THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán về dãy tỉ số
bằng nhau”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Học sinh THCS
3. Tác giả: Dương Thị Vân

Giới tính : Nữ

Ngày , tháng , năm sinh: 27 / 3 / 1984.
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán.
Chức vụ: Giaó viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phả Lại – Chí Linh – Hải Dương.
Điện thoại: 0975 780 845
4. Đồng tác giả : Không
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Phả Lại
Địa chỉ : Sùng yên – Phả Lại – Chí Linh – Hải Dương.
Điện thoại: 03203 881 326
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Phả Lại – Chí Linh – Hải
Dương.
Điện thoại: 03203 881 326
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Các thiết bị, đồ dùng hỗ trợ giảng dạy: Máy tính, máy chiếu...
+ Sự ủng hộ hợp tác của các tổ chức đoàn thể trong và ngoài nhà trường.
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu : Năm học 2014 - 2015
TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

Dương Thị Vân
1


2


Ngoài ra sáng kiến này còn có thể dễ dàng triển khai, dễ thực hiện một cách
đại trà cho toàn giáo viên trong ngành.
c. Chỉ ra lợi ích thiết thực của sáng kiến
Về mức độ kiến thức và thời gian làm bài của học sinh trước và sau khi thực
hiện sáng kiến, kết quả làm bài cho thấy sự tiến bộ rõ rệt trong tư duy của học sinh
sau khi được áp dụng cách học theo nội dung sáng kiến này. Hơn thế nữa, các em
cũng đã tự tin rất nhiều khi gặp những dạng bài mà trước đó có vẻ rất lạ đối với
các em. Trong các tiết dạy phụ đạo tôi nhận thấy các em mạnh dạn, hăng hái, tích
cực và tránh được nhiều sai sót hơn, từ đó có thể các em sẽ không sợ môn Toán và
có đủ nghị lực, quyết tâm vượt qua tình trạng sợ sai trong trình bày lời giải của
mình.
4. Khẳng định giá trị , kết quả đạt được của sáng kiến: Sáng kiến kinh
nghiệm chú ý việc rèn kỹ năng và tư duy cho học sinh lớp 7 giải một số bài toán
về dãy tỉ số bằng nhau nên chắc chắn không gây tốn kém nhiều về kinh phí mà
đồng thời mang lại hiệu quả thiết thực trong công tác giáo dục, nâng cao được
chất lượng giáo dục của bộ môn nói riêng và chất lượng giáo dục của toàn ngành
nói chung. Tạo cho học sinh có được nền tảng kiến thức vững chắc, hình thành
được tính tự tin trong học tập cũng như trong lao động của con người trong thời
đại mới.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng của sáng kiến
Để nâng chất lượng giáo dục học sinh trong nhà trường được nâng cao, bản
thân tôi có một số kiến nghị sau:
-Về phía nhà trường: Chỉ đạo và theo dõi chặt chẽ công tác bồi dưỡng và phụ
đạo học sinh, chỉ đạo các bộ phận, đoàn thể thực hiện tốt vấn đề giáo dục ý
thức đạo đức, ý thức học tập của học sinh
-Về phía Đoàn Đội: Phát động nhiều phong trào thi đua học tập trong học sinh

và việc tự học tập chưa cao. Một phần do các em chưa chăm chỉ, tự giác, một
phần do các em chưa được định hướng và chưa được hướng dẫn một cách cụ thể
4


để các em tự tin trong việc học Toán. Đa phần các em thụ động trong cách tiếp
cận các bài toán dẫn đến những lỗi sai cơ bản ngay cả những học sinh khá , giỏi
với những bài tập khá đơn giản. Đối với học sinh lớp 7, Tôi thấy học sinh chưa
có kỹ năng giải toán về dãy tỉ số bằng nhau vì các em chưa biết các bài toán đó
cần áp dụng những phương pháp nào cho kết quả đúng nhất , nhanh nhất và đơn
giản nhất. Vì vậy, để nâng cao kỹ năng giải toán về dãy tỉ số bằng nhau thì các
em phải nắm được các dạng toán và các phương pháp giải, các kiến thức cơ bản
được cụ thể hóa trong từng bài, từng chương. Có thể nói dạng toán áp dụng tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít
học sinh cảm thấy sợ hãi khi gặp dạng toán này. Là một giáo viên dạy Toán lớp
7 tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp những
dạng toán này. Vì thế thiết yếu tôi phải “ Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số
bài toán về dãy tỉ số bằng nhau” để làm hành trang kiến thức vững chắc cho
các em gặp lại dạng toán này ở các lớp trên.
2. Cơ sở lý luận của vấn đề:
Chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới nghĩa là dạy học bám sát theo chuẩn
kiến thức kỹ năng tiến tới đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục vì thế những kiến
thức gì được gọi là chuẩn, là cơ bản nhất phải nắm vững một cách chủ động, có
sáng tạo. Rèn kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải một số bài toán về dãy
tỉ số bằng nhau ở lớp 7 cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống những
bài tập thể hiện dạng toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có vai trò hết
sức quan trọng là nó giúp cho học sinh phát triển khả năng nhận dạng , tư duy ,
trình bày lời giải chính xác và logic. Thông qua việc hướng dẫn học sinh giải toán
là hình thành những kỹ năng cần thiết của học sinh khi còn ngồi trên ghế nhà
trường. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến day học là phát huy hết tính tích


Học sinh chưa biết dùng dấu " ⇒ " hay dấu " = " để trình bày hợp lý.
b)

x y
= và xy = 135
3 5

Học sinh dễ nhầm lẫn việc áp dụng tính chất

như phần a để có kết quả như sau:

x y x+ y
= =
cũng làm tương tự
a b a +b

x y xy
= =
nhưng cách làm này không
3 5 3.5

đúng.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là các số khác 0 sao cho :

a + b − c a − b + c −a + b + c
=
=
c
b

=
147 x − 2

Học sinh sử dụng tính chất cơ bản của tỉ lệ thức suy ra: ( x − 2) 2 = 441

( x − 2) 2 = 212 suy ra x − 2 = 21 ⇒ x = 23
Trong bài này học sinh bỏ sót 1 trường hợp: x − 2 = −21 ⇒ x = −19
Như vậy trong các cách làm trên các em làm bài chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện
hoặc chưa biết cách trình bày một bài toán đặc biệt là sai lầm khi xét lũy thừa bậc
chẵn.
Hoặc khi nhân chéo học sinh không đưa biểu thức x – 2 vào dấu ngoặc như sau:

x−2
3
=
147 x − 2
⇒ x − 2.x − 2 = 147.3
⇒ − x − 2 = 441
⇒ x = −443
Trên đây là những sai lầm cơ bản mà học sinh khi giải bài toán liên quan tới
dãy tỉ số bằng nhau thường mắc phải. Chính vì vậy mà việc hướng dẫn các em biết
cách làm và giải quyết triệt để dạng toán này là rất cần thiết .
Khi chưa hướng dẫn, tôi ra đề cho học sinh lớp 7 trường tôi đang dạy như
sau:
Câu 1:(6 điểm) Tìm x, y, z biết:

7


a)

Lớp

SS

Giỏi

Khá

SL
%
SL
7
39
5
12,8
15
Từ kết quả khảo sát trên Tôi nhận thấy :

%
38,5

Trung bình
SL
%
19
48,7

Yếu và Kém
SL
%

a c
= ⇔ ad = bc(b; d ≠ 0)
b d

+) Từ tỉ lệ thức

a c
= ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau:
b d

a b d c d b
= ; = ; = ( a; b; c; d ≠ 0)
c d b a c a
b. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c a +c a −c
= =
=
với b + d ≠ 0; b − d ≠ 0
b d b+d b−d
Mở rộng với dãy tỷ số bằng nhau:

a c e
a+c+e
a −c +e
= = =
=
= ....
b d f b+d + f b−d + f
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

( với m ; n ; p khác 0 )
x y z
x y z xm + yn + zp

4.2. Hướng dẫn giải một số bài toán về dãy tỉ số bằng nhau.
Bài toán 1: Tìm x , y biết: a.

x y
=
và x + y = 81
2 7
b.

x y
= và x − y = −2
5 7

c.

x −4
=
và 4 x − 5 y = 72
y 7

Câu hỏi của GV
Yêu cầu học sinh nghiên cứu bài toán
Ta chú ý tới giả thiết nào

Câu trả lời mong muốn
a.

Phần b làm tương tự.
Ở phần c
Làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số
bằng nhau ?

x
= 9 ⇒ x = 18
2
y
= 9 ⇒ y = 63
7
Vậy x = 18; y = 63

Từ

x −4
=
ta giữ nguyên ngoại tỉ ,
y 7

Điều kiện thay đổi thế nào?

thay đổi trung tỉ.

Vậy cần phải có dãy tỉ số bằng nhau

Ta được :

nào?


−16 35 −16 − 35 −51
Suy ra : x = 4; y = - 7
Trên cơ sở những bài toán cơ bản thì GV có thể đưa ra những bài toán khó hơn
như sau:
Tìm x , y , z biết:
d.

x
y y z
= ;
=
và - 2x - 4y + 5z = 146
−3 7 −2 5

e.

4 x 6 y −3 z
=
=
và x + 3 y − 2 z = −273
−5 7
8
11


g.

x −3 y + 4 z −5
=
=

Từ
y z
y
z
= ⇒
=
−2 5 14 −35
Suy ra :

Làm thế nào để đưa bài toán

e.

về dạng đã học
Nếu học sinh không giải
được GV hướng dẫn hs biến
đổi dãy tỉ số

4 x 6 y −3z
=
=
về dạng
−5 7
8
quen thuộc.

trong các bài trên?

4 x 6 y −3 z
=

8
−5.12 7.12 8.12
Cách 2:
x
y
z
⇒
= =
−15 14 −32
g.

Làm tương tự phần nào

x
y
z
= =
−6 14 −35

x −3 y + 4 z −5
=
=
và 3 x − 2 y + 7 z = −48
−4
7
3

Làm tương tự phần c.
12


x y z x+ y−z
M
= = =
=
Từ đó tìm được x ; y ; z.
a b c a +b −c a +b −c

Bài toán 2: Tìm x, y biết:
a.

x y
= và xy = 6
2 3

b.

x y
= và xy 2 = 96
3 2

Câu hỏi của GV
Phương án thứ nhất GV có thể yêu
cầu học sinh lên bảng trình bày ngay.

Câu trả lời mong muốn
a.

x y
= và xy = 6
2 3

2
3
2
3 3
x2
⇒
= 2 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = ±2
2

x y
= làm thế nào trong dãy tỉ số
2 3

Từ đó tính được y

bằng nhau đó có 1 thành phần là tích

Cách 2: Từ

x y
=
2 3

xy ?
Nhân cả 2 vế của

x y
x
= với
2 3

3
Từ đó tìm được x tương ứng.
Với phần này GV cần gợi ý cho HS

Hoặc từ xy = 6 ⇒ x =

14

6
y


nên dùng cách 3 tức đặt

x y
= =k
3 2

b.

x y
= và xy 2 = 96
3 2

thì bài toán có lời giải ngắn gọn hơn.
Lưu ý: Qua các cách giải trên GV cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong
mỗi cách giải, từ đó học sinh sẽ tự ý thức lựa chọn cách giải.
Các bài toán tương tự:
c. 5 x = 2 y và x 3 y 2 = 200
d.

x3 y 3
z3
h.
và xy + yz − zx = 20
=
=
8 64 216
Như vậy, dạng toán trên là dạng toán tìm các số hạng trong một dãy tỉ số bằng
nhau biết tích của các số hạng đó. Qua cách làm các bài toán trên có thể hệ thống
lại phương pháp giải chung như sau : Nếu
Thì ta đặt

x y z
= = và xyz = p
a b c

x y z
= = = k (k ≠ 0) suy ra : x = ak ; y = bk ; z = ck Từ đó tìm k rồi
a b c

tìm được x ; y ; z.
Đặc biệt lưu ý đối với học sinh khi xét lũy thừa bậc chẵn khi làm dạng toán này.
Bài toán 3:
15


a. Cho tỉ lệ thức :

a c
= ≠ 1 với a,b,c,d khác 0.

Trong cách này , để chứng minh tỉ lệ thức

( a − b) c = a ( c − d )
Cách 2: Ta đặt :
Khi đó:

a c
= = k (k ≠ 0) ⇒ a = bk ; c = dk
b d

a − b bk − b ( k − 1) b k − 1
=
=
=
a
bk
bk
k
c − d dk − d ( k − 1) d k − 1
=
=
=
c
dk
dk
k

Từ (1) và (2) suy ra:

(1)

a a −b
a −b c −d
=
⇒
=
c c−d
a
c

Trong cách này, sau khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho, ta dùng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau. Cuối cùng hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo
ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh.
Cách 4: Vì
Ta có :
Vậy

a c
b d
= ⇒ =
b d
a c

a −b a b
b
d c−d
= − = 1− = 1− =
a
a a
a
c

=
b c

c b
=
d c

(1)

(2)
17


Từ (1) và (2) suy ra
Đặt

a b c
= =
b c d

a b c
= = = k (k ≠ 0) ⇒ a = bk ; b = ck ; c = dk
b c d

Khi đó :

a a b c bk .ck .dk
= . . =
= k3
d b c d

3

x y z
= =
a b c

3

xyz
 x  y  z
thì  ÷ =  ÷ =  ÷ =
 a   b   c  abc
Ta có thể chuyển bài tập 5 thành bài tập sau: Cho

a b c
= = ; abcd ≠ 0
b c d

3

a
 a+b+c 
Chứng minh rằng : 
÷ =
b+c+d  d
3

a 3 + b3 + c 3  a + b + c 
3
3

c
a
18


Từ

a b c
ab bc ca
=
= , ta suy ra: = = với a, b, c > 0 và a + b + c ≠ 0
b c a
b
c
a

GV yêu cầu 1 HS trình bày, nếu học sinh làm sai hoặc không trình bày được thì
GV định hướng cho HS các vướng mắc:
Nếu áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có điều gì? Vì sao?
Từ đó HS có thể trình bày được bài toán.
Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a b c a +b+c
= = =
= 1 do a + b + c ≠ 0 nên suy ra: a = b = c
b c a a +b+c
Nếu sử dụng phương pháp nhân chéo thì có ngay các đẳng thức nào?
Để chứng minh a = b = c thì ta cần chứng minh a 3 = b3 = c 3 . Vậy làm thế nào
để xuất hiện a 3 ; b3 ; c 3 từ các đẳng thức trên ? Từ đó HS có thể giải được bài toán .
Cách 2: Phương pháp nhân chéo:

GV hướng dẫn học sinh phương pháp so sánh, cách này dành cho học sinh khá,
giỏi.
Cách 4: Phương pháp so sánh:
Có a, b, c > 0 nên nếu a < b suy ra:

a
b
c
< 1 ⇒ < 1 ⇒ < 1 ⇒ a < b < c < a ( vô lí )
b
c
a
Vậy a = b ⇒ a = b = c
Tương tự : nếu a > b ta sẽ suy ra được a > b > c > a ( vô lí )
Như vậy , bài toán này cho chúng ta thấy được để chứng minh liên quan đến
dãy tỉ số bằng nhau ta có thể dùng định nghĩa hoặc tính chất hoán vị, tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỉ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức
cần chứng minh) thành vế phải….
Một số bài toán tương tự:
d. Cho tỉ lệ thức

a b
ab
bc
Chứng minh rằng: =
=
b c
a+b b+c

e. Cho tỉ lệ thức

z
≠
0
h. Cho
và
. Tính :
y z x
y 9999
i. Cho a : b : c = b : c : a và a + b + c ≠ 0
Chứng minh rằng: ( 2a + 9b + 1945c )

2009

20

= 19562009 a 30b 4 c1975


k. Cho

a
b
c
2
=
=
. Chứng minh : 4 ( a − b ) ( b − c ) = ( c − a )
2013 2014 2015

l. Cho các số dương a và b thỏa mãn điều kiện:

em dễ dàng tìm lời giải của bài toán.
Cần áp dụng kiến thức nào về dãy tỉ số bằng nhau để đưa ra phương pháp giải
ngắn gọn nhất. Có 2 cách cụ thể như sau:
Cách 1: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
Ta có :

a + b − c a − b + c −a + b + c a + b + c
=
=
=
c
b
a
a+b+c

(*)

Đến đây nếu học sinh bỏ qua điều kiện như ví dụ 2 thì GV hướng dẫn học sinh
tránh bỏ sót trường hợp bằng cách đặt câu hỏi: đề bài cho a,b,c là các số khác 0 thì

a + b + c có thể xảy ra những trường hợp nào?
Từ đó học sinh dễ dàng có thể trình bày tiếp được bài toán.
+ Nếu a + b + c = 0 thì a + b = −c; b + c = −a; c + a = −b
Khi đó M = −1
21


+Nếu a + b + c ≠ 0 Thì (*) trở thành

1 1 1

b. Tìm x, y, z biết :

y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
Với bài toán này, không có điều kiện của x,y,z nhưng tôi lưu ý với học sinh
rằng chú ý tới tỉ số cuối cùng ta thấy Điều kiện cần thiết x + y + z ≠ 0 nên có thể
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm được x,y,z.
Cũng với bài toán trên GV có thể thay đổi như sau:

x
y
z
=
=
= x+ y+ z
y + z +1 z + x + 2 x + y − 3
Thì việc giải quyết bài toán này lại tương tự như bài 1 sẽ tìm được 2 bộ số (x;y;z)
Một số bài toán tương tự:
c. Cho a,b,c là các số khác 0 sao cho :

22



b
c
a +b b+c c+a
=
=
+
+
Tính : P =
b+c c +a a +b
2c
3a
4b

2. Cho a + b + c = 2013 và
Tính : S =

1
1
1
1
+
+
=
a+b b+c c+a 3

a
b
c
+
+

Cho

a
b
c
a+b b+c c+a
=
=
+
+
Tính : P =
b+c c+a a +b
c
a
b
23


Câu 3: ( 3 điểm) Cho

x
y
z
t
=
=
=
y + z +t z +t + x t + x + y x + y + z

Chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên:

SL
24
+9

%
61,5
23,1

Trung bình
SL
%
1
2,6
- 18
-46,2

Yếu và Kém
SL
%
0
0
0
0

6. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng:
Để sáng kiến được nhân rộng theo tôi cần có những điều kiện sau:
- Về nhân lực: Mỗi người giáo viên cần nhận thức rõ tầm quan trọng của việc đổi
mới phương pháp dạy học phù hợp với đặc trưng của từng dạng bài nhất là dạng
bài tập khó. Thường xuyên học hỏi, nâng cao trình độ chuyên môn. Sáng kiến
muốn thành công cần có sự ủng hộ của các ban, ngành, đoàn thể trong và ngoài