thể nào giải quyết được.
Tuy nhiên sau khi áp dụng các định lí đã nêu vào việc tìm lời giải thì học
sinh thấy rằng những dạng bài tập như vậy cũng không phải là quá khó khăn,
các em vẫn có thể tự mình thực hiện được ở các bài tương tự.
2.3 Giải pháp của đề tài
Để hướng dẫn học sinh giải quyết những dạng bài tập như các dạng trên
tôi cùng với học sinh thực hiện qua các thao tác tư duy như sau:
Hoạt động 1: Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn dãy số:
Ví dụ 1. (Đề chọn đội tuyển HSG lớp 11 trường THPT Nông Cống 1).
u1 = 2018

Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
.
n 2 + 4n + 3
u
=
u
,
n
≥

n + 2n
2
u 2018
1
⇒ ( vn ) là cấp số nhân có công bội q = và số hạng đầu v1 = 1 =
3
3
2
2
2018 1
4036 n + 2n
, n∈¥∗.
⇒ vn =
. n−1 ⇒ un =
.
n
3 2
3
2
* Sử dụng định lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số:
Câu hỏi 3 : Hãy nhận định xem dãy số tìm được dần đến số nào?
Trả lời: Thay một số giá trị của n bằng 1, 10, 100, … nhận thấy dãy số tiến dần
về số 0.
Câu hỏi 4: Hãy sử dụng định lí kẹp để chỉ ra rằng dãy số đó dần đến 0?
Trả lời: Sử dụng đánh giá bằng khai triển nhị thức Niu-tơn:
n(n − 1)( n − 2)
n
n
0
1

Nhận xét: Qua các hoạt động trên, ta thấy bằng cách sử dụng các kiến thức đã
được học như: cấp số nhân, khai triển nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội và đặc
biệt là sử dụng định lí kẹp để tìm được giới hạn của dãy số.
*Một số bài tập luyện tập
Bài 1. (Đề Kiểm tra đội tuyển THPT Hàm Rồng – lần 4)
u1 = 1

2−n
Cho dãy số ( un ) xác định bởi u = 2 ( n + 1) .un+1 +
. Tìm công
n
2

n
( n2 + n + 1) + 1

3
thức số hạng tổng quát un theo n và tính lim ( n .un ) .
Đặt vn =

2

Bài 2. (Đề giao lưu đội tuyển HSG huyện Ngọc Lặc – lần 2)
u1 = 6
Cho dãy số ( un ) được xác định bởi 
.
un+1 = 2un − 3n + 3, n ≥ 1
u 
Tìm: lim  nn ÷
2 

2
3
4
- Câu hỏi 2: Hãy chứng minh một cách tổng quát dãy số là giảm với việc chứng
minh: với mọi n ta có: un > un+1 .
Trả lời: - Xét hiệu :
1
−(un2 − 2un + 1)
(un − 1) 2
un+1 − un = 2 − − un =
=−
< 0 ⇒ un +1 < un , ∀n ∈ ¥ * , hay
un
un
un
dãy (un ) là dãy giảm.
* Chứng minh dãy số (un ) bị chặn dưới.
Câu hỏi 3 : Một cách trực quan em hãy nhận xét xem các số hạng của dãy số
(un ) luôn lớn hơn số thực nào?
Trả lời : Bằng cách thay một số giá trị cụ thể của n nhận thấy các số hạng của
dãy số (un ) đều lớn hơn 1.
* Ta sẽ chứng minh un > 1, ∀n ∈ ¥ * bằng phương pháp quy nạp toán học.
- Với n = 1 , ta có u1 = 2 > 1 luôn đúng.
- Giả sử uk > 1 (với k ≥ 1 ), ta sẽ chứng minh uk +1 > 1 .
1
1
Thật vậy theo giả thiết quy nạp ta có : uk +1 = 2 − > 2 − = 1
uk
1
Vậy un > 1, ∀n ∈ N * tức là dãy (un ) bị chặn dưới.


Cho dãy số (un ) xác định như sau: 
.
un2
u
=
u
+
, ∀n ∈ ¥ *
 n+1
n
2018

u u
u 
Tìm lim  1 + 2 + ... + n ÷.
un+1 
 u2 u3
Giải
Ta có:

1
un
un2
2018(un+1 − un )
1 
=
=
= 2018  −
÷

⇒ a = 0 , vô lí vì un ≥ 1, ∀n ∈ ¥ * .
÷= a +
2018 
2018

Vậy dãy (un ) không bị chặn trên, hay lim un+1 = +∞ , do đó:
⇒

u u

u 
1 
lim  1 + 2 + ... + n ÷ = 2018 1 −
÷ = 2018 .
u
u
u
u
3
n +1 
n +1 
 2

Nhận xét: ở bài này ta đã vận dụng linh hoạt định lí. Nếu máy móc chứng minh
dãy số bị chặn trên thì ta sẽ không thể đi đến kết quả. Kiểu làm này sẽ còn được
áp dụng ở ví dụ tiếp theo.
- Gọi học sinh lên bảng làm ví dụ tiếp theo tương tự như ví dụ trên.
Ví dụ 2.2: (Đề Giao lưu đội tuyển HSG lớp 11 Như Thanh – Nông Cống)
u1 = 2


u2 = 2
un
u = u + 2u , n ∈ ¥ *
n
n +1
 n+2
Bài 4. Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) được xác định bởi:
 x1 = x2 = 1


2 2
2π
*.
x
=
x
+
sin
x
,
∀
n
∈
¥
n
+
2
n
+
1

u1 = b
Cho dãy số (un ) xác định bởi : 
.
2
2
un +1 = un + (1 − 2a)un + a , ∀n ≥ 1
Với các giá trị nào của a và b thì dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn, hãy
tìm giới hạn đó.
* Chứng minh dãy số (un ) là dãy tăng.
Câu hỏi 1 : Em có thể nhận xét xem dãy số đã cho là tăng hay giảm ?
Trả lời:
2
Nhận thấy: un +1 = (un − a ) + un ≥ un , ∀n ≥ 1 ⇒ (un ) là dãy tăng.
* Tìm điều kiện của tham số để dãy số có giới hạn.
Câu hỏi 2: Em có thể nhận xét gì nếu dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn?
Trả lời:
- Giả sử lim un = k ,
2
khi đó qua giới hạn hai vế đẳng thức un +1 = (un − a) + un ≥ un ,
2
2
2
ta có : k = k + (1 − 2a )k + a ⇔ k = (k − a) + k ⇔ k = a .
Hay nếu dãy số đã cho có giới hạn thì giới hạn đó bằng a (là tham số ban đầu).
Câu hỏi 3: Khi đó hãy tìm mối quan hệ giữa hai tham số a và b ?
Giáo viên hướng dẫn:
Vì dãy (un ) là dãy tăng và có giới hạn bằng a nên un ≤ a, ∀n ≥ 1
⇒ un2 + (1 − 2a )un + a 2 = un +1 ≤ a, ∀n ≥ 1
⇔ (un − a ) 2 + (un − a ) ≤ 0, ∀n ≥ 1
⇔ −1 ≤ un − a ≤ 0, ∀n ≥ 1

u
+
ln
,
∀
n
≥
1
n
+
1
n

un − 1

Tuỳ theo a hãy xét tính có giới hạn của dãy số (un ) .
3
2
Bài 7. Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1 = a , xn+1 = 3xn − 7 xn + 5 xn . Tìm tất cả
các giá trị a để dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn.
Hoạt động 4: Củng cố bài học.
- Giáo viên: Qua bài học hôm nay các em đã nắm được:
+ Về lý thuyết: Nhớ được các định nghĩa về dãy số, các định lí về giới hạn của
dãy số.
+ Về thực hành: Vận dụng kết quả của định lí kẹp và định lí về điều kiện để dãy
số tăng hoặc giảm có giới hạn để:
- Tìm được giới hạn của một dãy số thông qua đánh giá kẹp và tìm giới
hạn của dãy số trung gian.
- Chứng minh được một dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó;
- Tìm được điều kiện của tham số để một dãy số có giới hạn;

ngại, nhưng sau khi áp dụng bài dạy này trong thời gian 2 tiết và kiểm tra lại bài
tập của các em vào buổi học tiếp theo tôi thấy cả 5 em đều thực hiện đầy đủ và
chính xác các bài tập được giao và các đề ôn tập tiếp theo nếu có bài dạng này
các em đều giải quyết được. Kết quả đáng mừng hơn nữa là trong đề thi chính
thức cả 5 em đều làm chính xác câu III.2 (kết quả chung: 3 giải Nhì và 2 giải
Ba).
- Đối với cá nhân tôi, sau khi tìm tòi, soạn bài và thực hiện bài học cùng
với học sinh tôi thấy mình đã đạt được một số điểm tốt trong tư duy và trong
trình bày cũng như tăng thêm kĩ năng soạn bài, dạy học theo hướng lấy học sinh
làm trung tâm. Bên cạnh đó còn giúp tôi có thêm kinh nghiệm, kỹ năng khi giải
các bài tập về dãy số.
- Đối với đồng nghiệp, sau khi dự giờ tiết dạy và nghiên cứu đề tài của tôi
đã có những nhận xét về nội dung của đề tài cũng như phương pháp dạy học chủ
động, đồng thời cũng có đồng nghiệp áp dụng phương pháp của đề tài vào bài
dạy của mình và đạt kết quả khả quan.

3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận: Như đã đặt vấn đề, đối tượng học sinh ở đây là các học sinh
khá và giỏi nên mức độ của các bài tập là tương đối nâng cao, một số là các bài
được chọn lọc từ các đề thi học sinh giỏi. Mặc dù vậy bằng thực tế giảng dạy đã
kiểm chứng tôi thấy học sinh khá hứng thú và có thể tiếp thu tốt các bài tập này,
qua đó góp phần phát triển tư duy Toán của học sinh.
Với khối lượng kiến thức là vừa phải tôi nghĩ rằng định lí kẹp và định lí
về điều kiện để dãy số tăng hoặc giảm có giới hạn hữu hạn đã được sử dụng một
11


cách có hiệu quả, bên cạnh đó còn giúp học sinh vừa ôn tập vừa nắm bắt thêm
các kiến thức như chứng minh bằng quy nạp Toán học, cấp số nhân, khai triển
nhị thức Niu-tơn, đánh giá làm trội...

5. Các đề thi Học sinh giỏi các tỉnh môn Toán.
6. Các đề thi chọn đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.
7. Các đề thi Giao lưu đội tuyển HSG các trường THPT trong tỉnh.

13