I.Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
Trong dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát
triển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận
dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh
những phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất
cần thiết.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là dạng toán phổ
biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và là một chuyên đề hay gặp
trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông . Có nhiều phương pháp tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức
Côsi hay Bunhiacopsky... Đứng trước bài toán này học sinh phổ thông thường
lúng lúng về phương pháp giải, vì việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều
vào đặc thù bài toán. Việc dùng công cụ hình học tọa độ vào giải quyết các bài
toán đại số là một cách nhìn khá mới mẻ với học sinh THPT. Vì vậy để nâng cao
tính tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đã mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh
nghiệm: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển
tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hình học tọa độ, giúp các em
đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này. Đặc biệt cho học sinh
lớp 12 có thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia. Hy vọng đề tài sẽ là tài
liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi ở lớp 10,
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chính của đề tài là nhìn bài toán đại số theo quan điểm hình học.
Từ đó xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho
học sinh cách ứng dụng phương pháp hình học tọa độ vào tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong giải toán, qua đó phát huy tính tư duy sáng

b) Một số tính chất của vectơ
r r r r
r
r
1. a  b �a  b . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng hướng.

urr r r
a
2. .b �a . b . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

r
r
a và b cùng phương.

c) Các khái niệm và tính chất trong hệ trục tọa độ Oxy
uuuu
r r r
M
x
,
y
 
�
OM
 xi  y j
1.Tọa độ của điểm
 
r
r
r r


b1 b2

2


rr
r r
a1b1  a2b2
a.b
cos
a
;
b


r
r
+
a.b
a12  b12 a22  b22

 

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M  x0 ; y0  có vectơ
r
pháp tuyến là n  A, B  là : A  x  x0   B  y  y0   0 .
+ Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là:
Hoặc có dạng


+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại học
phần này.
+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt.
+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các
dạng toán chưa tốt.
Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy
chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không
đúng hoặc làm lung tung…và thường bị mất điểm ở những bài tập này.
Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và
bước đầu thu được kết quả tốt trong năm qua.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
3


Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này chỉ cần chọn hệ trục tọa
độ, hoặc các vectơ phù hợp bà toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Sau đây là
một số bài tập minh họa cho phương pháp này. Hi vọng thông qua các bài tập
này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  1  2cos 2 x  1  2sin 2 x trên
R.
Hãy chọn đáp án đúng ?
A.1+ 2 2

B. 2 2

C.2 3

D. 1+ 3

Hướng dẫn:

� cos2x=0 � x= 
(k �Z )
4 2
Vậy max f  x   2 2
Chọn đáp án B
1
1
Bài 2: Tìm max của f  x   1  cos 2 x 
5  2sin 2 x . Hãy chọn đáp án
2
2
đúng?
A.

22
2

B.3

C.

Hướng dẫn:
r
r � 1
5 1 2 �
u

1;1
;
v

5 1 2
1
5 1
1  cos 2 x 
 sin x � 2 1  cos 2 x   sin 2 x
2
4 2
2
4 2
1
1
22
� 1  cos 2 x 
5  2sin 2 x �
2
2
2
22
2

ۣ f ( x)

urr
22
khi và chỉ khi u,v cùng phương :
2

Vậy Max f(x) =

1


1

a
,
2
;
v
 a  1, 2 . Khi đó:
Đặt
2





2





r
2
u  1 a  2
r
2
v   a  1  2
r r
u  v  2;2 2


5


1 a  a 1� a  0
Chọn đáp án C
Bài 4: Với mọi x, y ��, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  4 cos 2 x.cos 2 y  sin 2  x  y   4sin 2 x.sin 2 y  sin 2  x  y 
Hãy chọn đáp án đúng?
A. Min A = 1

B. Min A = 2

C. Min A = 3

D. Min A = 4

Hướng dẫn:
r
r
Đặt a   2cos x.cos y;sin  x  y   ; b   2sin x.sin y;sin  x  y  
Suy ra:
r r
a  b   2  cos x.cos y  s inx.sin y  ; 2sin  x  y     2 cos  x  y  ; 2sin  x  y  
r
a  4 cos 2 x.cos 2 y  sin 2  x  y 
r
b  4sin 2 x.sin 2 y  sin 2  x  y 
r r
a  b  4 cos 2  x  y   4sin 2  x  y   2

�
b0
   � � 2
                         ( k , l ��)
�
�

�y   l
�
2 cos x.cos y sin  x  y 
�
� 2
�
�2sin x.sin y  sin  x  y 
�
� 
x   y  k
�
� 2

Chọn đáp án B
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C 
một đáp án đúng trong các đáp án sau:
6

 a  b  (1  ab)

 1  a  . 1  b 
2



1,

b
Đặt
 

 . Ta có

 

1
2

3
2

D.

1  ab
1  a 2 . 1  b2

Từ đó ta có:
2
r r
r r
� 1  ab
�
a  b


Khi đó:
r r
r r
r r
sin 2 u , v  2sin u , v .cos u, v  2.

 

2

 

 

 a  b  (1  ab)

ab
1  a 2 . 1  b2

.

1  ab
1  a 2 . 1  b2

 1  a  . 1  b 
2

2

r r

Chọn đáp án C
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D  a 2  b2  2a  12b  37  a 2  b 2  6a  6b  18
Hãy chọn một đáp án đúng?
A.3

B.4
C.5
D.6
r
u
r
r
Hướng dẫn: Xét 3 vectơ x   1  a;6  b  ; y   a  3; b  3  ; z   4;3  .
r u
r r
Suy ra x  y  z và:
r
x  a 2  b 2  2a  12b  37
u
r
y  a 2  b 2  6a  6b  18
r
z 5

7


r u
r r u


0
a 3 b3
�
�
a3 b3
�
r r
�
a 1
�
��
x0
��
�
b6
u
r r
�
�
�
y

0
�
�
a  3
�
�
�

Chọn đáp án C
2

2
�x, y  0
� 1� � 1�
Bài 7: Cho �
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  �x  � �y  �
� x� � y�
�x  y  1

Chọn một đáp án đúng?
A.

23
2

B.

27
2

C.8

Hướng dẫn:
r
r � 1
1�
Đặt u   1;1 ; v  �x  ; y  �. Ta có:
y�

1
1
1
� 1� � 1�
x   y  � 2. �x  � �y  � � 1 
� 2 P (1)
x
y
xy
� x� � y�
��
۳y 2 xy
Theo bất đẳng thức côsi ta có: x 
Khi đó  1 ۳

2P

Vậy Max P =

5۳ P

xy

1
2

xy

1
4

Hướng dẫn: Đặt
rr r r
u
Từ bất đăng thức .v �u . v ta có:



D. 3 3



x 1  y 2  y 1  x2 � x2  y 2 . 1  y 2  1  x2



� x 1  y2  y 1  x2



2

2
2
� x 2  y 2  �
2

x

y


r
b   x; y  = u
rr r r
Từ bất đăng thức a.b �a . b ta có: 3x  4 y �5 x 2  y 2     (2)
Từ (1) và (2) ta có: 3x  4 y �5 � 3x  4 y �5 .
r r
Dấu “=” xảy ra khi và chi khi x 2  y 2  1 và a, b cùng phương.
� 3
�x 2  y 2  1 �x 
�
� 5
� �x y
��
�3  4
�y  4
�
� 5
� 3
x
�
� 5
Vậy Max A= 5 � �
�y  4
� 5
Chọn đáp án A
a, b, c  0
�
cos 2 x sin 2 y
Bài 9: Cho �
. Tìm giá trị lớn nhất của S 

Ta có: asinx  b cos y  a a

sinx
cosy
b b
a
b

r
r �sinx cosy �
Đặt u  a a ; b b ; v  � ;
�
b �
� a
rr r r
Từ bất đăng thứ c u.v �u . v ta có:





10

[2]


asinx +
�+
b cos
y


sin 2 x cos 2 y
c2
1  cos 2 x 1  sin 2 y
c2
�

�3
�

�3
a
b
a  b3
a
b
a  b3
cos 2 x sin 2 y 1 1
c2
�

�   3
a
b
a b a  b3
1 1
c2


Vậy Max S=

F ( x)  a cos 2 x  b sin 2 x  c  a sin 2 x  b cos 2 x  c  m sin 2 x xác định với
mọi x. Tìm giá trị lớn nhất của F(x) trên R. Hãy chọn đáp án đúng ?
[3]
A.

max F(x)= 2a  2b  2c  m

B. max F(x)= 2a  2b  4c  m
D. max F(x)= 2a  2b  4c  m

C. max F(x)= 2a  2b  4c  m
Hướng dẫn:
r
r
Đặt u   1;1 ; v 





a cos 2 x  b sin 2 x  c ; a sin 2 x  b cos 2 x  c . Khi đó ta có:

r
u  2
r
v  a cos 2 x  b sin 2 x  c  a sin 2 x  b cos 2 x  c  a  b  2c
rr r r
u
Từ bất đăng thứ c .v �u . v ta có:


“=”
xảy
ra
khi
�  k
x 
�
cos2x=0
�

� 4 2
��
� x    k (k �Z )
�
sin2x=-1 �

4
�
x    k
�
4

và

chỉ

khi

Vậy max F(x) = 2a  2b  4c  m
Chọn đáp án D

4

Gọi M(2, 1-cosx); N(4;3). Do 0 �1  cos x �2 nên M thuộc đoạn M 0 M 1 với
M 0  2;0  , M 1  2;2  .

12


Gọi I là giao điểmcủa ON và M 0 M 1 � y= OM + MN.
+) y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng. Hay M trùng với I.
Vậy Min y = ON =

32  42 =5

+) y đạt giá trị lớn nhất khi M ở xa I nhất
�
M M0

Max y = OM 0

M0N

2

13

Chọn đáp án A
Bài 12: Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a  2b  2  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  a 2  b 2  6a  10b  34  a 2  b 2  10a  14b  74 . Hãy
chọn một đáp án đúng?

2x + y -11=0.
2 x  y  11  0 �x  4
�
��
� H  4,3
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ : �
�x  2 y  2  0
�y  3
�x A� 2 xH  x A
�x � 5
� �A
� A�
 5,1
Do H là trung điểm của AA�nên �
y

2
y

y
y

1
�
�
�A
H
A
�A


Hay dấu bằng của bài toán xảy ra khi và chỉ khi � 7
b
�
� 2
Chọn đáp án B
Bài 13: Cho a,b là hai số thỏa mãn điều kiện : a 2  b 2  16  8a  6b
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4a+3b. Hãy chọn đáp án
đúng?
A. Max A=14; Min A=3

B. Max A=36; Min A=13

C. Max A=40; Min A=10

D. Max A=35; Min A=9

Hướng dẫn:
Ta có: a 2  b 2  16  8a  6b �  a  4    b  3  9 . Từ đó suy ra nếu a,b là
hai số thỏa mãn điều kiện đề bài thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C) tâm
2

2

O1 (4,3), bán kính bằng 3.
a 2  b 2  16
Từ giả thiết ta có: 4a  3b 
. Mà a 2  b 2  OM 2 .
2

14

OM 1
2
6

� M 1M 1�

.O1O1�
 .3 
OO1
5
5
O1O1� OO1
OM 1� OM 1
OM 1
2
8

� OM 1�

.OO1�
 .4 
OO1
5
5
OO1� OO1
� 6
a
�
� 5
�6 8 �



B. Max A= 
C. Max A= 
A. Max A=



2

2  7 ; MinA 


2  1



2 7



2



; MinA   2  1
D. Max A=  5 2  7  ; MinA   5 2  7 
6

2  1 ; MinA 

16


Dựa vào đồ thị ta thấy M1N2 và M2N1 là các khoảng cách xa nhất và gần
nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn. Như vậy với mọi cặp điểm M,N trên hai
đường tròn ta có: M 2 N1 �MN �M 1 N 2 . Do OO1  2;   OO 2  6 2 nên ta có:



 

M 1 N 2  ON 2  OM 1  (OO2  O2 N 2 )  (OO1  O1M 1 )  6 2  6 



2 1  5 2  7

Tương tự M 2 N1  5 2  7 . Khi đó ta có:
5 2  7 �MN �5 2  7 � 5 2  7 �  a  c    b  d  �5 2  7
2





2



� 5 2  7 � a  c    b  d  � 5 2  7

 OO1  O1M 2   6 2  1  2  2

� OM 2�


OO2
OO2
2
6 2
OO2� OO2
M 2 M 2� OM 2
OM 2 .O2O2� 2  2

� M 2 M 2�


OO2
2
O2O2� OO2
2 2
2
Tương tự c  d  6  3 2
�a b 

17


�
2 2
ab

Chọn đáp án D
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: P  a 2  b 2  4a  8b  20
biết a �0, b �0,2a  b �2, a  3b �9 .
Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:
5
3
A. Min   P  ; max P = 65
B. Min   P  ; max P = 63
2
2
1
7
C. Min   P  ; max P = 61
D. Min   P  ; max P = 67
2
2
Hướng dẫn:

Ta có P  a 2  b 2  4a  8b  20 � P   a  2    b  4 
Gọi P0 là một giá trị của biểu thức P. Khi đó nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện
bài toán thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn tâm O1 (2,4) , bán kính r  P0 và
nằm trong tứ giác ABCD với A(1;0); B(0;2); C(0;3); D(9,0).
2

Ta có O1M 

 a  2

2


� 3
a
�
� 2
tức �
5
�
b
� 2
+ Max O1M  Max  O1 A; O1B; O1C ; O1D   O1D  65 � Max   P    65 khi và
Suy ra min O1M 



a9
�
chỉ khi M �D � �
b0
�
Chọn đáp án A
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: A  x 2   y  1  x 2   y  3
2

2

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x – y = 2
(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
� 2
a

a 2  2b 2
b 2  2c 2
c 2  2a 2
P


ab
bc
ca
Đáp án: Min P = 3 khi và chỉ kh a = b = c = 3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
+ Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏ
những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thu
được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài.
+ Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của
đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay.
Sau một năm học 2017-2018 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở
4 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4, trong đó có hai lớp thực nghiệm và hai
lớp đối chứng. Kết quả thực nghiệm được tiến hành một cách khách quan trên
các lớp thực nghiệm và đối chứng. Kết quả thu được như sau:
Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:

STT Lớp
1
12C2
2
12C3


Loại khá

Loại TB

Loại yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

13

37,1

12C5

35


43,9

Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp thực nghiệm

Lớp

SL

Loại giỏi

Loại khá

20

Loại TB

Loại yếu


SL
12C2

39

12C3

36

6
5


6

16,7

13,9

14

SL

%

2.4.2. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải phân tích sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến
thức liên quan đến bài dạy. Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến thức chuyên môn
vững vàng.
- Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm,những cách giải quyết vấn đề khác
nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và
xử lí tình huống.
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn
Đây là phương pháp không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được .
Và đặc biệt là áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đã
mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công .
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Thông qua quá trình làm sáng kiến tôi đã rút ra cho mình những bài học
kinh nghiệm như sau:
1.Đối với các bài toán đòi hỏi sự tư duy như các dạng toán ở trên thì đôi

kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn,đồng thời giúp đỡ tôi tiến bộ và
thành công trong giảng dạy. Mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN
hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói
riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan đây là SKSN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người thực hiện

Lê Thị Phượng

22


PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO

1 Toán nâng cao hình học THPT- Nhà xuất bản ĐH sư phạm- Nguyễn Vĩnh
Cận
2

Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản HN- Phan Huy Khải

3

Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất
bản giáo dục



http://violet.vn

7

http://tailieu.vn

8

http://www.htv4.vn

[1]: Trích sách giáo khoa Giải tích 12- Nhà xuất bản giáo dục
[2]: Trích đề bài 315 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất
bản Hà Nội. (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này).
[3] Trích đề bài tập 466 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà
xuất bản Hà Nội. (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này).
[4] Trích bài 159 – Sách các dạng toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất – nhà xuất bản Đà nẵng.

23