SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT
SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA.

Người thực hiện: TẠ THỊ VÂN
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Năm học: 2018 - 2019


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Môn toán là một môn học có nhiều đơn vị kiến thức, do đó giáo viên phải
tích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khi
truyền tải kiến thức cho học sinh. Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, đề
thi học sinh giỏi có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phải
tìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khó
này một cách hiệu quả nhất trong các đề thi.
Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay phương trình vô tỷ vốn dĩ được coi
là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy THPT nói chung cũng như đánh
giá năng lực học sinh trong các kỳ thi quan trọng về Toán học .
Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi … thì các bài
toán phương trình vô tỷ là bài toán mang tính phân loại cao. Các bài tập thuộc
dạng toán này đòi hỏi học sinh cần tư duy theo nhiều hướng khác nhau, sử dụng

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lý luận.
Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng. Tuy nhiên hầu hết chúng
ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức
vào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm
hành động nhất định nào đó.
Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiện
qua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình... Trong môn
toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện qua những
yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tính toán... kỹ
năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ cũng không phải là
ngoại lệ.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
- Phương pháp này không giải quyết cho mọi phương trình vô tỷ mà chỉ
thực sự rất hiệu quả với phương trình vô tỷ dạng một căn thức.
- Trong quá trình giảng dạy nhận thấy đại đa số học sinh học theo lối mòn
ghi nhớ mà không có thói quen đào sâu suy nghĩ đưa ra cách thức, con đường
tìm kiếm lời giải và nhiều giáo viên chưa chú trọng điều này.
2.3. Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề
2.3.1. Các hằng đẳng thức thường sử dụng:
A2  B 2  ( A  B )( A  B)
A3  B 3  ( A  B)( A2  AB  B 2 )
A3  B 3  ( A  B )( A2  AB  B 2 )

2.3.2. Biểu thức liên hợp:
A( x ) được gọi là biểu thức liên hợp của B ( x ) nếu tích A( x ).B ( x) trở thành
một lượng mất căn thức. ( B( x) là biểu thức chứa căn thức)
Các dạng biểu thức liên hợp thường gặp:
1)



2

2

4)

3

A3 B 

6) A  3 B 

3

A B

A  3 A.B  3 B 2
A3  B
2

A2  A 3 B  3 B 2

2.3.3. Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình (máy
tính Casio fx-570ES và Casio fx- 570VN PLUS)
Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào.
Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE, lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởi
tạo của ẩn X. Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút “=”.
�Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba dòng như sau:
Dòng 1: Phương trình đã nhập.

- Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa.
- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn.
Sau đây, tôi xin đưa ra một số cách giải khác:
Cách giải 1: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:
1
2
(1) � ( 2 x  1  1)  x 2  3x  2  0 (2)
2( x  1)
1
�
 ( x  1)( x  2)  0 (vì 2 x  1  1  0; x � )
2
2x 1 1
x 1
�
�
�
� 2
 x  2  0 (2)
� 2x 1  1

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:

� ( x  1)(

2
 x  2)  0
2x 1  1



Hay �

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 2:
1
2

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:
(1) � ( 2 x  1  1)  x 2  3x  2  0 � ( 2 x  1  1)  ( x  1)( x  2)  0
� 2( 2 x  1  1)  2( x  1)( x  2)  0 � 2( 2 x  1  1)  ( 2 x  1  1)( 2 x  1  1)( x  2)  0
�2x 1 1  0
� 0 � �
� ( 2 x  1  1) �
(
x

2)
2
x

1

x
�
�
( x  2) 2 x  1  x  0
�
x 1
�

Hay �

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 3: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:
1
2
(1) � ( 2 x  1  x  1)  x 2  4 x  2  0 (4)

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:

Nhận thấy x  2  2 không phải là nghiệm của phương trình
�x �2  2
�
Với � 1
thì 2 x  1  ( x  1) �0 , do đó:
�x �
� 2
1
( x 2  4 x  2)
)0
�
 x 2  4 x  2  0 � ( x 2  4 x  2)(1 
(4)
2x 1  x  1
2 x  1  ( x  1)
�
x2  4 x  2  0
�
1
x  2 2

�
�
�2x 1  x
( x  1) 2  0
�
�
�
�
�
� ( 2 x  1  x  1)( x  2 x  1)  0
�
�1
�
�2x 1  1 x
� �x �1
�
�2
�
�x 2  4 x  2  0
�
�
x 1
�
��
(t / m)
x  2 2
�

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 5: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

�
�
2
�2x 1  1 x
�
�x  4 x  2  0
�
� ( x 2  2 x  1)(1 

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Cách giải 6:
1
2

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:
x 2  ( 2 x  1) 2 �
(1) � ( 2 x  1  x)  x 2  2 x  1  0 � ( 2 x  1  x )  �
�
� 0
� ( 2 x  1  x)  ( x  2 x  1)( x  2 x  1)  0 � ( x  2 x  1)( x  1  2 x  1)  0
�
� 1
�x �
�
� 2
�
�
�2x 1  x
x 1
( x  1) 2  0

�x 2  4 x  2  0
�
�

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x  1; x  2  2.
Nhận xét:
Tất cả 6 cách giải trên đều làm xuất hiện biểu thức liên hợp nhưng từng cặp
cách giải ( cách giải 1 và cách giải 2 ; cách giải 3 và cách giải 4; cách giải 5 và
cách giải 6) đều có cách thức ngược nhau. Ở cách giải 2, cách giải 4, cách giải 6
sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua hằng đẳng thức:
2 x  2  ( 2 x  1) 2  1  ( 2 x  1  1)( 2 x  1  1) (cách giải 2)
x 2  4 x  2  ( x  1) 2  ( 2 x  1) 2  ( 2 x  1  x  1)( 2 x  1  1  x) (cách giải 4)
5


x 2  2 x  1  ( x)2  ( 2 x  1) 2  ( 2 x  1  x)( 2 x  1  x) (cách giải 6)

Kỹ năng dùng để tạo biểu thức liên hợp như trên gọi là “kỹ năng tạo liên
hợp ngược”.
Đây là bài toán hội tụ nhiều yếu tố: Có nghiệm hữu tỷ, có nghiệm vô tỷ, có
nghiệm đơn và có nghiệm kép.
Để hiểu rõ hơn “kỹ năng” và “cách thức” của phương pháp này , sau đây tôi
xét một số bài toán cụ thể.
2.5. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỉ đơn:
�Phương pháp chung:
Xét phương trình: g ( x)  h( x) n f ( x) ( n  2 hoặc n  3 )
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máy
tính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp.
Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tích

� (2 x  1) � x 2  10 x  4  ( x  4) � � x 2  10 x  4  ( x  4) �� x 2  10 x  4  ( x  4) � 0
�
��
��
�
� � x 2  10 x  4  ( x  4) �� x 2  10 x  4  3 x  5� 0 .
�
��
�
� x 2  10 x  4  x  4
�x �4
��
��
� x  6(t / m)
2
x

6
�
�
� x  10 x  4  3x  5(Vô nghiêm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  6.
Nhận xét: Nếu khi dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là x  6

6


thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức x 2  10 x  4 hằng số 62  10.6  4  10
� liên hợp là: x 2  10 x  4  10 thì phải nhân hai vế với ( x  16) rồi sử dụng
kỹ năng tạo liên hợp ngược vẫn giải quyết được bài toán, nhưng đưa bài toán trở


� x  1  3 5x2  3 �
( x  1) 2  ( x  1) 3 5 x 2  3  3 (5 x 2  3) 2  2 � 0 (1)
�
�
x
Vì với mọi ta có:
1
3
�
�
�
( x  1) 2  ( x  1) 3 5 x 2  3  3 (5 x 2  3) 2  2 � �
( x  1  3 5 x 2  3) 2  3 (5 x 2  3) 2  2 � 0
�
� �
2
4
�

Do đó:
(1) � 3 5 x 2  3  x  1 � x3  2 x 2  3x  2  0 � x  1
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  1 .
Bài tập 2.5.3: Giải phương trình: 5 x3  22 x 2  22 x  6  4 x  3  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ
đơn của phương trình là: x  1 và x  3 thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức
4 x  3 là ax  b với a,b là nghiệm của hệ phương trình:
�
a 1
�


4x  3  5x  2  x

Lời giải:
7


3
4
2
Pt � ( x  4 x  3)(5 x  2)  ( x  4 x  3)  0

Đk: x � (*). Với đk(*), ta có:




�  x  4x  3  �
0
 x  4 x  3  (5x  2)  1�
�
�
10
�  x  4 x  3   0 (Vì �
 (5 x  )( x 
 x  4x  3  (5x  2) 1�
�
�
3


của phương trình là: x  1 và x  3 nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:
2 x  x3  3x � (2 x  x3  3x )(2 x  x 3  3x )  4 x 2  x3  3x

có bậc bằng 3, nhưng biểu thức còn lại trong phương trình lại có bậc bằng 2.Do
đó ta phải nhân và chia biểu thức còn lại với một biểu thức để làm xuất hiện
biểu thức cần tìm, cụ thể phân tích biến đổi 4 x 2  6 x  6 làm xuất hiện liên hợp:
2
4 x2  6x  6   �
4 x 2  ( x 3  3 x) �
�
� 2 x( x  7)
x
2
  (2 x  x3  3 x )(2 x  x 3  3 x )  2 x( x  7)
x

Lời giải:
Đk: x  0 (*), Với đk(*), ta có:
2
2
Pt �  .4 x 2  ( x  7).2 x   .( x 3  3x)  ( x  7) x 3  3x
x
x
2
2 3
� �
4 x 2  ( x 3  3x ) �
 ( x  7)(2 x  x 3  3x )  0 � (2 x  x 3  3x )( x  3 
x  3x )  0
�

x

x

3
x
�
�
�4
3
2
�
�x  2 x  9 x  12 x  0
�

Vậy phương trình có nghiệm là x  1; x  3 .
Nhận xét :

8


Nếu xét về tính chất nghiệm thì sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta nhận
thấy x  1 là nghiệm kép và x  3 là nghiệm đơn, nhưng cách tìm liên hợp vẫn sử
dụng phương pháp tìm liên hợp của bài toán có hai nghiệm hữu tỷ đơn.
Bài tập 2.5.5: Giải phương trình: x  1  2 4  x 

5( x  3)

2 x 2  18


�
��
( x  5)   x 2  3x  4 �
.�
( x  1)   x 2  3x  4 � 0
�
��
�
��
( x  1)   x 2  3 x  4 � 0 (Vì �
( x  5)   x 2  3x  4 � 0; x � 1; 4 )
�
�
�
�
x  1
�
1 �x �4
�
2
�
� x  1   x  3x  4 � � 2
�
3 (t / m )
�
x
2x  x  3  0
�
� 2
3

� 4 �x �0
� 1  17
�
�2
x
�
� x  4  x
�x  x  4  0
�
2
��
��
��
� 1  13
4 �x �1
�
� x  4  x 1 �
x
�
�2
�
�
2
x

x

3

0






 



�
�
�
� 1 �x �0
2x  x 1  0
� 1  17
�
�
�
� 2
x
�
1 �x �0
4 x  x 1  0
�
�
�
�
8
�
��

được nghiệm x  1 , tuy nhiên chúng ta chưa vội vàng đánh giá luôn nghiệm này

mà cân nhắc kỹ lưỡng bởi vẫn còn một nghiệm vô tỷ nữa. Thật vậy, SHIFT
CALC với x  1.5 ta thu được x �1.464101615. Với nghiệm vô tỷ trên ta được
liên hợp  x  2 x  2  .

10


Lời giải:
�x  2 �0

� 2 �x �0 (*). Với đk(*) ta có:
2 x 2  5 x �0
�
Pt � 4 x 2  10 x  2( x 2  2) x  2  0 �  x3  4 x 2  8 x  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0

Điều kiện: �

�  x( x 2  4( x  2))  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0
�  x( x  2 x  2)( x  2 x  2)  ( x 2  2)( x  2 x  2)  0
� ( x  2 x  2)(2  2 x x  2)  0 � ( x  2 x  2)(1  x x  2)  0
�
�
� 2 �x �0
�
x  22 3
�
�2
�

�
2

Vậy phương trình có ba nghiệm là: x  1; x  2  2 3; x 

1  5
.
2

Nhận xét :
Bài toán này khác với các bài toán trên là: Vừa có nghiệm hữu tỷ, vừa có
nghiệm vô tỷ. Nếu ta chỉ quan tâm đến nghiệm hữu tỷ thì ta vẫn giải được bài
toán tuy nhiên cách giải này không tối ưu làm cho bài toán phức tạp hơn.
x2  2 x  8
 ( x  1)( x  2  2) .
Bài tập 2.6.4 : Giải phương trình: 2
x  2x  3

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015)
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x  2 .Với
�
�x2 20
x  2 thì � 2
. Do đó ta sẽ nhân liên hợp cho nhóm biểu thức x  2  2
�x  2 x  8  0
2
đồng thời phân tích cho nhóm biểu thức  x  2 x  8  để tạo ra nghiệm x  2 trước.




�
( x 2  2 x  3) x  2  2
�
�
3
2
� ( x  2) �
( x  4) x  2  x  x  x  5�
�
� 0



2







11


� ( x  2) �
x 3  2 x 2  4 x  1  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2) �
( x  1)( x 2  3 x  1)  ( x  4)( x  1  x  2) �


x

1
�

x2
�
x2
�
�
�
�x �1
3  13
�
�
x
�2
�
2
�x  3x  1  0 �
�

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  2; x 
Nhận xét: Ta có phân tích tạo liên hợp ngược:



x 2  3 x  1  ( x  1) 2  ( x  2) 2  x  1  x  2


�
� 0
� ( x  2  2) �
( x  1)( x  1  x  2)( x  1  x  2)  ( x  4)( x  1  x  2) �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
x 2  x  3  ( x  1) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
2 x 2  2 x  6  2( x  1) x  2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2) �
x 2  x  3  ( x  1  x  2) 2 �
�
� 0
� ( x  2  2)( x  1  x  2)  0
2
�
�x  x  3  0; x
(Vì �
do đó x 2  x  3  ( x  1  x  2) 2  0; x �2 )
2
( x  1  x  2) �0; x �2
�

12


khi đó phương trình trở nên phức tạp; bài toán có nhiều cách giải song phương
pháp tạo liên hợp ngược là một phương pháp vô cùng hữu hiệu : phân tích nhân
tử đưa phương trình về dạng tích.
Bài tập 2.6.5: Giải phương trình: 2( x  1) 2 x  1  1  5  6 x .
Phân tích: Đây là bài toán có hai biểu thức chứa căn thức khác với các bài toán
trên nhưng ta hoàn toàn sử dụng được phương pháp này, bình phương hai vế ta
được: pt � 4 x3  6 x 2  3 x  2( x  1) 2 x  1  0 đưa bài toán về dạng một căn thức. Sử
dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x �0.809016994 . Sử dụng
nghiệm vô tỷ trên tìm được liên hợp : 2 x  2 x  1 , từ đó ta có phân tích:





4 x 2  (2 x  1)  2 x  2 x  1 2 x  2 x  1



Lời giải:
1
5
2
6
3
2
Pt � 4 x  6 x  3 x  2( x  1) 2 x  1  0

Điều kiện:  �x � (*).Với đk(*), ta có:
� x�
4 x 2  (2 x  1) �

3x 2  3x  2
x  2x  2 
3x  1
2

13


2.7. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép:
Bài toán nghiệm bội nói chung và nghiệm kép nói riêng là một dạng toán
mới, lạ, hay và đặc biệt rất khó nếu ta không định hướng đúng đường đi của bài
toán phương trình vô tỷ.
Bài tập 2.7.1: Giải phương trình: x 2  x  2  2 x  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  1 chính là
nghiệm kép của phương trình từ đó cần làm xuất hiện biểu thức ( x  1)2 để đặt
nhân tử chung, tức là ta biến đổi căn thức 2 x thành ax  b  2 x . Nhân liên hợp
(ax  b) 2  4 x
và ta cho: (ax  b) 2  4 x  x 2  2 x  1 � ax  b  x  1 ,
ax  b  2 x
suy ra liên hợp cần tìm là: x  1  2 x và cách tạo liên hợp như sau:
x2  x  2  �
( x  1) 2  4 x �
�
� x  1  ( x  1  2 x )( x  1  2 x )  x  1 .

tađược ax  b  2 x 

Lời giải:
Đk: x �0, (*) . Với đk (*), ta có:
Pt � ( x 2  2 x  1)  ( x  1  2 x )  0 � ( x  1  2 x )( x  1  2 x )  ( x  1  2 x )  0

� 2 2 x 2  5 x  7  x  8  0 (Vì ( x  8  2 2 x  5 x  7)( x  1)  9  0; x ��
� 2�
�
7
�
1 �x �
�
��
2 � x2.
2
�
9( x  2)  0
�

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x  2.

14


Bài tập 2.7.3: Giải phương trình: 20 x 2  14 x  9  (14 x  11) 2 x2  1  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  2 chính là một
nghiệm kép của phương trình từ đó có liên hợp cần tìm là:

4
1
2 x 2  1  x  hay
3
3

3 2 x 2  1  (4 x  1) . Vì vậy ta cần phải làm xuất hiện biểu thức liên hợp như sau:

�
�
2( x  2) 2  0
�
3 2x 1  4x 1
�
�
��
��
�
3 � 14
�
2
3
�
x
�
2 2x 1  2 x  3
�
�
�x �
�
2
�
2
�
�
�
4 x 2  12 x  5  0
�

2

2t 2  2t  1  2t 2  1  0 � 2t 2  4t  2  (2t  1  2t 2  1)  0
� (2t  1) 2  ( 2t 2  1) 2  (2t  1  2t 2  1)  0 � (2t  2t 2  1)(2t  1  2t 2  1)  0

15


� 1
t�
�
� 2t  1  2t  1 � � 2
� t  1(t / m)
2
�
2(t  1)  0
�
2

hay x  1 � x  1 (t/m)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  1 .
�
0 �t � 2
�
��
� t  1 hay
(t  1) 2  0
�

x  1  1 � x  2 (t/m)

2 x 2  1  2 x3  x 4  2 x3 và có lời giải như sau:

Bài giải:
Đk: 2 x 2  1  2 x3 �0 , ta có:
Pt � x 3  ( x 2  1  2 x 2  1  2 x 3 )  0 (1)
Nhận thấy x  2 không phải là nghiệm của phương trình.
Xét x �2 , nhân hai vế của phương trình (1) với x  2 , ta được:
( x 4  2 x3 )  ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x 3 )  0
��
( x 2  1) 2  ( 2 x 2  1  2 x3 ) 2 � ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  0
�
�
� ( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  ( x  2)( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )  0
� ( x 2  1  2 x 2  1  2 x3 )( x 2  x  3  2 x 2  1  2 x 3 )  0
� x 2  1  2 x 2  1  2 x 3  0 (Vì x 2  x  3  2 x 2  1  2 x 3  0; x )
� x 3 ( x  2)  0 � x  0.

Nhận xét :
Đối với bài toán này nếu ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp thì rất khó
đánh giá phần còn lại vì việc tìm điều kiện chặt của phương trình rất khó khăn.
Bài tập 2.8.3: Giải phương trình: x3  (5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1  0 .
Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x  0 là nghiệm bội
2

2

�
(5 x  4) 2 x  1�
(7 x  4) x  1�
ba của phương trình và nhận thấy: x3  �

(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
�
�
� �
� 0

�
�
��
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
�
�
�
� �
� 0

17


�
��
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1 �
(5 x  4) 2 x  1  (7 x  4) x  1  1�
�
��
� 0
��

Pt � x3 



2x 1  x 1



2

3

0 � �
( 2 x  1) 2  ( x  1) 2 �
�
�
3

��
( 2 x  1  x  1)( 2 x  1  x  1) �
�
�


�
�
�


x  1   0 (Vì ( 2 x  1 

x  1)3  1  0; x � )
2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x  0
Bài tập tương tự:
Bài 1: Giải phương trình: x3  x 2  x  1  3x 2  2 x  1 .
Bài 2: Giải phương trình: 2( x  5) 3  x  16 x  2  3x 2  11x  36  0 .
2.9.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Đối với học sinh
Tôi đã áp dụng đề tài này vào việc trực tiếp giảng dạy cho các đối tượng
học sinh khá, giỏi lớp10, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10,11ở các lớp tôi được
giao nhiệm vụ và ôn thi THPT Quốc Gia, thu được một số kết quả rất khả quan:
- Các em đã xóa bỏ dần tâm lý e ngại đồng thời đam mê, hứng thú hơn khi
gặp bài toán phương trình vô tỷ.
- Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát cho
thấy có trên 80% các em học sinh có hứng thú bài học và giải quyết được các bài
tập tương tự.
Đối với bản thân và đồng nghiệp
- Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá
trình dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi.
3.Kết luận và kiến nghị:
3.1. Kết luận:
18


Không chỉ dừng lại ở việc: “ Giải các phương trình vô tỷ ” mà ta có thể áp
dụng “Kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải các bài toán bất phương trình, hệ
phương trình chứa căn thức, bài toán phương trình và bất phương trình vô tỷ có
nghiệm bội 4, 5, 6....Đặc biệt có thể áp dụng phương pháp này đối với các bài
toán tìm giới hạn, bài toán tính tích phân.


20


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU............................................................................................................1
1.1 Lí do chọn đề tài...............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu........................................................................................1
1.3 Đối tượng nghiên cứu......................................................................................1
1.4 Phương pháp nghiên cứu..................................................................................1
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM......................................................2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến............................................................................. 2
2.2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu...................................................................2
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.............................................2
2.4. Bài toán mở đầu..............................................................................................3
2.5 .Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm hữu tỷ đơn................................................6
2.6.Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỷ đơn...................................................9
2.7. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép..........................................................14
2.8. Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba......................................................16
2.9. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm............................................................18
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.............................................................................19
3.1. Kết luận.........................................................................................................19
3.2 Kiến nghị........................................................................................................19
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 20

21