MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ...2
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...2
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...3
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….3
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….3
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…3
2.1. Cơ sở lí
luận..............................................................................................3
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...3
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........20
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….……………....20
3.1. Kết luận………………………………………………………………..20
3.2. Kiến nghị………………………………………………………………21

1


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Nền giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Một
trong các nội dung đổi mới đó là thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi
THPT Quốc Gia . Đối với bộ môn Toán, từ năm 2017 thay hình thức thi tự luận
được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm. Hình thức này là mới đối
với thầy và trò, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay.
Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và
nội dung. Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận
và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân hàm ẩn.
- Đưa ra một số bài tập để học sinh tự luyện.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
- Các tính chất của tích phân.[1]
- Các phương pháp tính tích phân.[1]
2.2. Thực trạng vấn đề.

3


Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích
phân có công thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương
pháp giải rõ ràng, một số bài các em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính
Casio. Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu
cầu tính tích phân nhưng không biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất
của nó. Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá
trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đổi như thế nào hay phải sử dụng
công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy.

3 f  x  g  x �
dx . [2]
�
�
�
�

Phân tích bài toán: Để tính tích phân trên ta sử dụng hai công thức sau:
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

dx  �
f  x  dx  �

Ta có: I  �
�
�
3

3 f  x  g  x �
dx  1
�
Vậy I  �
�
�
0

Ví dụ 2. Cho

1

3

3

0

0

1

f  x  dx  3 và �
f  z  dz  7 . Tính tích phân I  �
f  t  dt . [2]

0

0

f  t  dt  �
f  x  dx  3 ; �
f  t  dt  �
f  z  dz  7 .
�
3

3

1

3

1

0

0

1

f  t  dt  �
f  t  dt  �
f  t  dt  7  3  4 . Vậy I  �
f  t  dt  4 .
Suy ra: I  �

b

a

a

a

a

a

dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx; �
kf  x  dx  k �
f  x  dx
�
�f  x   g  x  �
�
�

với k ��.

Và coi I là ẩn của phương trình bậc nhất để giải.
Lời giải:
b

b


f '  x  dx . [3]
Tính tích phân I  �
1

Phân tích bài toán: Ta sử dụng tính chất

f '  x  dx  f  x   C
�

với C là

hằng số.
Lời giải:
3

3

Ta có:

3

f '  x  dx  f  x   f  3  f  1  7  1  6 . Vậy I  �
f '  x  dx  6 .
�
1
1

1

Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.

b

a

a

f  x  dx  �
f  t  dt
�

6


Ta sẽ tìm được tích phân.
Lời giải:
1
Đặt t  2 x � dt  2dx � dx  dt . Đổi cận x  0 � t  0; x  2 � t  4.
2
2

4

1
14
26
f  2 x  dx  �
f  t  dt  �
f  t  dt 
 13 .
Ta có: �


b

b

a

a

f  x  dx  �
f  t  dt , ta sẽ tìm được
�

tích phân.
Lời giải:



1
1
Đặt t  cos 2 x � sin 2 xdx   dt . Đổi cận x  � t  0; x  � t  .
4
6
2
2

6

1
2


4

1
f  x  dx . [3]
Ví dụ 3. Cho �
f  ln x  . dx  4 . Tính tích phân I  �
x
1
e

Phân tích bài toán:

7


Ta có  ln x  ' 

1
với mọi x  0 .
x
b

b

a

a

f  x  dx  �

2017

�f  x  dx  2 và
1

f  x   f  2018  x  , x � 1;2018 . Tính tích phân I 

2017

�xf  x  dx . [3]
1

Phân tích bài toán:
Xét biến đổi tích phân I 

2017

�xf  x  dx

bằng cách đặt x  2018  t và sử dụng

1

công thức

b

b

a


Suy ra I  2018
Vậy I 

2017

2017

1

1

�f  t  dt  �tf  t  dt  2018.2  I � I  2018 .

2017

�xf  x  dx  2018 .
1

Ví dụ 5. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên � thỏa mãn
10

f  x  2 x  2   3x  1 . Tính tích phân I  �
f  x  dx . [3]
3

1

Phân tích bài toán:
3

1

2
9 4 3
�2 135
2
I �
.
 9t 3  3t 2  6t  2  dt  �
� t  t  3t  2t � 
1
4
4
�
�
1
10

f  x  dx 
Vậy I  �
1

135
.
4

Ví dụ 6. Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  1;4 thỏa mãn
f  x 




1

4

4

3

3

1

1

4

x

1

I �
f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .

Lời giải




 ln x  4  2ln 2 2.
Ta có: � dx  �
ln xd  ln x  
2 1
1 x
1
2

4

Xét

4



(2)

 dx

f 2 x 1

�

x

1

1
dx. Đổi cận x  1 � t  1; x  4 � t  3.

4

3

1

1

(3)

f  x  dx  �
f  x  dx  2ln 2 2 .
Từ (1), (2) và (3) ta có: �
4

4

�I �
f  x  dx  2ln 2 . Vậy I  �
f  x  dx  2ln 2 2 .
2

3

3

Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.
1

(2 x  1) f '( x)dx  10 ;

1

Ta có

 2 x  1 f '  x  dx   2 x  1 f  x 
�
0

1
0

1

 2�
f  x  dx
0

Suy ra 10  f  1  f  0   2 I � I  1.
Vậy I  1.
Ví dụ 2. Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên �, F  3  3,
2

3

1

0

F ( x  1)dx  1. Tính I  �
x f  x  dx. [3]

v ' x   1
v x  x
�
�
3

1

F  x  dx  x F  x  0  �
xf  x  dx � 1  9  I � I  8.
Suy ra �
3

0

0

Vậy I  8.
Ví dụ 3. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  1;0 ,
F  1  1, F  0   0 và

0

0

2 .F  x  dx  1 . Tính I  �
2 . f  x  dx . [3]
�
3x



�
1
�
3ln 2
�
0

3x

0

1 3x
1  �
2 .F  x  dx 
2 F  x
3ln
2
1
3x

1
� I   3ln 2 .
8

0

0

1


�
u  x  f  x
�
u ' x   f ' x 
�
�
�
Đặt �
�
v ' x   g ' x 
v x  g  x
�
�
2

2

0

0

I  f  x g  x 0  �
f '  x  g  x  dx  f  2  g  2   f  0  .g  0   �
x( x  2)e x dx
2

Ta có

�



a

�f  x  dx  0 .

(2)

a

+ Hàm số f  x  liên tục và tuần hoàn với chu kỳ T thì:
a T

T
2

T

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx .
�
T
a
0


(3)

2


+ Hàm số f  x  liên tục trên  0;1 thì:

2


2

0

0

f  sin x  dx  �
f  cos x  dx .
�

(6)

x 2  sin x
dx . [4]
Ví dụ 1. Tính tích phân I  �
x

1
1
1

sin x
x2
Phân tích bài toán: Ta có f  x  


1


2

x

ln
x

1


Suy ra I  2� dx  2 �
�
� �
�0  2ln 2  1 .
x

1
x

1
2
�
�
�
�
0

Phân tích bài toán: Ta có f  x   ln x  x  1 là hàm lẻ. Khi đó ta sử

dụng công thức (2).
Lời giải





2
Ta có f  x   ln x  x  1 là hàm lẻ trên đoạn  1;1 nên theo (2) ta có:
1





I�
ln x  x 2  1 dx  0
1

Ví dụ 3. Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục trên  2;2 và f  x  là hàm chẵn,

g  x  là hàm lẻ. Biết

2

2

0

3 f  x   2g  x  �
dx  3 �
f  x  dx  2 �
g  x  dx  6 �
f  x  dx  0  36 .
�
Ta có I  �
�
�
2

3 f  x   2g  x �
dx  36.
�
Vậy I  �
�
�
2

Ví dụ 4. Tính tích phân I 

2018

� 1  cos 2 xdx . [4]
0

Phân tích bài toán: Ta có hàm số f  x   1  cos 2 x có chu kỳ T= 
nên ta áp dụng công thức (3).
Lời giải


0

sin xdx
� 1  cos 2 xdx  2018�1  cos 2 xdx  2018 2 �

2018

I  2018 2 cos x  4036 2 . Vậy I  � 1  cos 2 xdx  4036 2 .
0
0
1

1

0

1

f  x  dx  2018 . Tính tích phân I 
Ví dụ 5. Cho �

f  x

dx . [3]
�
1  2018
x

Phân tích bài toán: Ta có f  x  là hàm chẵn nên ta áp dụng công thức
(4), (1).

x

1


x sin x
I

dx . [4]
Ví dụ 6. Tính tích phân
�
2
9

4cos
x
0

Phân tích bài toán: Sử dụng công thức số (5).
Lời giải
Đặt x    t � dx  dt . Đổi cận x  0 � t   ; x   � t  0.
0

   t  sin t dt      x  sin x dx   

Khi đó I   �
2
 9  4cos t

�9  4cos


d
cos
x

ln
5
�
I

ln 5


Suy ra
�
2
�
2
9

4cos
x
4cos
x

9
6
12
0
0


2


2

0

4sin x
4cos t
4cos x
I �
dx   �
dt  �
dx
3
3
3
sin
x

cos
x
sin
t

cos
t
sin
x


1
� �
dx  2 tan �x  �2  4 � I  2 .
Suy ra 2 I  2 � 2 �  �
� 4 �0
0 cos
�x  �
� 4�

2

Vậy I  � 4sin x 3 dx  2
0  sin x  cos x 
Dạng 5. Một số tích phân liên quan đến f '  x  và hàm hợp
4
2
Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x  f  x   x  x , x ��, biết
1

f  0   2 . Tính tích phân I  �
�
�f  x  �
�dx . [3]
2

0

2
' 2 f '  x  f  x  nên 2 f '  x  f  x  có

f
x
dx

x

x

4
dx 
�
�


Khi đó
. Vậy
�
�
�
�
�
�
5
3
30
�
�
0
0
1

3
' 3 f '  x  f 2  x  nên 3 f '  x  f 2  x  có
Phân tích bài toán: Ta có �
�f  x  �
�
3
nguyên hàm là f  x  .

Lời giải
f
Ta có 3 f '  x  e

3

 x   x 2 1

f
3
Suy ra �
�f  x  �
�e
'

3

 x



3

7

1
xf  x  dx  �
x. x  1dx 
Khi đó I  �
2
0
0
3

Vậy I 

7

xf  x  dx 
�
0

2

7

4
3 2
7
x  1d  x  1   x  1 3
�
8
0

u x 
Sử dụng đạo hàm �
eu  x  f  x  �
�
� u '  x  e f  x   e f '  x  nên ta có hàm số

u '  x  eu x  f  x   eu x  f '  x  có nguyên hàm là eu x  f  x  .
Lời giải
Ta có f '  x   2 xf  x   2 x.e  x � e x . f '  x   2 x.e x f  x   2 x .
2

2

2

2 xdx  x 2  C mà f  0   1 � C  1 � e x f  x   x 2  1 .
Suy ra e x f  x   �
2

2

1
�x3
�
e f  x  dx  �
Vậy I  �
 x  1 dx  �3  x �0  34
�
�
0

2

dx  2 �f '  x  f  x  dx .
 x   1�
�

[3]

0

Phân tích bài toán: Dựa vào
�f  x  �0, x � a; b 
�b
� f  x   0 x � a; b  .
�
f
x
dx

0


��
�a
Lời giải: Từ giả thiết ta có
1

�
�
�f '  x  f

Mà f  0   2 � C  8 . Vậy �
�2
�0 2
0
0
1

1

3

2.3.2. Các bài toán tích phân ôn tập.

18


�2
3
khi 0 �x �1
�
f
x

.
I

f  x  dx . [3]
Bài 1. Cho hàm số   �x  1
Tính
�

2

16

 x  dx  1. Tính �f  4 x  dx. [3]

f

1

cot xf  sin x  dx  �
Bài 3. Cho biết �
2


4

x

1


4

sin x  cos x
dx;
Bài 4. Tính các tích phân: I  � x
5 1



4


2

x

1
8

2


2

cos x
J �
dx. [4]
sin x  cos x
0

x sin x
J �
dx. [4]
2
1

sin
x
0


0

Bài 9. Cho hàm số f  x  liên tục trên � thỏa mãn
f  x   f   x   2  2cos 2 x . Tính tích phân


2

f  x  dx . [2]
�




2

��
0;
Bài 10. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục �
thỏa mãn f  0   0 ,
� 2�
�

19



2


Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy môn Toán ở các
lớp: 12B5, 12B2. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em
rất có hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân đặc biệt
các em rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng
kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan.
Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và
vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên
cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Kết quả kiểm tra:

Lớp

Điểm yếu

Điểm TB

Điểm khá

Điểm giỏi

Số bài

%

Số bài

%

Số bài


8

15,7

25

49

15

29,4

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán
này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.

20


3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp
xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng
cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại,
các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.
Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng


22