SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD & ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 VẬN DỤNG
CÔNG THỨC NGHIỆM VÀ CÔNG THỨC NGHIỆM THU
GỌN CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀO GIẢI CÁC
DẠNG BÀI TẬP

Người thực hiện: Vũ Thị Tuyên
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Trường THCS Lê Thánh Tông Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017


MỤC LỤC
Trang
1.PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài ................ ... ......................................................................... 1
1.2. Mục đích nghiên cứu............... ......................................................................... 1
1.3.Đối tượng nghiên cứu......................................................................................... 2
1.4.Phương pháp nghiên cứu ..................................................................... ............. 2
2.NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm........................................................... 2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................... 3
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm
Giải phương trình bậc hai .. ............................................................................... 4

các kiến thức trong sách giáo khoa, nhưng khi áp dụng vào bài tập thì còn lúng
túng, nhất là các bài toán nâng cao thì tiếp cận chưa tốt.
Bản thân tôi từ khi bắt đầu đi dạy, tôi tình cờ đọc được một đề thi vào trường
chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá cách đây nhiều năm, tôi rất tâm đắc với một bài thi
có cách giải độc đáo bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc
hai. Và trong quá trình giảng dạy, tôi đã thấy nhiều bài tập khi áp dụng công thức
nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai thì cho lời giải
hay, ngắn gọn. Vì thế, sau mỗi năm học, tôi lại tích luỹ thêm được nhiều bài tập
hay về phần này, và mỗi khi dạy đến phần này tôi đưa ra các bài tập đó thì nhiều
em học sinh đã vô cùng ngạc nhiên vì lại có những cách giải hay, lý thú như vậy.
Vì những lý do trên, năm học này tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm
để cùng trao đổi với các bạn đồng nghiệp về đề tài: " Kinh nghiệm hướng dẫn
học sinh lớp 9 vận dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai vào giải các dạng bài tập". Tôi cũng hy vọng đây là một tài
liệu giúp ích cho các em học sinh lớp 9 trong khi các em ôn thi vào lớp 10 trung
học phổ thông, thi vào các trường chuyên và thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 vận
dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
vào giải các dạng bài tập " tôi mong muốn giúp các em học sinh lớp 9 nắm vững
công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai. Các em
biết vận dụng kiến thức vào giải bài tập, nắm được hệ thống các dạng bài tập. Từ
đó giúp học sinh lớp 9 giải quyết được các bài thi trong các đề thi vào lớp 10
THPT, thi vào lớp 10 chuyên và thi học sinh giỏi. Cũng qua phần này, tôi muốn
các em thấy được đằng sau những công thức trong sách giáo khoa tưởng chừng


như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, bổ ích và lý thú. Từ đó khơi
dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

- Nếu Δ ' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
-b'+Δ'
-b'- Δ'
x =
;x =
;
1
2
a
a
3


b'
- Nếu ∆ ' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x 2 = - ;
a
- Nếu ∆ ' < 0 thì phương trình vô nghiệm.
(Sách giáo khoa toán 9, tập 2, trang 48)
Tiếp theo tôi đưa ra hệ thống kiến thức theo sơ đồ sau:
Công thức nghiệm, công
thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai

Giải
phương
trình bậc
hai

Chứng
minh về số

5+ 17
5- 7
; x2 =
a, Δ= 25-8=17 . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =
4
4
Δ'=
4-4=
0
b,
. Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -2
c, Δ =1-40= -39 < 0. Phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Giải phương trình: ( 3x − 1) ( x + 2 ) = 20
Hướng dẫn giải:

( 3x − 1) ( x + 2 ) = 20

⇔ 3x 2 + 6 x − x − 2 = 20
⇔ 3x 2 + 5 x − 22 = 0

Δ = 52 - 4.3.(-22) = 289
Vì ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
4


-5+ 289
=2
2.3
-5- 289 -11
x2 =

(

)

(

)

Vì ∆ ' > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =

(

1+ 3+ 1- 3

)

2

=

4

(

1+ 3- 1- 3

)

2

Ở dạng này, tôi chỉ đưa ra các bài tập giải phương trình bậc hai đơn giản,
mục đích muốn giúp học sinh nắm vững công thức nghiệm, công thức nghiệm thu
gọn của phương trình bậc hai. Các phương trình phức tạp thì không đề cập đến
trong phần này mà sẽ giới thiệu trong chuyên đề phương trình quy về phương trình
bậc hai.
Dạng 2: Chứng minh về số nghiệm của phương trình bậc hai.
Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi vào lớp 10 của nhiều tỉnh, thành
trong cả nước. Ta thường gặp dạng bài chứng minh phương trình bậc hai có
nghiệm, có hai nghiệm phân biệt hoặc vô nghiệm. Ta xét một số bài tập sau:
5


Bài 1: Cho phương trình: x2 + (m - 1)x + m2 – 2m + 5 = 0 (m là tham số)
Chứng minh rằng phương trình trên vô nghiệm với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có:
2
Δ = ( m-1) -4 m 2 -2m +5

(

)

= m2 -2m +1-4m 2 +8m -20
= -3m2 + 6m -19
2
= -3 ( m-1) -16
Vì -3(m-1)2 ≤ 0 với mọi giá trị của m nên -3(m - 1)2 – 16 < 0 với mọi giá trị của m
⇒ Δ < 0 với mọi giá trị của m
Vậy phương trình vô nghiệm với mọi giá trị của m.


)

2

= m -6m +9 +4

(

= m-3

)

2

+4

Vì ( m-3) 2 ≥ 0, ∀m nên Δ ≥ 4> 0, ∀m . Do đó phương trình luôn có hai nghiệm
phân biệt với mọi giá trị của m.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt ta chứng minh ∆ > 0
hoặc ∆ ' > 0 .
Bài 3: Cho phương trình: x 2 + 2(1 − m)x − 3 + m = 0 , m là tham số
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm học 2015 - 2016)
Hướng dẫn giải:
2
Ta có: ∆ ’ = (1 – m) – 1(-3 + m)
= m2 – 2m + 1 + 3 – m
= m2 – 3m + 4

- Nếu m < 0 thì m = -m . Do đó Δ'= -m + m = 0 nên phương trình có nghiệm kép.
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.
Nhận xét: Qua bài tập này, tôi muốn khắc sâu kiến thức cho học sinh: Muốn
chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0 .
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Hướng dẫn giải:
Biến đổi phương trình về dạng: 3x2 – 2(a + b + c)x + (ab + ac + bc) = 0.
Phương trình trên là phương trình bậc hai có:
Δ'= ( a + b+c ) 2 -3.( ab +ac + bc )
= a 2 + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc-3ab-3ac-3bc
= a 2 + b2 +c2 -ab-ac -bc
1
= . ( a -b ) 2 + ( b-c ) 2 + ( c-a ) 2 
2 

Với mọi a, b, c ta có: ( a-b ) 2 ≥ 0; ( b-c ) 2 ≥ 0; ( c-a ) 2 ≥ 0 nên suy ra ∆ ' ≥ 0 .
Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a, b, c.
Nhận xét: Khi đưa ra bài tập này, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh thấy được:
Phương trình ban đầu không phải là phương trình bậc hai nhưng sau khi biến đổi ta
đưa về được phương trình bậc hai. Khi đó ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn
của phương trình bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của k.
Hướng dẫn giải:
+ Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = 0 ⇔ x = 1
+ Nếu k ≠ 0, phương trình biến đổi về dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - 2 = 0 (*)
Δ' = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k
= k2 - 2k + 1 = (k - 1)2
Vì (k - 1)2 > 0 với mọi giá trị của k nên ∆ ' > 0 với mọi giá trị của k, do đó


 a2

  a2

-ac + c2 ÷
 4
÷  4
÷

 

2
2
a
a
=  -b ÷ +  -c ÷
2 
2 
2
2
a
a
Vì  -b ÷ ≥ 0 và  -c ÷ ≥ 0 nên ∆ ' ≥ 0 với mọi giá trị của a, b, c; suy ra phương
2 
2 

=

-ab + b2 ÷+ 



- Cách 1: Chứng minh phương trình có Δ > 0 hoặc Δ'> 0
- Cách 2: Chứng minh phương trình có a và c trái dấu.
Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây
có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0
(1)
2
bx + 2cx + a = 0
(2)
2
cx + 2ax + b = 0
(3)
Hướng dẫn giải:
Vì các phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên a ≠ 0;b ≠ 0;c ≠ 0. Ta có:
Δ' = b2 -ac; Δ' = c 2 -ab; Δ ' = a 2 -bc nên:
1

2

3

Δ' +Δ' + Δ' = a 2 +b2 +c2 -ab-ac-bc
1 2 3
1
= a 2 -2ab+b2 +b2 -2bc+c2 +c2 -2ca+a 2
2
1
= ( a-b ) 2 + ( b-c ) 2 + ( c-a ) 2 

trước khi đưa ra hệ thống bài tập:
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
- Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 hoặc ∆ ' ≥ 0
- Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 hoặc ∆ ' = 0
- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 hoặc ∆ ' > 0
- Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 hoặc ∆ ' < 0
Khi đưa ra hệ thống bài tập phần này, tôi thường căn cứ vào trình độ của học
sinh để lựa chọn các bài tập phù hợp. Nếu ôn thi vào lớp 10 trung học phổ thông
thì chỉ đưa ra những bài vừa phải, còn khi ôn thi học sinh giỏi thì đưa ra những bài
phức tạp hơn. Sau đây là một số bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = - 2
9


Hướng dẫn giải:
Phương trình có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 ⇔ 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 ⇔ m = - 20
Nhận xét:
Qua bài này tôi chốt lại cách giải cho học sinh: Muốn tìm giá trị của tham số
để phương trình có nghiệm x0 ta thay x = x0 vào phương trình, từ đó suy ra giá trị
của tham số cần tìm.
Bài 2:Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0 ⇔ (m + 1)2 - m2 > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m >

-1
2

) 2m -22 .
Phương trình vô nghiệm ⇔ 2m2 − 2 < 0 ⇔ m2 < 1⇔ 0 ≤ m
Nghiệm kép của phương trình là: x =

m+2
m

- Với m = 1 thì nghiệm kép là: x = 3
- Với m = 4 thì nghiệm kép là: x =

3
2

Nhận xét:
Khi đưa ra bài 6, tôi muốn nhấn mạnh cho học sinh nhớ rằng, phương trình
a ≠ 0
a ≠ 0
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi 
hoặc 
Δ=0
Δ'=0
Tương tự, cần chốt lại cho học sinh: phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai
a ≠ 0
a ≠ 0
nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
hoặc 
Δ>0
Δ' > 0
Qua bài 5 và bài 6 tôi khắc sâu kiến thức cho học sinh: Nếu phương trình
2
ax + bx + c = 0 có hệ số a có chứa tham số và có thể bằng 0 thì tuỳ theo yêu cầu
của bài toán ta cần xét các trường hợp xảy ra (như bài 5) hay đặt điều kiện a ≠ 0

biểu thức thì áp dụng công thức nghiệm hay công thức nghiệm thu gọn ta tính được
nghiệm của phương trình ở dạng đơn giản, không chứa căn. Khi đó ta có thể có lời
giải đẹp cho những bài toán tìm giá trị của tham số để hai nghiệm cuả phương trình
thoả mãn điều kiện cho trước.
- Với những bài toán mà hai nghiệm x1 và x2 có vai trò không như nhau thì
khi giải theo cách này phải xét hai trường hợp xảy ra của x1 và x2.
- Bài toán trên ta còn giải theo cách quen thuộc là áp dụng hệ thức Vi-ét mà
tôi xin không đề cập đến trong bài viết này.
Bài 8: Cho phương trình: x4 + 2x2 + 2ax + (a + 1)2 = 0 (a là tham số).
Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm x0 sao cho x0 đạt giá trị lớn
nhất.
Hướng dẫn giải:
Giả sử phương trình có nghiệm là x0. Ta có:
x 4 + 2 x 2 + 2ax + ( a +1) 2 = 0
0
0
0
⇔ x04 + 2 x02 + 2ax0 + a 2 + 2a +1 = 0

(

) (

)

⇔ a 2 + 2 x + 1 a + x 4 + 2 x 2 +1 = 0 (*)
0

0


)

Vì 0 ≤ x0 ≤1 nên giá trị lớn nhất của x0 là 1 xảy ra tại a = - (x0 + 1) = -2
Nhận xét:
Từ cách giải trên ta còn tìm được giá trị nhỏ nhất của x0 là 0 xảy ra tại a = -1.

12


Trong bài 8, phương trình đã cho là phương trình bậc bốn với ẩn x. Với cách
giải trên ta đã đổi vai trò ẩn và tham số, đưa phương trình đã cho về phương trình
bậc hai với ẩn a, coi x0 như tham số. Từ điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình
bậc hai ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x 0. Phương pháp giải như
trên gọi là hoán đổi vai trò ẩn và tham số. Qua bài tập này, tôi lưu ý cho học sinh
khi gặp những phương trình mà ẩn không phải là bậc hai nhưng tham số có bậc
hai thì ta nghĩ đến cách giải hoán đổi vai trò của ẩn và tham số tương tự như cách
giải trên.
Dạng 4:Ứng dụng của công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào giải
các bài toán khác.
Ứng dụng 1: Ứng dụng vào giải phương trình nghiệm nguyên
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)
Phân tích, tìm hướng giải: Ta thấy phương trình trên các ẩn x và y đều có
bậc cao nhất là 2. Do đó ta có thể đưa phương trình về phương trình bậc hai với
một ẩn, coi ẩn còn lại như tham số. Khi đó từ điều kiện có nghiệm của phương
trình bậc hai nếu ta giới hạn được khoảng giá trị của một ẩn thì sẽ tìm được các
giá trị nguyên và suy ra được các nghiệm nguyên của phương trình.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: 3y2 + 2(3x - 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
2

8 ± 88
- Nếu x = -2 thì ∆ ' = 88 . Khi đó phương trình (1) có nghiệm y =
không là
3

số nguyên nên loại.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên (x; y) là: (0; 0); (1; 8); (-1; 10)
Nhận xét:
- Nếu ta đưa phương trình trên về phương trình bậc hai với ẩn x và tính ∆ '
theo y thì lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Do vậy khi gặp dạng bài này tôi
thường lưu ý cho học sinh phải xem nên đưa về phương trình bậc hai với ẩn nào để
lời giải là ngắn gọn nhất.
13


- Với một số phương trình thì sau khi tính ∆ hoặc ∆ ' ta phải kết hợp với một
vài kiến thức về số học mới tính được nghiệm. Ta xét bài tập sau:
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho viết dưới dạng: y2 + 2(2x + 1)y + 3x2 + 4x + 5 = 0 (2)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
∆ ' = ( 2 x +1) 2 − 3x2 + 4 x + 5 = 4 x 2 + 4 x +1− 3x 2 − 4 x − 5 = x 2 − 4

(

)

Phương trình (2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆ ' là số chính phương.
Đặt x2 – 4 = n2 ( với n ∈ N ) thì ta có:
x2 – 4 = n2 ⇔ (x – n).(x + n) = 4


 2a +1 + 2k

= −1
= 11
= −11
=1

( do

2a + 1 − 2k < 2a + 1 + 2 k ; k ∈ N )

k = 3

a =2
⇔ 
k =3


a = −3

Vậy a = 2 và a = - 3 là giá trị cần tìm.
14


Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: 5(x2 +
xy + y2 )= 7(x + 2y)
(Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Thanh Hoá năm học 2014 - 2015)
Hướng dẫn giải:
Đưa phương trình đã cho về dạng: 5y2 + (5x - 14)y + 5x2 – 7x = 0

 x + y = 81
Bài 1: Giải hệ phương trình: 
 x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0
(2)

Hướng dẫn giải:
Ta có: (2) ⇔ x 2 + ( y − 3) x + ( y − 2 ) 2 = 0
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn x, ta phải có:
7
∆ ≥ 0 ⇔ ( y − 3) 2 − 4 ( y − 2 ) 2 ≥ 0 ⇔ ( 1 − y ) ( 3 y − 7 ) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
(3)
3
Mặt khác ta lại có: (2) ⇔ y 2 + ( x − 4) y − 3x + 4 + x 2 = 0
Để phương trình trên có nghiệm đối với ẩn y, ta phải có:
2
4
∆ ≥ 0 ⇔ ( x − 4 ) − 4 x 2 − 3x + 4 ≥ 0 ⇔ x ( 4 − 3x ) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
(4)
3
Từ (3) và (4) ta có:

(

)

4
7 2 697 698
 4
, không thoả mãn phương trình (1).
x 4 + y 2 ≤  ÷ +  ÷ =

Từ phương trình (2) ta có: y2 + (x - 1)y + x2 = 0
Coi phương trình là phương trình bậc hai ẩn y thì ta có:
∆ = ( x − 1) 2 − 4 x 2 = − 3x 2 − 2 x + 1 = ( x + 1) ( 1− 3x )

4
3

(3)

Để phương trình (2) có nghiệm y thì ∆ ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( 1 − 3x ) ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤
1 2 1 1  4 2 11
Từ (3) và (4) suy ra: x + y ≤ +  ÷ = < 2 (không thoả mãn (1))
2
3 23
9
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
 x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy − xz − yz = 3

Bài 3: Giải hệ phương trình: 
 x 2 + y 2 + yz − xz − 2 xy = −1
Hướng dẫn giải:
( x + y ) 2 − z ( x + y ) + z 2 − 3 = 0

Ta có: (I) ⇔ 
( x − y ) 2 − z ( x − y ) + 1= 0

1
(4)
3


( x + y −1) = 0
(I ) ⇔ 
⇔
⇔
⇔
2
y = 0
x − y =1

( x − y −1) 2 = 0
( x − y ) − 2 ( x − y ) +1 = 0


- Với z = - 2 thay vào hệ phương trình (I) ta được:
 x + y +1 2 = 0
( x + y ) 2 + 2 ( x + y ) +1 = 0
)

(
(I ) ⇔ 

2

( x − y ) + 2 ( x − y ) +1 = 0

x + y =−1
x =−1
⇔
⇔
2

Ta có: x + y = xy – x + 2y ⇔ y − ( x + 2 ) y + x 2 + x = 0 (*)
Ta coi phương trình trên là phương bậc hai với ẩn y thì ta có:
∆ = ( x + 2 ) 2 − 4 x 2 + x = x 2 + 4 x + 4 − 4 x 2 − 4 x = − 3x 2 + 4

(

)

Để tồn tại x; y thoả mãn điều kiện x2 + y2 = xy – x + 2y thì phương (*) phải có
nghiệm y. Do đó ∆ ≥ 0 . Suy ra:
4
2
−2 3
2 3
x2 ≤ ⇔ x ≤
⇔
≤ x≤
3
3
3
3
−2 3
2 3
Vậy ta chứng minh được :
≤ x≤
3
3

125
Bài 2: Cho x ≥1; y ≥ 0 thoả mãn y 2 x − 1 + x − 1 = y. Chứng minh rằng: x3 ≤

∆ ' = ( yz ) 2 − 5 4 y 2 + 3z 2 − 60 = y 2 z 2 − 20 y 2 − 15 z 2 + 300 = 15 − y 2 20 − z 2

(

)

(

)(

)

17


Vì 5x2 + 2xyz + 4y2 + 3z2 = 60 và x, y, z nguyên dương nên 4 y 2 ≤ 60; 3z 2 ≤ 60 .
Do đó: y 2 ≤ 15; z 2 ≤ 20 ⇒15 − y 2 ≥ 0; 20 − z 2 ≥ 0 ⇒ ∆ ≥ 0 .
Vì ∆ ≥ 0 và x dương nên phương trình (*) có nghiệm:
x=

(

)(

− yz + 15 − y 2 20 − z 2

)

5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm 15 – y2 và 20 – z2 ta luôn có:

2
x≤
=
=
5
10
10
35 − ( y + z ) 2 + 10( y + z ) 60 − ( y + z − 5) 2
⇒ x+ y+ z≤
=
≤6
10
10
y + z −5 = 0
x =1


2
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 15 − y = 20 − z ⇔  y = 2
x + y + z = 6

z = 3

− yz +



Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 xảy ra khi x = 1; y = 2; z = 3.
Nhận xét: Khi đưa ra các bài tập trên tôi chốt lại ghi nhớ cho học sinh: Trong các

2 −1
18


− ( y + 1)
4+2 2
=−
=− 2
y −1
2+2 2
Vậy: Giá trị lớn nhất của y là 3+2 2 xảy ra khi x = - 2 ;
Giá trị nhỏ nhất của y là 3-2 2 xảy ra tại x = 2
Nhận xét:
Phương pháp giải như trên được gọi là phương pháp xác định miền giá trị
của hàm số. Ta cần nhấn mạnh cho học sinh rằng khi hàm số có thể đưa về dạng
của một phương trình bậc hai thì ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số bằng cách như trên.
Một số bài tập tương tự:
Bài 1 Cho phương trình x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0. Tìm m để phương trình có
nghiệm kép ? Hãy tính nghiệm kép đó.
Bài 2 Cho phương trình x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 3 Cho phương trình bậc 2: x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Với giá trị nào của m phương trình (1) có nghiệm kép.Tìm nghiệm kép đó
Bài 4 Cho phương trình : 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) ( m là tham số)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5 Cho phương trình x 2 +2(m+1)x-2m4 +m2 =0 (m là tham số)
Giá trị lớn nhất của y là 3+2 2 xảy ra tại x =

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau nhiều năm giảng day môn toán lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào lớp 10
THPT, thi vào các trường THPT chuyên, thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, sau
mỗi năm tôi lại tích luỹ thêm các bài tập lí thú về phần này. Từ một đơn vị kiến
thức trong sách giáo khoa, tôi đã giúp học sinh hệ thống được các dạng bài tập
thường gặp trong các đề thi, củng cố được phương pháp giải mỗi dạng bài tập. Mỗi
khi dạy cho học sinh ứng dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn vào
giải các dạng bài tập, đặc biệt là giới thiệu các bài tập ứng dụng vào giải phương
trình nghiệm nguyên, giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức hay phương
pháp hoán đổi vai trò ẩn và tham, số thì nhiều học sinh thấy bất ngờ với cách giải.
Các em thấy được những điều vô cùng thú vị ẩn sau những công thức đơn giản
trong sách giáo khoa mà các em được học. Đây chính là một trong những nội dung
tạo được hứng thú học tập, rèn luyện óc sáng tạo, trau dồi tư duy linh hoạt cho học
sinh. Từ đó thắp sáng niềm say mê học tập của học sinh.
Sau khi truyền đạt nội dung này tới học sinh, các học sinh tôi dạy đều ghi
nhớ kiến thức và phương pháp giải rất tốt. Mỗi khi gặp những bài tập dạng này các
em rất tự tin và vận dụng được các kiến thức mà mình đã được lĩnh hội.
Qua các năm giảng dạy, học sinh của tôi thi vào lớp 10 THPT điểm môn
toán tương đối cao, có nhiều em được điểm tuyệt đối môn toán. Nhiều em thi đậu
vào các trường chuyên Lam Sơn, khối chuyên của trường đại học khoa học tự
nhiên. có em khi tiếp tục học lên THPT đã đạt giải học sinh giỏi cấp quốc gia môn
toán. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, nhiều em đã đạt thành tích
cao: giải nhất, giải nhì cấp huyện, đạt giải nhì cấp tỉnh. Kết quả đó giúp tôi khẳng
định rằng sáng kiến kinh nghiệm của mình thực sự đem lại hiệu quả trong giảng
dạy.
3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn học sinh nắm
vững kiến thức thì mỗi thầy giáo, cô giáo phải thực sự tâm huyết với nghề, phải
kiên trì uốn nắn cho mỗi học sinh khi các em chưa nắm vững kiến thức. Khi củng

nghiệm.
Phổ biến các sáng kiến kinh nghiệm hay trong huyện, trong tỉnh cho giáo
viên để áp dụng vào quá trình giảng dạy ở các nhà trường.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày
tháng 05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Tác giả:

Vũ Thị Tuyên

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 9, tập 2.
2. Sách bài tập toán 9, tập 2.
3. Sách giá viên toán 9, tập 2.
4. Phương trình bậc hai và một số ứng dụng; tác giả Nguyễn Đức Tấn.
5. 500 bài toán chọn lọc lớp 9; tác giả Nguyễn Ngọc Đạm - Nguyễn Quang Hạnh –
Ngô Long Hậu.
6. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9 - đại số; tác giả Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ
Quang Thiều.
7. Ôn luyện thi vào lớp 10 môn toán; tác giả Tôn Thân – Mai Công Mãn - Nguyễn
Văn Ngọc – Hoàng Xuân Vinh.
8. Ôn tập thi vào lớp 10 môn toán; tác giả Phan Doãn Thoại(chủ biên) - Trịnh Thuý
Hằng - Lại Thanh Hương – Hoàng Xuân Vinh

A
Sở
C
toán
2. Tính giá trị của dãy số
Phòng
B
3. Rèn luyện tư duy cho học
Phòng
C

Năm học đánh
giá xếp loại
2003 – 2004
2007 - 2008
2011 - 2012

sinh thông qua dạng bài tập
4.

tính giá trị của một biểu thức
Kinh nghiệm hướng dẫn học

Phòng

B

2016 - 2017

sinh lớp 9 vận dụng công