PHẦN I . MỞ ĐẦU
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Toán học là khoa học của mọi ngành khoa học. Học toán giúp bản thân học
sinh rèn luyện khả năng tư duy, phát triển trí tuệ và có cách giải quyết các vấn đề
một cách khoa học. Tuy nhiên thực tế hiện nay nhiều học sinh học một cách máy
móc, rập khuôn, chỉ biết giải quyết bài toán theo một phương pháp đã có vì vậy
học sinh trở nên thụ động khi gặp những bài toán không có một khuôn mẫu nhất
định. Trong chương trình nội dung môn Toán ở trường phổ thông được chia thành
hai phần đó là Đại số, Giải Tích và phần Hình học. Học sinh luôn nghĩ rằng hai nội
dung nay hoàn toàn không liên quan đến nhau mà không nhận ra rằng đại số giải
tích và hình học luôn có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Vậy làm thế nào để những
học sinh có năng lực khá, giỏi thấy được mối liên hệ đó để vận dụng nó tốt nhất
vào giải quyết các bài toán đại số và học sinh cảm thấy hứng thú. Đó là câu hỏi mà
rất nhiều giáo viên quan tâm.
Trong hai năm gần đây, sau khi chuyển môn toán từ hình thức thi tự luận sang
hình thức thi trắc nghiệm đề thi THPT Quốc Gia môn Toán có sự mở rộng rõ rệt.
Đề thi có nhiều câu hỏi hay, mới lạ, yêu cầu học sinh phải thật sự hiểu và vận dụng
được kiến thức. Học sinh muốn đạt điểm khá, giỏi trong kì thi THPT Quốc Gia cần
giải quyết tốt những câu vận dụng thấp và vận dụng cao có trong đề thi và nội
dung về số phức nằm trong chương trình Giải Tích là một trong những nội dung
hay được quan tâm hiện nay.
Phần nhiều học sinh khi giải quyết các bài toán số phức phần vận dụng cao
luôn biến đổi theo các công thức giải tích, vì vậy việc biến đổi rất dài dễ gây nhầm
lẫn và tốn nhiều thời gian. Bên cạnh đó nhiều bài toán số phức mới lạ nên học sinh
thường lúng túng không biết giải quyết . Từ những vấn đề đó tôi lựa chọn đề tài:
“ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải quyết các bài toán số phức bằng phương
pháp hình học”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp học sinh hình thành tư duy logic, hệ thống và tư duy sáng tạo.
- Hình thành kĩ năng giải quyết bài toán số phức bằng phương pháp hình học.

, trong đó a và b là những số

i = −1
2

thực và i thỏa mãn
. Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a +bi.
- i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của
số phức .Tập hợp các số phức được kí hiệu là
1.2..Modul của số phức.

£

.

z = a + bi ( a, b ∈ R )

- Modul của số phức
được kí hiệu là
- Một số tính chất của modul số phức:
+ Với mọi số phức

z; z '

, ta có:

và

;



z1 = x + yi

uuuuu
r
MN =

uuuu
r
MN = ( x '− x; y '− y )

;

. Khi đó:

.

+ Hai điểm biểu diễn số phức z và
z2 = x '+ y ' i

.

uuuu
r
OM = x 2 + y 2

+ Modul của số phức z bằng

-



÷
2 
 2

+Trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là
- Ý nghĩa hình học của phép cộng trừ hai số phức:

.

2


Nhận xét 1:Cho hai số phức
biểu diễn là N. Khi đó:

z1 = x + yi

uuuu
r uuur uuur
z1 + z2 = OM + ON = OQ

có điểm biểu diễn là M;

z2 = x '+ y ' i

có điểm

uuur
OQ = z1 + z2


- Vectơ
có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là véc
tơ chỉ phươngr của đườngr thẳng d.
r
- Nếu

n = ( a; b )

thì

u = ( b; − a )

hoặc

u = ( −b; a )

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình:

M ( x0 ; y0 )

điểm

. Khoảng cách từ M đến d được kí hiệu là :

d ( M; d ) =

( x − a)

+ ( y − b) = R

R 2 = IH 2 +

+

AB 2
4

IH ⊥ AB

.

A
H
I

B

2.3. Elip
- Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới 2 điểm E, F
cố định bằng một số 2a không đổi là đường Elip có 2 tiêu điểm là E, F có độ dài
tiêu cự là

EF = 2c

; trục dài bằng 2a; trục nhỏ bằng 2b trong đó

b = a2 − c2

.
3


uuur uuur uuur
AB + AD = AC

rr r r
r r
a.b = a . b .c os a; b

( )

Tích vô hướng của 2 vectơ
:
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi
THPTQG tôi đã dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quá trình dạy
học của bản thân và đồng nghiệp về nội dung số phức ở mức độ vận dụng thấp,
vận dụng cao, bản thân tôi thấy học sinh gặp những trở ngại sau:
- Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, mất nhiều thời gian.
Có nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm
thấy khó khăn từ đó dẫn đến học sinh ngại làm các bài tập đó.
Có những bài toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, chỉ biến đổi mày mò,
không có hướng cụ thể.
Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho những bài toán số phức làm theo
phương pháp hình học.
Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào quá trình dạy học năm học 2018 –
2019, tôi đã có một số biện pháp khắc phục như sau:
- Ôn tập, rèn luyện các kĩ năng về các bài toán vectơ, bài toán hình học
phẳng thành thục.
- Xây dựng hệ thống bài toán gốc để áp dụng vào giải các bài toán số phức.
- Hướng dẫn nhận dạng các bài toán có thể sử dụng phương pháp hình học.


-

Nếu số phức z thỏa mãn:
thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức
z nằm trên đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R.
z − c + z + c = 2a

Nếu giả thiết có
; a; c là hằng số cho trước thì tập hợp
điểm biểu diễn số phức là một elip có độ dài trục lớn bằng 2a.
- Nếu bài toán không có các dạng trên có thể sử dụng các tính chất modun
số phức đưa về các dạng quen thuộc trên.
Bước 2: Chuyển các giả thiết đã cho sang các khái niệm hình học.
-

-

Cho số phức

z1; z2

phức z thỏa mãn
trung trực của AB.
-

-

z − z1 = z − z2


z − 3 + 2i = z − 1 + i

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn:
.
a. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z.
b. Tìm tập hợp các điểm N biểu diễn số phức

W = z −i

.
5


Lời giải

z = 3 − 2i ⇒ A ( 3; −2 )

a. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức
z = 1 − i ⇒ B ( 1; −1)

.

Gọi B là điểm biểu diễn số phức
Theo bài ra ta có : MA = MB nên tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng d
là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta có

uuu
r
r


với

∆

C ( 3; −3) ; D ( 1; −2 )

Đường thẳng

∆

∆

có

r
n = ( −2;1) ;

là đường trung trực của đoạn CD ,

trung điểm của CD là

 −5 
K  2; ÷
 2 

5
13

−2 ( x − 2 ) + 1 y + ÷ = 0 ⇔ −2 x + y + = 0


Đường thẳng trung trực của MN có

r
vtpt n ( −2; −3 )

; đi qua điểm I

 1
 2; ÷
 2

.

2x + 3y −

Vậy tập hợp các điểm A nằm trên đường thẳng có phương trình:

11
=0
2

6


z − 3 + 2i
z −1 + i
z − 3 + 2i
z −1+ i
=


, vì vậy ta cần sử dụng tính chất modul của số phức đã nêu ở trên để

biến đổi.
1.2. Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Bài 1. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
z − 3i + 2 = 5

( 1 + i ) z + ( z − 1) 3i + 5i = 6

iz − 2i + 1 = 4

b.

a.

a. Gọi A là điểm biểu diễn số phức

c.
Lời giải

z0 = −2 + 3i

.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z.
Theo bài ra MA = 5 nên M nằm trên đường tròn tâm A (-2; 3); R = 5.
iz − 2i + 1
= 4 ⇔ z −2−i = 4
i

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm
K ( 1; −1) ; R = 3 2

.
z + 3i − 2 = 2

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn:
số phức

w = 2z + i

w = 2z + i ⇔ z =

. Hãy tìm quỹ tích các điểm biểu diễn

.

w −i
2

Lời giải
. Thay vào giả thiết ta có:
7


w-i
w − i + 6i − 4
+ 3i − 2 = 2 ⇔
= 2 ⇔ w − 4 + 5i = 4
2

2a = 5.

có tiêu điểm là A, B và độ dài trục

lớn lớn là
1.4. Bài tập tự luyện.
z =2
1. Cho số phức z thỏa mãn
w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z

. Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức

là một đường tròn. Tính bán kính R của đường tròn đó.

A. 20.

20

B.

C. 7

D.

7

2 z − 2 + 3i = 2i − 1 − 2 z
2. Cho số phức z thỏa mãn

phức là?

2.1. Phương pháp.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học
Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ….
Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình học, nhưng qua phép biến đổi đại số sẽ đưa
được về phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần này sẽ được đề cập rõ
ràng hơn trong phần bài tập.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:

8


-

-

Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng, số số phức
ta chuyển về sự tương giao giữa 2 đường thẳng hoặc đường thẳng đường tròn, hai
đường tròn.
Trong khi chuyển yêu cầu đề bài sang yếu tố hình học cần chú ý đến việc có xuất
hiện số phức mới ? Nếu có, ta thường tìm mối quan hệ giữa yếu tố mới và cũ rồi
mới chuyển sang yếu tố hình học.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán:
- Để tìm được các mối quan hệ này trước hết cần thực hiện vẽ hình.
- Chú ý đến các tam giác vuông, cân, đều.
- Mối quan hệ giữa đường tròn và dây cung.
2.2.Bài tập.
Bài 1. (Đề minh họa Sở giáo dục và đào tạo Thanh hóa). Cho các số phức
z − 1 + 2i = 5

thỏa mãn:



 w1 = w 2 = 5


 w1 − w 2 = 8
2

(

,

z2

w1 = z1 − 1 + 2i; w 2 = z2 − 1 + 2i

Theo giả thiết ta có:

Ta có:

z1

(

2

)

2


2

9


Khi đó

w = 2 zF − 2 + 4i = 2 ( z F − 1 + 2i )

w = 2 z F − 1 + 2i = 2 IF

Bước 3: Áp dụng định lí pitago vào
tam giác IFB có
có:

IF = 3

AB = 8 ⇒ FB = 4

ta

.

w =6

Vậy
.
Nhận xét: Qua hai cách giải ta thấy nếu bài toán dùng hình học sẽ rất nhanh,
2


OA + AB = OB
2

SOAB =

, vì

. Biết diện tích tam giác OAB bằng 6. Tính modun của số phức z.
Lời giải
OA = z

Khi đó,

2

2

2

nên tam giác ABC vuông tại A.

1
1
AB. AO = 3 z . z = 6 ⇒ z 2 = 4 ⇔ z = 2
2
2

z +1 = z − i

Bài 3 . Có bao nhiêu số phức thỏa mãn

z; z = −1; z = i

 MA = MB

 MC = 3

M thuộc đường tròn tâm C, R = 3 và M thuộc đường trung trực

Đường thẳng
d ( C; ∆ ) =

∆

có

r
vtpt n = ( 1;1)

2 +1

Số số phức thỏa mãn đề bài chính là số
giao điểm của 2 đường tròn.
2 < IJ= 32 + 32 = 3 2 < 8

Vì
tròn cắt nhau.
Vậy đáp án C.

nên 2 đường

2

z =2 z+z +4

Bài 5 :Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:
A. 4
B. 3
C. 1
Lời giải
Gọi

z = x + yi ( x, y ∈ R )

z − 1 − i = z − 3 + 3i

và

?
D.2



Gọi H , K lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

z = 1 + i; z = 3 − 3i ⇒ MH = MK

nên M nằm trên đường thẳng d là đường trung trực của HK với

H ( 1;1) ; K ( 3; −3)

Khi đó số phức z thỏa mãn chính là số giao điểm của đường thẳng d và hình (H).
Phương trình đường thẳng d là:
d ( I ; d ) < R; d ( J ; d ) < R

x − 2y − 4 = 0

B ( 0; −2 )

.

Ta có
và
đều thuộc đường thẳng d và hai cung tròn
nên đường thẳng d cắt (H) tại 3 điểm.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nhận xét: Bài toán này không thể ngay lập tức chuyển các giả thiết sang các khái
niệm hình học giống các bài tập 1, 2, 3, 4 mà cần thực hiện biến đổi theo đại số
thông thương để tìm ra hình (H). Vì vậy trong những bài toán mà giả thiết không
có dấu hiệu đặc trưng như đường thẳng, đường tròn, elip,góc hoặc biểu thức
chứa đồng thời z và



S = z + 4 z22
2
1

. Tính

3 3

D.

5 2

Lời giải

12


Bước 1: Chuyển giả thiết sang các yếu tố hình học.
z1 = 2 ⇒

M nằm trên đường tròn tâm

O; R = 2

z2 = 3 ⇔ iz2 = i 3 ⇒

O; R = 3

N nằm trên đường tròn tâm

2

(

)

Xét tam giác POA có:
uuu
r uuur
3
OA2 = OP 2 + PA2 − 2.PA.OP.c os PA, PO = 2 2 + 12 + 2.2 3.
= 28
2

(

)

S = 2.2 7 = 4 7

Vậy
.Đáp án B
Bài 7( Đề thi thử THPTQG 2019 – SGDDT Bến Tre).Cho số phức z thỏa mãn:
z −4+ z + z − z ≥ 4

(

w = ( z − 2i ) zi + 2 − 4i

)

M ( x; y )

w = ( z − 2i ) zi + 2 − 4i =  x + ( y − 2 ) i   ( x − yi ) i + ( 2 − 4i ) 

Khi đó:

=  x + ( y − 2 ) i  ( y + 2 ) + ( x − 4 ) i  = x ( y + 2 ) − ( y + 2 ) ( x − 4 ) +  x ( x − 4 ) + ( y + 2 ) ( y − 2 )  i

Vì phần ảo là số thực không dương nên ta có:
x ( x − 4) + ( y + 2) ( y − 2) ≤ 0 ⇔ x2 + y 2 − 4x − 4 ≤ 0

⇒

tập hợp M thuộc hình tròn tâm

I ( 2; 0 ) ; R = 2 2

(như hình vẽ)

z − 4 + z + z − z ≥ 4 ⇔ 2x − 4 + 2 y ≥ 4 ⇔ x − 2 + y ≥ 2
 x + y − 4 ≥ 0 khi x ≥ 2,y ≥ 0
 x − y − 4 ≥ 0 khi x ≥ 2,y ≤ 0

⇔
- x + y ≥ 0 khi x ≤ 2,y ≥ 0
- x − y ≥ 0 khi x ≤ 2,y ≤ 0
⇒

Tập hợp các điểm M nằm ngoài hình vuông ABCO với
( như hình vẽ)

3 5

C.

5

I ( 1;1) ; R = 5

.

D.3

14


2. Gọi (H) là tập biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng Oxy để

2z − z ≤ 3

, số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H) ?
3π

3
π
2

3
π
4


Các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của modul số phức
là một trong những câu hỏi khó. Để giải quyết các bài toán này, ngoài phương pháp
đại số hoặc phương pháp lượng giác hóa thì phương pháp hình học là một công cụ
mạnh để học giải quyết các bài toán nhanh chóng.
Trong hệ thống bài tập này ta thường chia thành các dạng sử dụng hình học cụ thể
như sau:
+ Mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng.
+ Mối quan hệ giữa điểm , đường thẳng, đường tròn, hai đường tròn.
+ Mối quan hệ giữa điểm và Elip.
3.1. Phương pháp chung.
Bước 1. Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học
Thông thường ta sẽ gặp các dữ kiện như đường tròn, đường thẳng , véc tơ….
+ Có thể bài toán chưa có dấu hiệu hình hoc, nhưng qua phép biến đổi đại
số sẽ đưa được về phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần này sẽ được đề
cập rõ ràng hơn trong phần bài tập.
Bước 2: Chuyển yêu cầu đề bài về các yếu tố hình học:
- Nếu đề bài yêu cầu tính modun số phức ta chuyển về độ dài đoạn thẳng,
khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng. Cần chú ý nếu xuất hiện số phức mới
cần chuyển số phức cũ sang số phức mới để chuyển sang yếu tố hình học tránh
nhầm lẫn.
Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán:
- Để tìm được các mối quan hệ này, cần thực hiện vẽ hình và quan sát.
- Sử dụng các bài toán gốc.
- Cần chú ý kết hợp bất đẳng thức Bunhia .
3. 2.Các bài toán sử dụng mối quan hệ giữa điểm và đường thẳng.
3.2.1. Các bài toán hình học cơ bản.
Bài toán 1. Cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài d. Tìm N thuộc d sao cho
khoảng cách MN là ngắn nhất.
15


Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao
điểm của AB và d.
b. Lấy A’ đối xứng với A qua d.

Lấy M’ thuộc d, khi đó:

M ' A + M ' B = M ' A '+ M ' B ≥ A ' B

Dấu “=” xảy ra khi M’ là giao điểm của
A’B và đường thẳng d.
Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao
điểm của AB và d.
3.2.2. Bài tập
z + 2 − 2i = z − 4i

Bài 1. Cho số phức z và w thỏa mãn:

;

w = iz + 1

. Giá trị nhỏ nhất

w

của
A.

là ?
2

i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w.
⇒

M nằm trên đường trung trực của AB với

A ( −1; −2 ) ; B ( −3;0 )

Phương trình đường trung trực của AB là:

x − y +1 = 0

.

w

nhỏ nhất khi OM ngắn nhất .
d ( O; d ) = OM =

Theo bài toán 1 OM ngắn nhất khi

2
2

.Đáp án A.

z = z − 1 + 2i

Bài 2. Cho số phức z thỏa mãn:


w - 11 - 2i
1 + 2i

z = z − 1 + 2i ⇔ z = z − 1 + 2i ⇔ z = z − 1 − 2i
⇒

w - 11 - 2i
w - 11 - 2i
w - 11 - 2i
w - 11 - 2i + 3 - 4i
=
− 1 − 2i ⇔
=
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i

⇔ w − 11 − 2i = w − 8 − 6i

Gọi M là điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực d
của AB trong đó

A ( 11; 2 ) ; B ( 8; 6 )

.

17



−25 2
4 +3
2

2

=

5
2

.Đáp án D
Bài 3 (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018)
z − 2i = z + 2

Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn:

. Tìm GTNN của biểu

P = z + 2i + z − 5 + 9i .

thức
Lời giải
Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z;
⇒ A ( 0; 2 ) ; B ( −2; 0 )

z = 2i; z = −2

.

2

Vậy
.
3.3. Các bài toán liên quan đến đường tròn.
3.3.1.Các bài toán hình học cơ bản.

( C)

Bài toán 1. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
trí điểm M, N sao cho OM ngắn nhất và ON dài nhất.
Lời giải

có tâm A. Tìm trên

( C)

vị

18


Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường tròn
ta thấy.
OM + MA ≥ OA ⇔ OM ≥ OA − MA

OM min = OA − R

Vậy
.


a.- Nếu
thì
đường thẳng và đường tròn.
- Nếu

( C)

d ( I; ∆) > R

∆
∆

.
ngắn nhất .
dài nhất.

ngắn nhất bằng 0 tức là M là giao điểm giữa

, gọi N’ là điểm bất kỳ trên (C) , K là hình chiếu của điểm A

trên d khi đó ta luôn có:

N ' A + N ' K ≥ AK ⇔ N ' K ≥ AK − AN ' = AK − R

Dấu “=” xảy ra khi A, N’, K thẳng hàng và N’ nằm giữa AK.
Vậy vị trí điểm M là giao điểm giữa đường thẳng AK và đường tròn (C ), M
nằm giữa AK.
N ' K − AN ≤ AK ⇔ N ' K ≤ AN + AK


uuuu
r2
uuur uuur
k 2 MC 2 = k 2 MC = k 2 MA + AC

(

)

2

uuur uuur
= k 2 MA2 + k 2 AC 2 + 2k 2 .MA.AC

uuur uuu
r
uuur
MB 2 + k 2 MC 2 = 1 + k 2 MA2 + AB 2 + k 2 AC 2 + 2 MA AB + k 2 AC

(
)
= ( 1 + k ) MA
2

(

2

)


Pmin = MB + MC =

( 1+ k ) R
2

2

+ AB 2 + k 2 AC 2

Vậy
3.3.2. Bài tập.
Bài 1: (Toán học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn:
z − 1 + 2i = 5

. Khi đó
A.20

w = z +1+ i

B.

2 5

có modul lớn nhất bằng bao nhiêu?
C.
Lời giải

5

D.

2

z1 − 2 − z1 + i = 1

z1

thỏa mãn:

và các số phức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = z1 − z 2

Gọi số phức

thỏa mãn:

.

Nhận xét: Từ giả thiết thứ 2 ta thấy tập hợp các điểm biểu diễn
nên khả năng có thể sử dụng phương pháp hình học.
Lời giải
z1 = x + yi ( x, y ∈ R )

z2

z2

là đường tròn


z2 − 4 − i = 5

.

nằm trên đường

.

, P nhỏ nhất khi MN ngắn nhất .

21


2.4 + 1 − 1

MN = d ( I ; d ) − R =

− 5=

5

3 5
5

Theo bài toán 2 , MN ngắn nhất khi
.
Bài 3:(Đề thi thử Sở Phú thọ lần 2 – 2019) Giả sử z là các số phức thỏa mãn
iz − 2 − i = 3


phức

z = 4 + i; z = −5 − 8i

⇒ A ( 4;1) ; B ( −5; −8 )

9 5

I ( 1; −2 ) ; R = 3

.

uu
r
uur
IA = ( 3;3) ; IB = ( −6; −6 )

nên
Vì
Theo bài toán 3 ta có:

uur
uu
r
IB = −2 IA

2MA2 + MB 2 = 3MI 2 + 2 IA2 + IB 2 = 3R 2 + 6 IA2
= 3.9 + 6. ( 9 + 9 ) = 135

(

Tìm giá trị nhỏ nhất của

.
B.

4− 2

C.

4 2 −3

D.

4 2 +3

Lời giải
z1

Gọi M là điểm biểu diễn số phức
⇒

M thuộc đường tròn tập

thỏa mãn

I ( 4; 0 ) ; R1 = 1

z1 − 4 = 1

.


. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A.7
B. 20
C. 14
D. 10
Nhận xét: Nhận dạng đặc điểm để sử dụng phương pháp hình học :
z1 − 3 + z1 + 3 = z1 − 4 + z1 + 4 = 10

, ta thấy có 2 phương trình Elip.
Lời giải
Gọi M, N lần lượt là hai điểm biểu
z1; z2

diễn số phức
.
Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm
biểu diễn số phức

z = 3; z = −3; z = 4;

z = −4

Khi đó ta có:

MA + MB = NC + ND = 10

⇒

.


P = z − 4 + 4i

.
z +1− i + z − 3 + i = 6

Nhận xét:
biến đổi giả thiết trên .

có hình thức giống phương trình Elip. Vì vậy ta cần
Lời giải

z + 1 − i + z − 3 + i = 6 ⇔ ( z − 1) + ( 2 − i ) + ( z − 1) − ( 2 − i ) = 6

z −1
2−i

w=

⇔

z −1
z −1
6
+1 +
−1 =
2−i
2−i
5


.
3.5. Bài tập tự luyện.
z =1

1.(Đề thi thử THPTQG Tiền Giang – 2019) Cho số phức z thỏa mãn:

. Tìm

P = 1+ z + 2 1− z

giá trị lớn nhất của

.

2.(Đề thi thử Quy Nhơn – Bình Định lần 2) Cho 2 số phức
z1 + z2 = 8 + 6i

A.

và

z1 − z2 = 2

5+3 5

2 26

3. Cho số phức

z1

.

P = z1 − z2

Tìm giá trị nhỏ nhất của

Pmin =

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

z1 ; z2

.

Pmin = 5.
B.

Pmin =

Pmin = 2 5.
C.

D.

3 5
.
5
24



IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trong năm học
2018 – 2019 tại lớp 12A4 trường THPT Lê Lợi. Qua đó, so với lớp đối chứng
12A6 nhưng chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi nhận thấy học sinh lớp
12A4 giải quyết các bài toán số phức linh hoạt hơn học sinh lớp 12A6 một cách rõ
rệt:
- Học sinh thành thạo các bài toán quỹ tích.
- Học sinh có nhiều cách giải khác nhau cho cùng một bài toán số phức, tăng
tính linh hoạt trong việc giải quyết các giả thiết phức tạp.
- Học sinh chủ động hơn trong việc định hướng giải quyết bài oán phức tạp.
Kết quả cụ thể :
Lớp
Tốt
Khá
Trung bình Yếu
1 lớp thực nghiệm 25
13
2
0
Tổng: 40 em
(62,5%)
(32,5%)
(5%)
1 lớp đối chứng
15
17
8
0
Tổng: 40 em
(37,5%)